CHAPITRE m. -^ INTERSECTIONS DE DEUX SUBFACE8 COURBES. iSg

359. Deuxième méthode, par le plan normal Nous avon» vu an n° 214 que la tangente à rintersecti:>n de deux surfaces devait être perpendiculaire au plan mené par les deux normales de ers surfaces; il nous suffira donc de trouver ce plan, qui est lui-même normal à la courbe. Or, nous avons déjà constniit la normale (M'N'i MN) pour le deuxième ellipsoïde; quant au premier, nous mènerons au point D' du méridien principal, la droite D'B' perpendiculaire sur la tangente D'T, et alors on sait (n° 150) que la normale pour le point (M', M), sera la droite (M'R', MO). Gela posé, il serait bien facile de trouver la trace verticale du plan mené par les deux normales ci-dèssus indiquées; mais, comme nous avons besoin de connaître seulement la direction de cette trace, et qu'elle sera la même sur les plans verticaux 01 et OT qui sont parallèles, nous observerons que les normales en question vont rencontrer les axes en R' et N'; d'où il résulte immédiatement que N'R' est la trace du p!an normal sur le plan vertical 01, et qu'en tirant par le point M' la droite M' 9' perpendiculaire à cette trace, on aura la projection verticale de la tangente demandée.

Pour obtenir Tautre projection, prolongeons jusqu'au plan horizontal d^u» quelconques des droites qui réunissent les trois points (M', M), (N', N), (R', O), lesquels sont situés dans le plan normal. Ici, on voit que la droite (N'MS NM) perce le plan horizontal au point a, et que la droite (N'B', NO) le rencontre en 9; donc aS est la trace horizontale du plan normal, et en lui menant une perpendiCu*laire M 9, <^c sera la projection horizontale de la tangente cherchée.

340. {Piy 78.) La méthode que nous venons d'employer est non*seulement plus simple, dans certains cas, que celle des deux plans tangents, mais elle offre encore l'avantage de pouvoir quelquefois s appliquer à des points particuliers, pour lesquels l'autre méthode serait insuffisante.

Considérons, en effet, le point (K, K') situé à la fois sur les deux méridiens principaux : à cause de cette position particulière, les deux plans tangents seront l'un et l'autre perpendiculaires au plan vertical, et, par suite, leur intersection qui est la tangente de la courbe (K'U H', KLII,...), sera projetée horizontalement suivant une perpendiculaire à KO, et verticalement en un point unique Kf. Cette construction fait connaître la position qu'occupe, dans l'espace, la tangente de la courbe gauche; mais elle n'apprend rien sur la droite qui toucherait en K' la courbe plane K'UH', droite que l'on doit regarder comme la projection de la tangente qui précéderait immédiatement, dans Tespace, celle qui s'est réduite à. un poiot unique en se projjetant sur le plan vertical : tandis que la considération des deux normales manifeste une propriété constante dont jouit la courbe plane K'L'H' regardée comme tracée dans le plan des deux méridiens, et indéfiendamment de la ligne à double courbure dont elle reçoit la projection. Cette propriété consiste en ce que, si l'on transporte le point quelconque Mf sur les deux méridiens, eà

l6o LIVRE IV. —INTERSECTIONS DE SURFACES.

D' et en F' par des perpendiculaires aux axes, puis si Ton tire les normales D'R' et F'N', la droite R'N' sera toujours perpendiculaire à la tangente en M'. Or, cette relation subsistant pour tous les points de la courbe plane K'L'H', et ne portant que sur des lignes situées dans son plan, elle doit être vraie aussi pour le point K' où elle demeure évidemment applicable avec encore plus de simplicité, puisque ce point est par lui-même transporté sur les deux méridiens. Par conséquent, il suffira de mener les normales K'V et KMJ', puis de tracer la droite U'V, sur laquelle on abaissera la perpendiculaire K'S' qui sera la tangente demandée.

Une construction semblable fera trouver la tangente au point H'.

PROBLEME VII. Intersection d' un paraboloide avec un hyperboldide y tous deux de révolution, et dont les axes se rencontrent.

341. {Fig. 79.) Soient (O, O'Z') l'axe du paraboloïde, et A'C'B' le méridien principal de cette surface que nous supposerons terminée au cercle (A'B% AB), de manière que Tintérieur de ce paraboloïde soit visible sur le plan horizontal. Soit aussi (01, ZT) Taxe de Thyperboloïde, ce qui suppose que le plan vertical de projection a été choisi parallèle aux deux axes à la fois : quant au méridien de cette seconde surface, nous ne le regarderons pas comme donné par la question, parce qu'alors le problème rentrerait entièrement dans celui du n® 352; mais nous définirons Thyperboloïde au moyen de la génératrice rectiligne (PQ, FQ') qui l'engendrerait en tournant autour de la droite fixe (01, ZT), sans toutefois considérer celte seconde surface comme réellement existante; c'est-à-dire qu'ici le paraboloïde subsistera seul, et sera traversé suivant une certaine courbe par les diverses positions de la droite mobile (PQ, P'Q'). Du reste, pour trouver celte courbe, nous emploierons encore des sphères sécantes (n^333) décrites toutes du point Z'; seulement, comme nous ne connaissons pas à priori le méridien de l'hyperboloïde, nous ne tracerons plus arbitrairement le grand cercle dVne de ces sphères^ mais nous commencerons par construire un parallèle de cet hyperboloîde.

342. Menons donc par un point «' pris à volonté sur l'axe, un plan F «'G' qui lui soit perpendiculaire : ce plan rencontrera la génératrice au point (S', S), dont la distance au point w' sera évidemment l'hypoténuse d'un triangle rectangle construit sur les côtés oa'ê' et S'ê" = aê; ainsi, en décrivant avec cette hypoténuse a>'S" un cercle F' 6" G', ce sera le rabattement du parallèle suivant lequel l'hyperboloïde est coupé par le plan F'co'G'; et les extrémités F' et G' de son diamètre, sers^ent deux points de Vhjperbole méridienne située dans le plan vertical OI.

Cela posé, adoptons pour rayon d'une de nos sphères sécantes, la distance Z'F. Alors, une pareille sphère coupera l'hyperboloïde suivant le parallèle projeté sur F G', et le paraboloïde suivant un cercle projeté sur ly E^ ; par conséquent le point