CHAPITRE PREMÎEK

DES FLANS TANGENTS MENÉS PAR UN POINT EXTÉRIEUR A LA SlJBFAQEi

548. {Ptg. 8o.) Soit V le point donné au dehors de la surface quelconque S : metions par ce point divers plans sécants dans une direction arbitraire, et, par exemple, fcîsons-les passer tous par une droite quelconqtie VAD qui traverse la surface. Alors, ils couperont celle-cî suivant des courbes AMD, AM'D, AM''!),... que Ton saurait construite par les méthodes exposées précédemment, ef auxquelles on pourra généralement mener, du point V, des tangentes VM, VM', VM^...j de sorte que toutes ces droites formeront évidemment un cône dyartt le poîntT pour sommet, et qui sera circonscrit i\ la surface S, c'est-à-dire qui la louchera tout le long de la courbe MM'M''.... En effet, pour le point M", par exemple, le plan tangent de S renfermera la tangente M"! de la courbe MM'M", aussi bien que l'arête M'^V qui, par conslruction, est tangente à la surface : donc ce plan sera lui-même tangent au cône; et \ûs deux surfaces ayant ainsi un plan tangent commun en M"^, offriront un véritable contact dans c0 po*nt, et dans tous cettt de la ligne MiWM".,..

104 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'EST PAS DOfïNÉ.

549. Gela posé, pour résoudre le problème général qui fait l'objet de ce chapitre, i7 suffira de conslnnre la ligne de contact MM' M" de la surface proposée S- avec un cône circonscrit ayant ûon sommet en V, puis de mener un plan tangent à S dans un quelconque des points de ceite ligne; ce plan satisfera éTidemoient à la questioiii puisqu'il touchera nécessairement (n^548) le cône circonscrit, et qu'ainsi il passera par le sommet Y, qui est le point donné.

Réciproquement, tout plan mené du point V, tangentidlement à la surface S, touchera celle-ci en un certain point, que j'appelle m, et qni, étant joint avec Y, fournira une droite Y m évidemment tangente à S; donc cette droite Y m sera nécessairement une des arêtes du cône circonscrit YMM'M".... et, par conséquesut, le point m devra se trouver sur la courbe MM'M^..., qui devient ainsi le lieu de toutes les solutions du problème proposé.

Seulement, le problème sera impossible quand le cône circonscrit n'existera pas; c'est-à-dire lorsque le point Y sera tellement placé, que l'on ne pourra nfiener, de ce point, aucune tangehte aux diverses sections faites par des plans passant par YAD.

3S0. Il résulte de là que la question qui nous occupe admet une infinité de solutions, excepté quand la surface proposées est développaUe. En effet, nous avons vu (n** 183) qu'une telle surface était l'enveloppe de toutes les positions d'un plan mobile, assujetti à une loi de mouvement qui ne laissait d'arbitraire qu'une seule condition (*) : donc, lorsque ce plan mobile, qui est en même temps le plan tangent de la surface développable, viendra à passer par le point donné Y, il ne pourra plus prendre d'autre situation; ou, du moins, il ne saurait occupet alors qu'un nombre limité de positions, suivant la nature et le nombre des nappes de la surface. Ainsi, pour cette classe de surfaces, le problème de construire un plan tangent qui passe par un point donné, devient tout à fait détertniné (**), et c'est ce que nous avons reconnu dans les cônes et dans les cylindres (n***116 et 123).

D'ailleurs, comme une surface développable est touchée par son plan tangent tout le long d'une même génératrice rectiligne (n'^lTT), il s'ensuit que si Ton effectuait ici les sections indiquées n<>348, et qu'on leur menât des tangentes par le point Y, tous les points de contact se trouveraient situés sur une droite de la surface*, et le cône circonscrit se réduirait alors à un ou plusieurs plans tanf^uts qui passeraient par le point Y.

(*) Ou auuxsment dit, qui ue laissait ({u'une seule constante arbitraire dans son équation; ainsi la condîtiou de passer par le point V, fixera complètement la position de ce plan dans Tespace.

( ** ) L'exception que présentent les surfaces développables est unique , car elle n'a point. lieu pour 1rs surfaces gauches. En effet, nous verrons que dans celles^;!, tout plan mené par le point V et par une génératrice rectilign^ , est tangent à la surface dans un certain point qu'il faut construire ; de sorte qu'en joignant ce point de contact avec V, on obtiendra encore une des arêtes du cône di-conscriî, lequel subsiste ici comme dans les surfaces non réglées.