CHAPITRE I. — PLANS TANGENTS PAR UN PCttNT EXTÉRIEUR. i

3S1. Le problème de mener, par ud point V, un plan tangent à une surface S' non développabie, redeviendrait déterminé, si Ton ajoutait la condition que ce plan dût toucher la surface sur une courbe donnée , par exemple sur un méridien, ou sur un parallèle, dont la position serait assignée. En effet, après avoir construit la ligne de contact MM'M'^.. du cône circonscrit à S, il suffirait d'examiner en quels points elle rencontre la courbe donnée, et ce seraient là évidemment les points de contact des plans tangents qui satisfont au problème. Celui-ci serait impossible, si la courbe assignée sur la surface n'avait aucun point commun avec la ligne

3Sâ. Quant à la construction de la ligne de contact dWe surface quelconque S, avec un cône circonscrit qui a pour sommet un point donné Y, courbe qui est d'ailleurs très-utile dans la Perspective, puisque c'est évidemment le contour apparent de la surface vue du point Y, la seule méthode tout à fait générale est celle que nous avoiks indiquée n^548; cependant, comme elle exige des opérations graphiques assez pénibles, nous allons exposer d'autres méthodes plus simples, mais applicables seulement à certains genres de surfaces qui se rencontrent plus fré-' quemm^U. Auparavant, toutefois, nous démontrerons un théorème important sur ces lignes de contact, par rapport à toutes les surfaces du second degré,

355. La courbe de contact d'un cône circonscrit à une surface du second degré est toujours pjLANE ; et son plan se trouve parallèle au plan diamétral qui serait conjugué avec le diamètre mené par le sommet du cône.

Soient Y le sommet du cône, et S la surface du second degré dont il s'agit {fig. 8q); nous supposerons d'abord qu'elle admet un centre O, mais, du reste, elle peut être indifieremment un ellipsoïde ou bien l'un des deux hyperboloïdes. En faisant passer par la droite YO divers plans sécants, nous obtiecidrons des courbes du second degré ABD> AB'D, AB'^D,..., ayant toutes un diamètre commun OA; et si nous les coupons par le plan diamétral BBX, qui est conjugué avec OA, c'est-à-dire qui divise en deux parties égales toutes les cordes de la surface parallèles à cette direction, nous obtiendrons des droites OB, OB', OB^,..., qui jouiront évidemment de la même propriété, par rapport aux cordes menées dans chacune de ces courbes parallèlement à OA. Ainsi OA et OB, OA et OB', OA et OB'",..., formeront des systèmes de diamètres conjugués deux à deux, dans les diverses courbes du second degré ABD, AB'D, AB"D,....

Gela posé, tirons à l'une de ces courbes une tangente YM, puis menons, par le point de contact M, tm plan parallèle à BB'C : ce nouveau plan coupera la surface S suivant une courbe MM'N, et les sections primitives suivant des ordonnées PM, PM'j PM ',..., respectivement parallèles à OB, OB', OB". Alors, si l'on mène par les divers points M', M",,.., des tangentes aux courbes AM'D, AM"D,.,., je disque ces tangentes aboutiront, sur la droite OA9 au même point Y d'où est partie la

l€6 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT.,. n'eST PAS DONNÉ, première MV. En effet, on sait que dans toute ligne du second ordre rapportée à deux diamètres conjugués^ la soiis^tangente ne dépend que de Tabscisse du point de contact et du diamètre sur lequel on compte cette abscisse; par conséquent» pour les divers points M, M', M'',..., qui répondent à la même abscisse OPy la soua-tangente aura une valeur commune, savoir s

PV=§^'^OP, d'où OV = ^.

Donc, toutes les tangentes menées en M, M', IVr,..., formeront bien un c6ne circonscrit à la surface du second degré, et dont la ligne de contact sera la courbe plant MM'M"N, parallèle au plan diamétral BB'Cqui est conjugué avec YO (*). D^ailleurs, ce diamètre VO contiendra le centre P de la courbe MM' M**..., comme nous allons le faire voir.

554. Dam toute surface du second degré, les diverses sections faites par des plans parallèles entre eux sont des courbes semblables, dont les centres sont situés. sur le dia^ mètre qui se trouve conjugué avec celui de ces plans sécants qui passe par le centre de la surface. En effet, quelle que soit une de ces sections planes MM'M^N, on pourra mener par le centre O un plan BB'B''Cqui lui soit parallèle, et construire le diamètre OA conjugué avec ce dernier plan. Alors toutes les sections ABD, AB'D; AB"D,. ., atîront pour diamètres conjugués, deux à deux, OA et OB, OA et OB', OA et OB" : donc, les ordonnées MP, MF, MP',..., qui correspondent à la même abscisse OP, seront proportionnelles aux diamètres non communs OB, 0B\ OB%...î et, par conséquent, ces droites, considérées comme des rayons vecteurs PARALLttts menés dans les deux courbes MM'N et BB'C, satisferont à la condition générale àt la similitude. D'ailleurs, comme le point O est évidemment le centre de figure de là courbe BB'C, il en sera nécessairement de même du point P par rapport à la courbe MM'N ; ainsi les centres des sections parallèles au plan diamétral BB'C sont bien situés tous sur le diamètre OA conjugué avec ce plan.

555. [Fig. St.) Revenons au théorème démontré n^^SSS pour les surfaces douées d^un centre; et afin de l'étendre aux surfaces qui en sont dépourvues, c'est* à-dire adx deux paraboloïdes, modifions la démonstration de la manière suivante. Menons parle point donné Vune parallèle VX' à ïaxe ou diamètre principal OX du paraboloîde; cette droite VAX' sera encore un diamètre de la surface, et les divers plans sécants menés par ce diamètre fourniront des sections paraboliques AME, AM'E', AM*E%.... Cela posé, tirons à Tune d'elles la tangente VM, et parie point de contact M menons, parallèlement au plan tangent du paraboloîde en A,

(*) Dans le cas particulier où la surface est une sphère, la courbe de contact du cône circonscrit deyient un petit cercle^ perpendiculaire à la droite VO, qui réunit le sommet V avec le centre àe la sphère. D'ailleurs, cela se prouve directement, en fiiisaût tourner autour de VO un grand cercle et a toûgettti menée da pûnc V.