CHAPITRE I. — HÉUG£, ET HÉLIGOSDE b&YËLOPPABLÊ. TOI
Gda posé; je dis que la droite A'MC est précisément la fatigeote au point M de l'hélice primitive AMC. En effet, cette droite est d'abord située dans le plan tangent du cylindre, qui contient un élément superficiel LPp/ de la surface ; et comme cet élément est resté immobile pendant le développement de la suriace, il en résulte que l'élément linéaire Mm se trouve commun à la courbe AMC et à la droite A'MC; donc ces deux lignes sont bien tangentes Tune à l'autre.
449« D'après cela, pour obtenir dorénavant la tangente à l'hélice, il suISra de construire, dans le plan tangent du cylindre, un triangle rectangle MPA' qui ait pour hauteur l'ordonnée MP du point de contact, et pour base une droite A'P égale à l'abscisse AP rectifiée; l'hypoténuse de ce triangle. sera la tangente demandée. C'est ce que l'on peut exprimer d'une manière abrégée, en disant que la sous-tangente A'P est égale à H abscisse curviligne AP du point de contact; car cette règle fera connaître le pied A' de la tangente, et comme le point de contactM est connu, la position de la tangente sera complètement fixée.
D'ailleurs, on voit que la tangente k^TA^ ainsi déterminée, aura la même longueur que Tare d'hélice AM; puisque Tune est la transformée de l'autre, d'après ce que nous avons dit au numéro précédent.
450. Observons ici que l'angle MAT de la tangente avec le plan de la base du cylindre, sera donné par la formule
., MP MF , tangA'=^ = - = Aj
or, comme ce dernier rapport est constant pour tous les points d'une même hélice ( n^ 446), on en conclut que les diverses tangentes à cette courbe sont toutes éga-lement inclinées sur le plan de la base du cylindre ^ et, par suite, chacune de ces tangentes coupe la génératrice du cylindre sous un angle constant A'MP ; résultat qui montre que la définition donnée au n® 163 rentre dans celle du n** 446.
451. {Fig. 94.) Construisons maintenant les projections d'une hélice, en prenant pour base du cylindre droit sur lequel cette courbe doit être tracée, un cercle ABCD dont nous adoptons lé plan pour plan horizontal de projection. Soient d'ailleurs (A, A') l'origine, et A' A" le pas de l'hélice; en partageant cet intervalle A' A" ou O'O'' en un certain nombre de parties égales, par exemple seize, et divisant la circonférence ABCD pareillement en seize parties égales AL, LM, MN,.,., il suffira d'élever par ces points de division, des ordonnées verticales P'L% Q'M', R'N',..., respectivement égales à -^ij, -j^, ^,... de l'intervalle 0'0% pour obtenir divers points de la projection verticale A' L' M' NX' A''... de l'hélice demandée (*). Quant à la projection horizontale de cette courbé, c'est évidemment la
base ABCD du cylindre droit.
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{*) Cette projection est une sinusoïde; car, ai on la rapporte à deux axes B'X', VZ', dont Vôti- 4« édtt. ' 06
tiQ9 UVRE YI. — QUESTIONS DIVERSES.
45S. La tangente de l'hélice en un point quelconque (M^ M') s'obtiendra en prenant sur la tangente, au point M de la base, une longueur MT égale à Tare IVIA rectifié (n'^ 449); alors le point (T, T') sera le pied de la tangente cherchée, laquelle aura pour projection MT et M'T'.
4^5. D après cela, on voit que si l'on construisait ainsi diverses tangentes à l'hélice, les pieds de ces droites seraient tous situés sur une courbe ATGH..., pour laquelle On aurait MT = MA, BG = BA, EH=EA,.,-; par conséquent, cette ^courbe n'est autre chose que ]a développante du cercle ABCD (n^ 199, 2201), et c'est aus la trace horizontale de la surface, lieu des tangentes à l'hélice» surface que l'on nomme Vhélicoïde développcAle, et sur laquelle nous reviendrons tout à l'heure.
454. {Fig.Q/i.)ÈlatUdonnéeuneUUce{ÀMBCDA,A'WC/i''C'y...\m courba UM tangente qui soit parallèle à un plan donné U'VS.
Rappel ons*nous d'abord que toutes les tangentes à l'hélîoe font un angle constant avec la vel*ticale (n^ 450), et qu'ainsi elles sont resjiectivement parallèles aux génératrices d'un cône de révolution, dont l'axe serait vertical, et dont le demiangle au centre égalerait l'inclinaison commune des tangentes sur les arêtes du : cylindre. Pour connaître cette inclinaison, je construis la tangente particulière au point (B, B'), parce qu'elle sera évidemment parallèle au plan vertical, et oie fournira ainsi la vraie grandeur de l'angle cherché : je prends donc sur la tangente au cercle une longueur BG, égale à l'arc AB rectifié, et, projetant le point G
gÎDe soit au point B', et que Ton compte les abscisses curvilignes de Phélice , sur la section circniaiie faite dans le cyKndre par le plan horizontal B'X^ on aura, pour on point quelconque (£, t/), to rdition»
B'F=rtinBB, ~^h
ou bien, en comptant les ainut dans le œrde dont le rayon est ruoitéi
et alors, par réUminatiQn de l'arc s, on trouve
«=::RsiB( axjl
pour réquation de la projection de Thélice sur le plan des deux axes B'X' et B'Z'. En j joignat Féqiiation du cylindre
fUi, oonMiiée avec la précédente, conduit à
r = Rcosf27rîj,
OU aura le» troii projection» de rhélice sur des plans rectangulaires dont Torigine serait au foint (0,B'V
