CHAPITRE I. — HÉLICK, ET BÉLICOlOE DÉVELOPPÀBLE

en G' sur la ligne de terre, j'obtiens la tangente (BG, VO') rdlàtive au point (B, B'). Alors, en lui menant par le point (O, F) une parallèle {Og , FO'), et faî* sant tourner cette dernière autour de la verticale O, je forme le cône droit en question, lequel a pour base le cercle du rayon Og. Maintenant, je coupe ce cène par un plan parallèle à tJ'VS, et mené par le sommet (O, B') : on sait comment obtenir (n® 23) la trace horizontale alS d'un pareil plan, qui donne, pour ses intersections avec le cône, les deux génératrices Oa et OS, pnrallètes au plan SVU'; par conséquent^ les tangentes à Thélice qui jouiront de cette dernière propriété, s'obtiendront sur le pian horizontal, en menant au cercle la tangente MT, parallèle à Oa, et la tangente EH, parallèle à Oê. De là, on conclura leurs projections verticales en prenant MT = MA et EH = EBA, ce qui fera connaître les pieds (T, T') et (H, H) des tangentes demandées, qui seront enfin (MT, M'T') et (EH, E'H'). Il y en aurait d'ailleurs une infinité d'autres parallèles à celles-là, et relatives aux points M" et E", M'' et E*",..., des diverses spU^s de Thélice indéfinie. Observons aussi que l'on pouvait mener, sur le plan horizontal, une seconde tangente fiB parallèle àOa; mais cette droite, considérée comme la projection d'une tangente à Phélice, aurait son point de contact en (jx, p/); d'où l'on voit clairement que sa projection verticale ne serait plus parallèle à celle de la généra* trice du cône projeté sur Oa : ainsi il faut rejeter la tangente p.9. Une pareille ambiguïté se présenterait pour la génératrice OS; mais elle se lèvera toujours, en exigeant que la tangente et la génératrice du cône soient parallèles sur les deux plans de projection à la fois.

455. Si l'on demandait de mener à l'hélice ime tangente qui {ùl parallèle à une droite donnée, le problème serait en général impossible, à moins que cette droite ne fit elle-même avec la verticale un angle égal à l'inclinaison commune de toutes les tangentes de l'hélice sur les arêtes du cylindre; mais si celte condition était remplie, alors il ne s'agirait que de mener au cercle ABCD une tangente parallèle à la projection horizontale de la droite donnée, et l'on en déduirait, comme cidessus, la projection verticale de la tangente à Thélice.

456. {Fig. 96. ) L'HÉLICOIDE développable est la surface engendrée par une droite mobile et indéfinie, qui glisse sur nne hélice, en lui demeurant constamment tangente. Nous appelons cet hélicoïde développable, tant pour le distinguer d'un autre hélicoïde qui est gauche et dont nous parlerons plus loin, que parce que |a surface actuelle satisfait évidemment (n° 181 ) à la condition que deux génératrices infiniment voisines se trouvent dans un même plan. Pour représenter graphiquement cette surface, on pourrait tracer d'abord l'hélice

(Aêvc^eXTiA, A'êY^^^'^'A'Of puis construire ses tangentes aux divers points (A, K'\ (ê, I'), (7, /),...; mais 11

ao4 LIVRE VI. — QUESTIONS DIVERSES.

sera plus commode çt plus exact de déterminer ces droites, en cherchant immédiatement leurs traces sur le plan horizontal^ de projection, et sur un autre plan horizontal afk^l' élevé, au-dessus du premier, d'une quantité A' A" égale au pas de l'hélice; parce qu'alors la projection verticale de cette hélice sera formée direotement par les intersections successives de ces diverses génératrices, pourvu qu'elles soient assez multipliées. Or, déjà nous savons (n* 455) que les traces horizontales de ces droites sont situées sur la développante de cercle ABCDEF..., <que Ton construit en prenant sur les tangentes à la base du cylindre les distances

gB = gA, 7C = yA, â1} = âk,....

Ensuite, pour avoir leurs traces sur le plan supérieur a'A", j'observe que la droite inconnue (Aéi, A' a'), qui sera tangente à l'hélice au point (A, A'), doit faire avec la verticale un angle déterminé (n° 450) par la relation

tang A"A'a' =: j, ou bien j^, = -j-;

or, comme on a pris A^A'= A, il en résulte que A"a'= uttR, c'est-à-dire que l'intervalle inconnu A" a! ou A a doit être égal à la circonférence du rayon OA, ce qui permet de construire immédiatement la première génératrice (Aa, Afa') de l'hélicoïde. D'ailleurs, dans les diverses positions que prendra cette droite mobile, la portion comprise entre les plans horizontaux L'A' et a' A" conservera une longueur invariable, puisqu'elle aura toujours une inclinaison constante (n° 450) sur ces plans parallèles; il en sera évidemment de même pour les projections horizontales de ces portions de génératrices, qui demeureront égales en longueur à Aa. Par conséquent, sî, à partir de la développante inférieure ABCDEF..., on porte sur les tangentes du cercle les longueurs

Aa, B6, Ce, Drf, Ee, F/,...,

toutes égales à la circonférence OA rectifiée; puis, si l'on projette les divers points fl, 6, c, c/, e,.,., sur le plan horizontal supérieur a'A% en même temps que les extrémités inférieures A, B, G, D, £,,.., sur la ligne de terre, on pourra construire immédiatement les projections verticales

A' a', B'é', Gc\ D'rf', E'e', F'/',...

des génératrices d^ l'hélicoïde; et ces droites dessineront d'elles-mêmes, par leurs intersections consécutives, la projection de l'hélice ou la courbe A'&Y^e'Xti'A!' à laquelle elles devaient être tangentes.

457. (/igf. 96.) La courbe abcdef...j qui est la projection horizontale delà trace de rhélicoïde sur le plan supérieur a'A'\ se trouve nécessairement une développante du cercle OA, symétrique de la première ABCDE.,.. En efifet, puisque la droite Dc^rf par exemple, est égale à la circonférence totale, et que la partie Drf