CHAPITRE m. — 8tm LIS OmÈftïïS ET LES PTRAMIDES

surface, «He passera par \e rayon Visuel dirigé au point A, et conséquemment par : le point de la station : ainsi, il aura une première Surface courbe déterminée, sur laquelle se trouvera le point demandé. En raisonnant pour les deux autres points B, C, comme pour le premier, le point demandé se trouvera encore sur deux autres surfaces coniques à bases circulaires, dont les axes seront verticaux, dont les sommets seront aux points B, C, et pour chacune desquelles l'angle formé par Taxe avec la génératrice sera égal à l'angle formé par la verticale avec le rayon visuel correspondant. Le point demandé sera donc en même temps sur trois surfaces coniques, déterminées de forme et de position, et, par conséquent, dans leur intersection commune. Il ne s'agit donc plus que de construire, d'après les données de la question, les projections horizontales et verticales des intersections de ces trois surfaces, considérées deux à deux (*)| les intersections de ces projections donneront les projections horizontale et verticale du point demandé, et, par conséquent, la position de ce point sur la carte, et sa hauteur au^essus ou au->dessous des points observés, ce qui déterminera sa cote»

» Cette solution doit en général produire huit points qui satisfont à la ques* tion; mais il sera facile à l'observateur de distinguer, parmi ces huits points, cdni qui coïncide avec le poînt'de la station. D'abord, il pourra toujours s^assùrer si le point de la station est au*<lessus ou au-dessous du plan qui passe par les trois points observés. Supposons que ce point soit au-dessus du plan des sommets des cônes; il sera autorisé à négliger les branches des intersections des surfaces coniques qui existent au-dessous de ce plan, et par là le nombre des points possibles sera réduit à quatre : ce serait la même chose si le point de la station était au contraire placé au-dessous du plan. Ensuite, parmi ces quatre points, s'ils existent tous, il reconnaîtra facilement celui dont la position par rapport aux trois sommets, est la même que celle du point de la station par rapport aux points observés. »

SOT. « Les circonstances étant tes mêmes que dans la question précédente, avec cette seule d^érence que t instrument West pas garni de fil à plomb , de manière que les angles avec ta verticale ne puissent pas être mesurés, on demande encore que l'ingénieur^ sans quiUer la station, détermine sur ta carte la position du point où il est et quit trouife la cote de ce points cest^à-dire son élévation au-dessus de la surface de niveau à laquelle tous les points de la carte sont rapportés.

» Après avoir choisi trois points du terrain qui soient marqués d'une manière précise sur la carte, et tels, que le point de station ne soit pas avec eux dans le

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( *) VinienBci'\on de deuK de ces cônes se construira par ta çnéthode du n"^ 897, ou> mieux enoore , en les coupant par divers plans horizontaux; car les sections seront de$ cercles, dont les centres se projetteront au même point ^ue le sommet, çt dont les rayons se trouveront marqués sur le plaq tcrticâl.

aa8 UVRE ▼!• — QUESTIONS DIVERSES.

même plan, Fingénieur mesurera les trois angles que forment entre eux les rayons visuels dirigés à ces trois points; et, au moyen de cette seule observation, il sera en état de résoudre la question.

» En elfet, si nous nommons A, B, C les trois points observés, et si on les sup* pose joints par les trois droites AB, BC, CA, l'ingénieur aura les projections horizontales de ces droites tracées sur la carte; de plus, au moyen des cotes des trois points, il aura les difFérences de hauteur des extrémités de ces droites ; il pourra donc avoir la grandeur de chacune d'elles.

» (jFYgr. io6.) Cela posé, si, dans un plan quiconque mené par AB, on conçoit un triangle rectangle BAD construit sur AB comme base, et dont l'angle en B soit le complément de l'angle sous lequel le côté.AB a été observé, l'angle enD sera égal à l'angle observé, et la circonférence de cercle décrite par les trois points A, B, D, jouira de la propriété, que, si d'un point quelconque de l'arc ADB on mène deux droites aux points A et B, l'angle qu'elles ^comprendront entre elles sera égal à l'angle observé. Si donc on conçoit que le plan du cercle tourne autour de AB comme charnière, l'arc ADB engendrera une surface de révolution dont tous les points jouiront de la même propriété *, c'est-à-dire que si, d'un point quelconque de cette surface, on mène deux droites aux points A et B, ces droites formeront entre elles un angle égal à l'angle observé. Or il est évident que les points de cette surface de révolution sont les seuls qui jouissent de cette propriété; donc la surface passera par le point de la station. Si l'on raisonne de la même manière pour les deux autres droites BC, CA, on aura deux autres surfaces de révolution, sur chacune desquelles se trouvera le point de la station : ce point sera donc en même temps sur trois surfaces de révolution différentes, déterminées de forme et de position ; il sera donc un point de leur intertection commune. Ainsi, en con* struisant les projections horizontales et verticales des intersections de ces trois surfaces, considérées deux à deux, les points où les projections se couperont dlesmémes toutes trois, seront les projections du point qui satisfait à la question. »

308, A la vérité, si, pour effectuer ces constructions par la méthode du n'' 533, on adopte le plan du triangle ABC pour le plan horizontal de l'épure, et que Ton dirige le plan vertical perpendiculairement à un des côtés, AB par exemple, on n'obtiendra ainsi que la projection du point demandé sur le plan ABC, et sa hauteur au-dessus ou au-dessous de ce plan; mais, comme ce dernier a lui-même une position connue par rapport à la surface de niveau à laquelle tous les points de la carte sont rapportés, il sera bien facile de retrouver ensuite la projection de la station sur le plan même de la carte, et sa hauteur au-dessus de ce plan.

509. Observons aussi que si l'on voulait résoudre ce problème analytiquetnent, en combinant les équations des trois surfaces de révolution décrites par les arcs ADB, bec, CFA, on obtiendrait beaucoup de solutions qui seraient étrangères à