CHAPITRE JII. — SUR LES SPHÈRES ET LES PYRAMIDES

deux angles adjacents à la même arête, comme a et w ; et, d'ailleurs, le nombre des solutions pourra devenir moindre, suivant les inclinaisons des quatre plans donnés. Cette question est analogue au problème de la géométrie plane, dans lequel on propose de trouver un cercle qui soit tangent à trois droites connues.

S04p. Construire un point dont on connaît les distances à trois points donnés, ou bien à trois plans connus, ou enfin à trois droites données.

i^. Désignons les points donnés par A, B, C, et leurs distances respectives au point inconnu x, par a, S, y. Alors, en imaginant une sphère qui ait son centre en A et pour rayon la distance a, le point x devra évidemment se trouver quelque part sur la surface de cette sphère; il sera pareillement sur deux autres sphères qui auraient leurs centres en B, C, et pour rayons les longueurs 6, y : par consé* quent, la question revient à trouver l'intersection de trois sphères données, problème que nous avons résolu au n*^ 497.

a**. Si Ton désigne à présent par P, P', P'' les plans donnés, et par (?, c^, â^ leurs distances au point inconnu jc, ce dernier devra être à la fois dans trois plans p, p', p^j respectivement parallèles à P, F, P", et éloignés de ceux-ci de quantités égales à &, (^, â^\ Donc, en construisant les plans p, p\ p", d*après les méthodes du livre I*', la question se réduira à trouver l'intersection de trois plans connus, problème que le lecteur saura aisément résoudre. Observons seulement que^ comme le plan p, par exemple, pourra être mené à la distance d^, soit au-dessus, soit au-dessous de P, il y aura ainsi huit solutions pour la position du point démandé X.

3**. Soient enfin A, B, C trois droites données, dont le point inconnu x est éloigné des quantités a, 6, y. Si l'on imagine un cylindre de révolution qui ait pour axe la ligne A, et pour section droite un cercle du rayon a, celte surface cylindrique contiendra nécessairement le point x. De même, ce point se trouvera aussi sur deux autres cylindres de révolution, qui auront par axes et pour rayons B et 6, Cet y; par conséquent, la question est réduite à trouver tous les points communs à ces trois cylindres. Or, en supposant que les traces horizontales de ces trois surfaces ont été construites comme nous allons l'expliquer plus bas, il n'y aura plus qu'à chercher, parla méthode du n° 28S, la courbe d'intersection du cylindre A avec le cylindre B, puis celle des cylindres A et C; et ces deux courbes, qui pourront se couper au plus dans huit points, attendu que les trois surfaces sont évidemment du second degré, feront connaître par leurs rencontres les diverses positions que peut avoir le point demandé jc. Toutefois observons que, pour obtenir les points vraiment communs aux deux courbes dans l'espace, il ne faudra prendre, parmi les sections des deux projections horizontales, que les points qui correspondront exactement à des sections sur le plan vertical; c'est-à-dire que ces points devront être deux à deux sur des perpendiculaires à la ligne de terre. D'ail- 4* édit. ag

aa6 LITRE TI. ^ QlTClTlOVfS «VERSES*

leurs on pourra^ comme vériEcatioiii construire aussi la courbe d*liitentectk>n des cylindres B et C, laquelle devra encore passer par les points communs aux deux premières courbes.

505. {Fig. io5.) Quant k la manière de trouver la trace horizontale de chaque cylindre, représentons^ sur deux plans de projection, Taxe de Tun d'entre eux par (AF, AT'). En faisant tourner cette droite autour de la verticale A, pour la rabattre parallèlement au plan vertical, elle deviendra (A/, A/'); et alors la section circulaire du cylindre se projettera suivant une droite G'H% égale à !i a et perpendiculaire sur A'/'. Donc le contour apparent du cylindre sera fourni par les droites G'K', H'U, parallèles a A'/S et la trace horizontale de cette surface dans la position actuelle sera une ellipse ayant évidemment pour grand axe la distance UK\ Par conséquent, si Ion ramène les points K' et U en a et cf, la droite ad et sa perpendiculaire bAe= 2a seront les axes de l'ellipse suivant laquelle le cylindre primitif coupait le plan horiaontal; de sorte que cette courbe sera maintenant &cile à construire*

306. a Un ingénieur (^), parcourant un pays dû montagnes^ M muni d'une carte topoçrapinque sur laquelle $ont marquéeê exactement les projections des différents poàKs du terrain, ainsi que les cotes qui intliquent les hauteurs de ces points au*dessus d*une même surface de niveau^ Il renconti^ un point remarquable qui n'est pas maPqué sur la , carÈe, et il ne porte avec lui d'autre instrument pr<^re à mesurer les angles, quun graphomètre garni dun fil à plomb. On demande que, sans quitter /a station^ V ingénieur construise sur la carte le point où il est, et quil trouve la cote qui convient à ce point, cest^à-^ire sa hauteur au-dessus de la surface de niveau.

p Parmi les points du terrain marqués d'une manière précise sur la carte» et qui seront les plus voisins» l'ingénieur en distinguera trois» dont deux au moins ne soient pas à la même hauteur que lui; puis il observera les angles formés par la verticale et les rayons visuels dirigés à ces trois points, et, d'après cette seule observation, il pourra résoudre la question.

9 £n effet, nommons A, B, G les trois points observés dont il a les projectioos horizontales sur la carte» et dont il pourra construire les projections verticales au moyen de leurs cotes. Puisqu'il connaît l'angle formé par la verticale et par le rayon visuel dirigé au point A, il connaît aussi l'angle formé par le mén^ rayou avec la verticale élevée au point A ; car, en négligeant la courbure de la terre, ce qui est convenable ici^ ces deux angles sont alternes-internes» et, par conséquent, égaux. Si donc il conçoit une surface conique à base circulaire^ dont le sommet soit au point A, dont l'axe soit vertical, et dont l'angle formé par l'axe et par la droite génératrice soit égal à l'angle observé, ce qui détermine complètement cette ■■ ■* ..■■... . — j - I

( * ) Gei trkîde «t le suivâol «ont winiu de la Géométrie descnptiw dA l&au%e.