NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES SURFACES GAUCHES

510. Toutes les surfaces qui peuvent être engendrées par le mouvement d'une ligne droite sont désignées généralement sous le nom de surfaces réglées, parce qu'on peut évidemment les exécuter fiur un corps solide, au moyen d'une règle, avantage qui en rend l'usage très-fréq\ient dans les arts; mais on doit les partager en deux classes bien distinctes, selon que la loi qui dirige le mouvement de la génératrice rectiligne satisfait, ou non, à la condition, que deux positions consécutives de la droite mobile soient situées dans un même plan. Lorsque cette condition est remplie, la surface réglée est developpable, et un même plan la touche fout le long de la génératrice, comme nous l'avons prouvé aux n^* 175 et 177. Or, tout ce qui regarde la détermination du plan tangent, la construction des génératrices et le développement d'une telle surface, ayant été suffisamment expliqué dans les livres précédents, et notamment par l'exemple général du n^465, nous ne reviendrons plus sur ces questions ; et ici nous nous occuperons seulement des surfaces gauches, c'est-à-dire des surfaces engendrées par une droite qui se meut de telle $orie, que deux positions consécutives , quelque rapprochées qu'on les suppose, ne sont pas dans un même plan.

511. {Ifig. 107.) Avant d'indiquer diverses manières de réaliser la condition précédente, nous ferons observer qu'il en. résultera toujours que Vêlement superji^ ciel indéfini en longueur, et compris entre les deux génératrices infiniment voisines G et G', sera lui-même gauche; car, pour toutes les courbes A, B, C,..., que Ton tracera sur la surface, les éléments linéaires LL', MM^, ISN',..., qui sont des droites

a3o LIVRE VII. — DES StlUFAeiS GAUCBCS.

ayant chacune deux points communs avec G et 6^ ne pourront être ritoés dans un même plan dès que ces deux génératrices n'y sont pas. En outre, comme les t«angentes LUT, MM'U, NN'V,.-? qni sont les prolongements de ces éléments linéaires, se trouveront ainsi dans des plans différents, il arrivera nécessairement que les plans tangents GLT, GMXJ, GNV,..., relatifs aux divers points L, M, Tî,..., d^une même génératrice , seront distincts les uns les autres, quoiqu'ils renferment tous la génératrice GLMN.

512. De là il résulte encore que, dans une surface gauche, chaque plan tel que GLT, quoique véritablement tangent en L, c'est-à*dire renfermant les tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface par ce point, devient sécant dans tous les autres points qui lui sont communs avec elle; et son intersection se composera d'abord de la génératrice GLM elle-même, puis d'une seconde branche passant par le point L, et qui peut être rectiligne ou curviligne, suivant la forme de la surface gauche en question.

515. Voyons, maintenant, de quelle manière nous pourrons réaliser la condition (n^5iO) qui caractérise les surfaces gauches. Si nous assujettissons la droite mobile à glisser seulement sur une, ou même sur deux courbes directrices A et fi, invariables de forme et de position, le mouvement de cette droite ne sera pas complètement déterminé ; puisque, pour chaque point L choisi à volonté sur A, la génératrice rectiligne pourra prendre une infinité de positions, situées toutes stir le cône qui aurait pour base B, et pour sommet le point L. Deux courbes ne suf« fisent donc pas pour diriger le mouvement d'une droite, à moins qu'on n'impose, à priori, la condition que la surface engendrée soit développable, comme on Ta vu n^l80; mais cette condition est précisément celle que nous voulons écarter ici.

{Fig. 107.) Assujettissons donc la droite mobile à glisser constamment sur trois courbes directrices A, B, G, et nous allons voir que ces conditions suffisent pour régler complètement le mouvement de cette génératrice. En effet, si Ton imagine deux cônes qui auraient pour sommet commun le point L pris à volonté sur A) et pour bases, Tun la directrice B, Tautre la directrice G, on pourra aisément construire les traces de ces surfaces coniques sur un des plans de projection; et en joignant les points de section de ces deux traces avec le sommet commun L, on obtiendra une ou plusieurs di;oites, mais en nombre fini, qui, comme GLMN, s'ap« paieront évidemment sur les trois courbes A, B, G, puisqu'elles seront les intersections des deux cônes passant par B et par G. Ces droites seront donc les positions déterminées que doit prendre la génératrice mobile, lorsqu'en glissant sur A, elle arrive au point L; et pour d'autres points L% L"",..., on construira semblablement les positions de cette génératrice.

Au lieu d'employer deux surfaces coniques, dont il faut chercher les traces, il sera quelquefois plus commode de construire l'intersection du premier cÀne LMf,