CHAPITRE I. -r SECTIONS OlSNliRAiEg SI3B LK8 SURFACES GAUCHES. ftSf
avM l€ cylindre veiiicai qui projettera la directrice C sur le plan horizontal Par lày on obtiendra une courbe auxiliaire dont la rencontre avec la projection verticale de C fera connaître le point qu'il faut joindre avec L pour avoir une position de la gén^atrice.
âté*. D'ailleurs^ la surface ainsi engendrée sera gauche en général ; car, lorsque la droite mobile passera d'une position GLMIï à une autre G'L'M'N' infiniment voisine, elle pourra être censée glisser sur les trois tangentes LT, MU^ NV^ qui ont, avec les directrices, les éléments communs LU, MM^ 'STU^ : donc, si ces tangentea ne sont pas situées toutes trois dans un seul et même plan, les deux gênétriées G et G' n'y seront pas non plus. Or, pour que ces tangentes se trouvassent dans un même plan, et surtout pour que la même circonstance se reproduisît à chaque système de points (L, M, N)t (L'^ M', N')» (L"", M"", W)^...^ situés trois à trois en ligne droite, il est clair qu'il faudrait faire un choix tout particulier dans la forme et la position des directrices A, B, C; par conséquent, en général, la iur-^ face décrite par une droite mobile qui s appuie constamment sur trois courbes fixes est gmiche»
Mais une telle surface peut o0Frir une ligne singulière, le long de laquelle il existera un élément p/an^ indéfini en longueur^ c'est ce qui arriverait dans le cas où, pour un certain point L, les deux cônes dont nous avons parlé au numéro précédant auraient leurs traces tangentes Tune à l'autre» Alorà, la génératrice menée de L à ce point de contact pourrait, sans quitter le point L, glisser sur la tangente commune aux. deux traces, et elle décrirait ainsi un élément particulier qui serait plan. Cda revient à supposer que les deux tangentes MU et MY sont dans un même plan; et, à plus forte raison, en serait-il de méixie, si les trois tangentes en L^ M, N, se trouvaient dans un plan unique,
5i5. Ctlihdboide. {Fig. loS.) On désigne ainsi une surface où /a rfrottemaéîfe 0 doii glisser constamment sur deux courbes fixes A et B, en demeurant toujours parailèle à un plan donné P, que l'on nomme le plan directeur. Pour construire ici les positions de la génératrice, il suffira de couper les courbes A et B (n^233) par divers plans parallèles à P ; et en joignant par une droite les deux points de section de chaque pian, on aura des lignes GLM, G'L'M',.*., qui satisferont évidemment aux conditions imposées à la génératrice. La surface, lieu de toutes ces droites, sera encore gauche en général, parce que les tangentes LL'T, MM'U, sur lesquelles s^appuîe la droite G lorsqu'elle passe à la position infiniment voisine Gfp ne se trouveront pas ordinairement dans un même plan.
Au reste, ce genre de surfaces gauches rentre dans le précédent, lorsqu'on ima* gine que la troisième directrice C est située k l'infini dans le plan P.
ai 6. Dans toutes les surfaces réglées, on peut remplacer les courbes directrices par des surfaçe$ directrices auxquelles la droite mobile devra être tangcata» Par
a3a LÏVRE Vï. — DES «imrACE» CAUCHES.
exemple, si l'on assigne une courbe A et une surface S pour diriger la génératrice, avec un plan P auquel cette droite mobile devra rester parallèle, on mènera par chaque point L pris sur A, un plan parallèle à P, lequel coupera la surface S suivant une courbe à laquelle on conduira des tangentes partant de L; ce seront bien là des positions de la génératrice demandée, et la surface réglée ainsi produite swa en général gauche. D'ailleurs, elle touchera S tout le long de la courbe formée par les points de contact a, ê, 7,..., des tangentes dont nous venons de parler; car, pour la surface gauche comme pour la surface S, le plan tangent renfermera la génératrice rectiligne et la tangente de la courbe aêy qui est commune aux deux surfaces.
Si Ton donnait deux surfaces S et S' avec un plan directeur P, on couperait ces ^ur&ces par divers plans parallèles à P, et Ton mènerait une tangente commune aux deux sections produites par chacun de ces plans sécants. Ce serait encore une des surfaces nommées cylindroides.
547. Lorsque la surface réglée n'admet point de plan directeur ^ on peut encore
remplacer une ou plusieurs des trois courbes directrices A, B, C, par des surfaces
auxquelles la génératrice devra être tangente. Supposons, en effet, que Ton assigne,
pour diriger le mouvement de cette droite, les courbes A et B avec une surface S;
pour chaque point L pris sur A, il faudra construire deux cônes ayant leurs sommets
communs en L, et dont Fun aurait pour base la courbe B, tandis que Tautre serait
çircoMcrit à la surface S (n^ 548) : les intersections de ces deux cônes, qui seront
: nécessairement des droites, fourniront les positions de la génératrice lorsqu'elle
• passe par le point L. Quand la surface S se trouvera développable, il sera plus
court de lui mener un plan tangent qui coupe les deux courbes A et B en des
points que Ton réunira par une droite; ce sera bien là une position de la géné-
' ratrice.
Si Ton donne une seule courbe A avec deux surfaces directrices S et S', il faudra confiner ensemble deux cônes circonscrits Tun à S, Tautre à S', et dont le sommet commun serait en un point L de la ligne A.
518. Lorsqu'on assignera frow surfaces S, S', S*", auxquelles la droite mobile -devra rester constamment tangente, la construction des diverses positions de cette gtoératrice sera beaucoup plus laborieuse ; mais on y parviendra en ramenant la question à l'un des cas précédents. En effet, si nous connaissions une droite G qui touchât la surface S en un certain point a, 9f en a', et S" en a''; puis, que nous fissions glisser cette ligne Gaa'a^ sur les deux surfaces S et S', en Tassujettissant d'ailleurs à demeurer parallèle à un plan directeur P, nous obtiendrions, par la méthode du n^ 516, une surface auxiliaire 2, qui couperait S*' suivant une certaine courbe «^€"7" passant par le point a*', et à laquelle la droite G serait nécessairement tangente en ce point : car G se trouve évidemment dans le plan tangent de S%
GHAPITBE I. — NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES SURFACES GAUCHES. a33
et dans celui qui touche la surface gauche 2 au point a'\ Par conséquent, si Ton commence par construire la surface auxiliaire 2 qui a pour directrices S, S'', et le plan P; puis, si Ton détermine son intersection a'^ê"/ avec la surface S'', il n'y aura plus qu'à mener à la courbe «"€*'/' une tangente qui soit parallèle au plan P, et cette tangente sera la position d'une génératrice G de la sur&ce demandée qui a pour directrice S, S', S''. Pour obtenir d'autres positions de cette génératrice, on fera varier la direction du plan P.
519. On peut encore diriger le mouvement de la droite qui engendre une sur* face réglée, en assignant deux courbes directrices  et B, a^c la condition que la génératrice coupe tune d'elles sous un angle constant et donné; ou bien, que la portion de cette génératrice comprise entre AetB conserve une longueur fixe. On peut aussi faire glisser la droite mobile le long d'une seule courbe A tracée sur une surface fixe S, à laquelle la génératrice devrait rester normale, etc., etc. Mais toutes ces variétés de surfaces réglées, pour lesquelles il sera facile d'imaginer un mode de construction approprié aux conditions que chaque problème imposera, n'offrent pas assez d'intérêt pour que nous les discutions en détail; et, d'ailleurs, elles ne forment pas, au fond, des genres vraiment distincts, puisqu'on peut toujours les concevoir ra-^ menées à celles du n^ 513, en adoptant pour directrices de la droite mobile trois sections faites à volonté dans la surface.
520. Pour compléter ces notions générales, nous ajouterons que, parmi les GTLiiTDROiDES, on douue le nom particulier de coitoides aux surfaces gauches qui admettent un plan directeur P avec deux directrices dont une est rectiligne : l'autre directrice peut être une courbe ou une surface. Le conoïde serait dit droit, si la directrice rectiligne était perpendiculaire au plan P (voyez n? 596).
Lorsque les deux directrices sont l'une et l'autre des droites, le conoide prend le nom de paraboloide hyperbolique, ou de conoïde du second degré, parce que c'est le seul dont l'équation ne s'élève pas au-dessus de cet ordre.
Enfin, lorsqu'une surface réglée, qui n'admet pas de plan directeur, a pour directrices trois droites quelconques, elle reçoit le nom à^ hjrperbokiide à une nappe : cet hyperboloîde et le paraboloide dont nous venons de parler se désignent encore simultanément sous le nom de surfaces gauches du second degré, parce que l'analyse montre que ce sont les seules surfaces de cette nature dont l'équation ne s'élève pas au delà du second ordre. Nous allons commencer par considérer ces deux genres particuliers, qui offrent des propriétés fort remarquables, et nécessaires à connaître pour étudier les autres surfaces gauches.
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