LIVRB VIII. -^ COURBURE DES LIGNES ET DES SURFACES

générateur (E, E') du fil mobile est arrivé en (L, L'), il faut que ce fil prolongé en sens contraire (LZ, L'Z'), et fixé à son extrémité opposée, recommence à se plier sur une nouvelle branche (YQfc, Y'Q'6") qui a la même asymptote^ et qui servira à décrire un second arc d'hélice (LAB, UA'B*), égal au précédent. Pour construire cette nouvelle branche de développée, dont la projection horizontale doit être évidemment symétrique de epx^ on prendra l'arc Ib = fe, puis on décrira la circonférence /?P 9 Q, sur laquelle on placera le point Q à gauche du rayon Oé, comme le point p était placé à droite du rayon Oe; enfin, on projettera Q en Q', en élevant ce dernier au-dessus de l'horizontale B^b'' de la même quantité dont le point p' est abaissé au-dessous de E'X'.

681. A la branche de développée (YQ6, Y'Q'6") succédera une troisième branche (69/, ^"9^ ) ^^^^ chaque point (9, 9') se construira comme précédemment, et d'une manière que notre épure rend assez visible; cette troisième branche servira à décrire un nouvel arc d'hélice (BES, B"E"S"), toujours égal aux précédents, et ainsi de suite. L'asymptote de cette dernière branche serait encore parallèle à la génératrice de l'hélicoïde, qui partirait du point diamétralement opposé à (S, S"); mais il sera plus simple de mener au cercle la tangente SWU, qui coupera LZ au point W, situé sur le rayon 06 : et comme ce point serait projeté en W sur la première asymptote, il faudra placer le point W" à la même hauteur andessus de B"6", puis tirer la droite W"U' de manière à former avec la verticale le même angle que WZ.

682. Quant à l'asymptote (VÇ, V''Ç')dela branche (ePX, FP'X'), sa projecrton horizontale a une position symétrique de Vz; et sa projection verticale étant évidenmient parallèle à V's', il suffira de la mener par le point V placé au-dessous de E', comme le point V est au-dessus.

683. {Fig. ia8.) Pour mieux saisir la liaison de ces diverses branches de la développt'^e totale d'une hélice, et bien comprendre la description de cette courbe par un mouvement continu, sans être obligé de transporter le point d'attache du fil mobile, d'une branche sur l'autre, il n'y a qu'à se représenter une droite indéfinie eX injlexible y placée d'abord dans la position horizontale (Ee, E'), laquelle roule, sans glisser, sur la branche (e/?x, YJp'x^) en lui demeurant tangente. Dans ce mouvement, le point générateur (E, E') commencera par décrire l'arc d'hélice (EKL, E'K'L'), et lorsqu'il sera parvenu en (L, L'), la droite mobile sera devenue Tasymptote (L2, L'z') ; mais, comme au même instant cette droite touchera à l'infini la seconde branche (/> Y, 6" Y'), si elle recommence à rouler en sens contraire sur celte dernière branche, pour se rapprocher de la position horizontale (B6 W, Wb"\ le point générateur décrira, dans cette seconde période de son mouvement non interrompu, l'arc d'hélice (LAB, L'A^'B''). Puis, si de la position horizontale (B6, Wb"), la droite mobile vient à rouler sur la troisième branche {bqy^ b^^f)^