CHAPITRE I. — COURBURE ET DÉVELOPPÉES DES LIGNES. agS

parerllement une inclinaison constante, et que chacun passera par le rayon du cylindre qui aboutira au point considéré sur Thélice. Par conséquent, si Ton con-^ çQÎt que ces plans norniaux soient menés par des points infiaioient voisins, pris à distances égales sur l'hélice proposée, ils se couperont consécutivement suivant des droites qcii auront toutes des poâirions parfaitement symétriques relativement à l'ase vertical O; c'est-à-dire que ces droites seront également inclinées sur cetaxe, et placées' à la vnême distance de cette verticale. D'où je conclus que ces droites, intersectfons des plans normaux consécutifs, se trouveront tangentes à une nou^ velle hélice tracée sur un cylindre droit à base circulaire àbcde.,., dont le rayon est ODcore inconnu, et qu^elies* formeront un hélicoïde développable [n^ 436) qui sera Icv Hea despêtes^ ou le tieu de toutes les développées ( n^ 658) de l'hélice primitive (ABCDE..., A'B'C'D'E'...).

673< Pour déterminer cet hélicoïde, j'observe que sa trace hori:îontale sera précisément la développante du cercle inconnu abcd$... (n^ 455), et que cette courbe devra être tangente aux traces de tous les plans normaux. Or, le plan normal relatif au point (A, A') ayant évidemment une trace AOI qui passe par le centre O, le rayon OI contiendra nécessairem^it Torigine de cette développante; tandis que la trace IN'N, perpendiculau^e à OI, répondra au premier quart de révolution de cette développante; par conséquent, sa distance an centre, c'est<»à-dire OI ou en, devra se trouver précisément égale au quart de la circonférence inconnue abcdcM^is déjà il existe une relation semblable entre la sous-tangente ET et le quart de cercle AE; donc le rayon OA de ce dernier doit avoir avec ET le même rapport qu'aura le rayon inconnu Oa avec OI. D'après cette remarque, on tirera la droite k'^ parallèle à FT', puis d^ ci pamllèle à Ë'N^ et cette seconde parallèle déterminera la grandeur O'a' que l'on doit donner au rayon du cercle demandé abcde) ensuite, on construira l'hélice (abcde..., a'b'dd'é ..!) de même pas que l'hélice primitive, et ce sera l'arête de rebroussement de riiélicoïde en question. Cette surface aura d'ailleurs pour trace horizontale la développante aiu;r du cercle abcdc.y et pour génératrices les tangentes de la nouvelle hélice, telles que (en, E'N'), (Au, AV), les<(uelle8 représentent les intersections consécutives des plans normaux infiniment voisins, menés à l'héKce (ABGD..., A'B'Ciy...).

674; [Fig. 128.) Pour trouver le rayon de courbure de cette dernière ligne au point (E^ E') par ^exemple, il faut abaisser de ce point {note du n** 656) une perpendiculaire (EOe, E') sur la génératrice (en, E'N'), qui est dans le plan normal correspondant au point assigné. Or, comme cette perpendiculaire aboutit évidemment au point (e, £'), et que des résultats semblables arriveraient pour tout autre plan normal, nous en conclurons ces deux théorèmes bien remarquables : i^ toute hélice à base circulaire (ABCDE..., A' fi' CD' £'...) a pour lieu de ses centres de cour* bure une autre hélice {abcde...^ a'I/c'd^e^...) déterminée comme ci«-de6sus; 2? le

994 UVAE VIIl. — COURBURB DEB UGNES ET DES SUftPiCES.

rayon de courbure de la première hélice est coiïstaat, et égal à la $omme OË 4* Oe (^ rayons des cylindres où sont situées ces deux courbes.

675. Réciproquement, on prouvera, par des considératioDB semblajbles, qiiela seconda hélice {abcde,..j àb'c'd'e'.,.) a pour lîeu de ses centres de courbure la première hélice (ABCD,,,, A'B'G'D',,.); et que le rayon de courbure de ceUe-là est aussi constamment égal à la somme Oe + OE. Gela tient à oe que le plan nor« mal £'!N'N de la première hélice est le plan osculateur ( n^ 463) d« )a seconde; et qu^aiissi le plan normal de celle-ci, qui serait E'TT^ perpendiculaire à ta tan* gente (i?n, E'W)^ se trouve le plan osculateur de là première; de sorte qu'il y a une oovnplèiie réciprocité entre ces deux hélices, et les angles de contingence et dt torsion (n^^ 655, 6o4) dans lune, sont respectivement égaux aux angles de tomm et de contingence dans l'autre. Ce résultat est un cas particulier de la i^elatîon générale que nous avons £sut remarquer au n^ 659; mais, comme tiou/s ravooi observe alors, il ne faut pas en conclure que la torsion merne^ ou la cambrure de la seconde hélice, soit égale à la courbure de la première, ni r^proquement; car lei éléments correspondants AB et 06 de ces courbes ne sont pas de même lorigueur.

676. Si l'on veut exprimer par l'analyse la grandeur des rayons de courbure f et p' de ces deux hélices, il n'y a qu'à poser

OA = ïl, Oa = r, angle r=: w, W= 90^— « = w', 0'E' = |A;

et le triangle rectangle Md'cfj que nous avons tracé sur l'épure, fournira éyidem^ ment la relation r = R tang* «, d'où l'on déduira

p = R4-r=R(i + tang^a)) = R(i+j^,)

pour la {première hélice; et pomr la seconde,

p' = r + R = r (i ^. tang» o)') = r (i + ^,) .

677. i^Fig. ia<8.) Maintenant, construisons une c/^^p;»^^ de rhâice(ABCDM.| MWGV...), m menant d'abord, par un point arbitraire (E, E') de cette courbe, une droite qui soit «tuée (n"» 657) dans le plan normal E'N'N relatif à ce poifit; ou bien une tangente à la surface polaire, enveloppe îles plans normanx, bqi^i^ sur&ee est ici l'hélicoîde développable qui a pour arête de rebroussemeut J'h^^^ {etbcdes..^ cflfcfd'e^...). Afin d'arriver à des résultais plus symétriques, choi$isson$ poiar c«tte première tangente le rayon de c<mrbttre (Ee, E'), et rap^ieloas-^^^"^ qu'après te développement de cet hélicoïde, la développée cherchée deviendra ^^ ligne droite (n^ 658) qui devra être le prolongement indéfini de(E£, E').Si d^ nous voulons développer cet hélicoïde sur son pian tangent E'N'JÏ', i* ^*^^ (a*» 467) rabattre les taiigeni£s(ite, N'Emet (W«, NV) suivant n€«t Ha'' j p«i^ ^ ver À len» Mlrhailém deox peipendiculaîres xa et ix'u qai aéterimneront par ^

CBÂMTltE I. -^ COUAStntB ET DÉVELOPPÉES DES LI6NES. agS

rencontre le centre w et le rayon «g (*) du cercle eX suivant lequel se transformera Fhélice (afrcrf..., a!l/&d'...); d'ailleurs, sur ce développement, la droite indéfinie <ùsit représentera la transformée de la développée cherchée.

Quant à la position que prendra, sur ce développement, la génératrice quelconque {hvyh'%/) de rhélicoïde, nous l'obtiendrons en prenant l'arc de cercle ^ de même Idngueur que l'arc d'hélice {eh^ E'A'), longueur qui est donnée (n^ 468) par l'hypoténuse du triangle E'Yj'yj'^ dont la base E'37' égale l'arc horizontal eh; et alors la génératrice cherchée deviendra la tangente Yjn. Or, cette dernière allant rencontrer la transformée cos de la développée, au point n, il s'agira de reporter la distance y??: sur la génératrice primitive (Aw, A' y'); pour cela, on prendra l'hypoténuse £'71" = >37r, et la base ¥Jn de ce nouveau triangle rectangle étant portée de h en />, fournira évidemment la projection horizontale p, puis la projection verticale p% d'un point de la développée cherchée, laquelle sera {epx, E'p'x').

678. Ainsi, un fil enroulé sur cette branche suivant la direction (xpeE^ x'p'E') décrira par son extrémité (E, E') la partie supérieure (EFGH..., E'F'G'H'...) de l'hélice donnée, du moins jusqu'à une certaine limite que nous allons déterminer; et le ra/on de développée aboutissant au point (p, p') sera la tangente (H/>, H'p'). Quant à la partie inférieure (EDCB..., E'D'C'B'...), elle aura pour développée une autre branche (ePX, E'P'X') qui se construira comme la première, ou plutôt qui s'en déduira immédiatement, en cherchant des points (P, ?') placés symétriquement avec (p, p').

679. Il y aura sur le développement de l'hélicoïde une tangente Xp, parallèle à la transformée cùstt de la développée : donc, si nous rapportons le point X sur l'hélice, en prenant l'arc de cercle eWégal à la base E'X' du triangle rectangle E'X"X' dont l'hypoténuse est l'arc eX rectifié, la génératrice (/r, /V) de l'héliccnde correspondra à Xj9, et n'ira plus rencontrer la développée {epxy E'p'xf) qu'à l'infini. Toutefois, ce n'est pas là l'asymptote de cette branche; car une pareille droite doit non-seulement rencontrer la courbe en un point infiniment éloigné, mais aussi lui être tangente. Or, puisqn'au point (p, p'), situé sur la génératrice (Av, Hx/\ la tangente était (Hp, H'p'); pour le point infiniment éloigné situé sur (/r, /V) la véritable tangente, ou \ asymptote, partira du point (L, L'), diamétralem^it opposé à (/, /')? et sera la droite (Lz, L'z'), parallèle à (/r, f r').

680. On voit par là que la branche de développée (epx, E'p'x'), quoique infinie, ne peut servir qu'à décrire la portion d'hélice (EKL,E'K'L') ; et quand le point

(*) Ce rayon a>c doit se trouver égal à £c, puisque c'est là le rayon de courbure (n°674) de l*hélice [ahcd, . ., a! Vd d* , . .}, et que cette ligne ne doit pas changer de courbure, quand on déreloppe la surface dont elle est Taréte de rebroussement (n® 170, note). Ainsi il aurait mieux valu rabattre une seule tangente suivant /ic, puis élever la perpendiculaire S6> égale à Etf, laquelle aurait toffi pour tracer le cercle %\ : c'est la marche que nous avons déjà conseillée au n^ 4W.