DE LA COURBURE DES SURFACES
684r. Deux surfaces sont dites osculalriçes l'une de Tautre, lorsque tout plan mené par la normale commune les coupe suivant deux courbes qui sont osculalriçes entre elles (n° 650), ou bien qui ont le même rayon de courbure. Mais on doit sentir que,. parmi toutes les sphères qui peuvent toucher une surfaceS en un point donné, aucune ne saurait lui être osculatrice; puisque la courbure d'une sphère est uniforme, tout autour de sa normale, tandis qu'il n'en est pas ainsi d'une surface quelconque. Alors, pour estimer la courbure de cette dernière en un point donné, on cherche les rayons de courbure des diverses sections normales, et, par leur comparaison, on acquiert des notions précises sut* la forme plus ou moins aplatie de la surface autour du point considéré, ainsi que sur sa position par rapporta §on plan tangent. Or il existe, entre les rayons de courbure de ces sections normales, une loi bien remarqua})le que nous allons d'abord étudier sur les surfaces du second degré.
683. {Pig. i3i.) Dans un ellipsoïde dont les trois demi-axes sont OA = a, OB = by OC = c, considérons spécialement un sommet C, pour lequel la normale est l'axe COZ, perpendiculaire aux tangentes CX et CY des deux ellipses principales CAet CB. Si nous menons par ce point un troisième plan normal VCZ, dont la trace, sur le plan tangent XCY, soit CV, il coupera la surface suivant une ellîpsfe CD, qui aura évidemment pour demi-axes OC = c et OD = d. Or on sait (n® 200) que les rayons de courbure, au sommet C des trois ellipses CA, CB, CD, ont pour grandeurs respectives
et comme le demi-diamètre d de l'ellipse ADB aura toujours une longueur comprise entre a et 6, on voit qu'en supposant a < 6, le rayon p se trouvera toujours plus grand que R, et plus petit que R' ; c'est-à-dire que toutes les sections normales faites par le sommet C, la courbe CA est la section de courbure maximum, puisque 4« édit. 38
agS LIVRE vni. — courbure des lignes et des surfaces.
son rayon R est le pins petit (n^653), et la courbe CB est la section de courbure
minimum, pui3qiie son rayon R' est plus grand que tout autre.
D'ailleurs, si Ton désigne par y l'angle que fait le plan normal VCZ avec le plan principal XCZ, (p sera aussi Tangle compris entre l'axe OA et le diamètre OD de l'ellipse ADB; et l'on sait que la longueur de ce diamètre est donnée par l'équation
ii = icos*yH-~sin«qp.
Donc, en multipliant tous les termes par c, et ayant égard aux valeurs précédentes des rayons p, R, R', il viendra
(i) -=-cos«9-h^,sm^y,
relation qui permettra de calculer immédiatement le rayon de courbure p d'une section normale quelconque passant par le sommet C, quand on connaîtra l'angle f de cetle section avec une des deux sections principales, et les rayons de courbure R ctR' de ces dernières courbes.
686. {Fig, i3a.) Considérons maintenant un hyperboloïde à une nappe, dont l'ellipse de gorge est CAFE qui a pour axe les deux axes réels de la surface, savoir: OA = a, OC = c; tandis que l'axe imaginaire est une horizontale Ob :^ 6, perpendiculaire au plan de l'ellipse que nous regardons ici comme le plan vertical de la figure. Lie rayon de courbure de cette ellipse, pour le sommet C, sera une ligne
GG = — ;c: R, et celui de l'hyperbole BCL contenue dans le plan des deux axes OC et Oby sera Cil— = R'; mais il se trouvera dirigé au-dessus du plan tangent XCY,
au lieu d'être au-dessous comme CG. Maintenant, menons par le point G un normal quelconque VCZ, qui forme avec le plan principal XCZ un angle désigné par f ; si cet angle est assez petit, la section sera une ellipse CDF qui aura pour axes OC = c, OD = rf, et ce dernier sera évidemment un diamètre de l'hyperbole ADK contenue dans le plan des deux axes horizontaux OA et 06, Or on sait que ce diamètre est lié avec les axes de l'hyperbole, par la relatiou
l = lcos*y-i;sin»y;
si donc on multiplie tous les termes par c, et qu'on observe que le rayon de courbure au sommet C de l'ellipse CDF est p— , on en conclura
(^) 7 = ]^cos»?-5>sîn«f,
relation qui rentre précisément dans la formule (i), pourvu qu'on y regarda
