CHAPITRE II. — DE LA COURBURE DES SURFACES
comme négatif celui des deux rayons principaux R, R', qui se trouvera dirigé audessus du plan tangent {*).
687. Cela posé^ tant que l'angle f sera peu différent de zéro, il est certain que le premier terme du second membre de la formule ( a ) prévaudra sur le terme négatif, et qu'ainsi le rayon de courbure p de la section normale CDF sera positif, ce qui annonce que cette courbe sera convexe, c'est-à-dire située au-dessous du plan tangent
XCY. D'ailleurs, i étant évidemment moindre que ^^» et à plus forte raison
moindre que g» il eu résulte que le rayon variable p sera plus grand que R, et qu'il
augmentera continuellement avec f , jusqu'à ce que cet angle ait acquis la valeur ci> déterminée par l'équation
-^==-^> dau tang«n= rhi/^*
Si donc on trace sur le plan tangent XCY, ou sur le point horizontal (**) parallèle à celui-là, deux droites OT, O'Q, qui fassent avec O'X' des angles égaux à w , alors, quand le plan sécant normal arrivera dans la position O'P, il coupera l'hyperboloîde suivant une ligne dont la courbure sera nulle, puisque p deviendra inâni : et, en effet, on doit voir que cette section sera l'une des deux génératrices rectilignes qui passent par le sommet C, attendu que, diaprés les valeurs de R et R', l'expression de (ù revient à tangGi) = —
688. {Fig. i3a.) tiorsque l'angle 9 sera devenu plus grand que «, et que le plan normal aura pris la position O' W, alors la formule (a) montre que le rayon p aura une valeurïiégative; de sorte que la section correspondante se trouvera concave, c'est-à-dire située au-dessus du plan tangent^ et ce sera une hyperbole dont le rayon de courbure p ira en diminuant numériquement, jusqu'à ce que Ton ait
(f = 90^, d'où p = — R' = CH.
Ce dernier résultat se rapporte au plan normal 0' Y', qui coupe la surface suivant Thyperbole principale BCL.
689. En continuant cette discussion depuis y = 90"^ jusqu'à y = 36o^, on re-
(*) Ordinaireineiit, on adopte l'hypothèse contraire, parce que Tanalyse fournit une valeur positive pour le rayon de courbure d'une courbe située au-dessus de sa tangente, du moins quand on compte les ordonnées positives de bas en haut. Mais, comme nous avons dirigé ici Taxe des a positifs de haut en bas, la convention faite dans le texte s'accorde bien avec l'analyse ; et nous avons préféré cette disposition , parce que les sections normales sont plus commodes à figurer, quand on les place au-dessous du plan tangent.
(**) rfous employons ici, outre la figure en perspective sur le tableau vertical XGZ, une projection horizontale faite sur un plan perpendiculaire à la normale CZ, afin de faire mieux apercevoir les limites qui séparent les sections convexes du sections concaves.
3oo LIVRE VIII. *• COURBURE DES LIGNES ET DES SURFACES.
trouverait successivement des résultats analogues, puisque la formule (a) ne renferme que les carrés de sin ç et cos ç. D'où l'on doit conclure, i° que les deux plans normaux PO'p, QO'9 partagent la surface autour du point (O', C) en quatre régions distinctes : dans les deux angles PO'Q eX pO'q opposée par le soromet, toutes les sections normales sont convexes y ou situées au-dessous du plan tangent XCY; et dans les deux autres angles PO'ij, Q0'/>, toutes les sections normales sont concaves, ou situées au-dessus de ce plan tangent; d'ailleurs le passage des unes aux autres se fait par deux sections rectilignes P0'/>, QO'9, qui sont les génératrices de rhyperboloïde situées dans le plan tangent XCY. a® Le rayon de courbure R de la section principale CAF est le minimum de tous les rayons positifs, lesquels varient depuis p == R jusqu'à p = 00 ; tandis que le rayon de courbure R' de Tautre section principale BCL est le minimum des rayons négatifs : ou bien, en tenant compte du signe de ces derniers, on pourra dire que — R' est un maximum, maïs seulement par rapport aux rayons négatifs qui varient depuis p = — R' jusqu'à
690. {Fig. i33 et i34.) Les propositions que nous venons de démontrer ponr un sommet réel d'un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde 4 une nappe, sont également vraies pour toute surface S, et pour un point quelconque M de cette surface dont la normale est MZ. Cest-à-dire que, parmi toutes les sections normales passant par ce point, il y en a toujours deux, MA et MB, nommées sections prhtcipaxes, dont la première a un rayon de courbure MG = R qui est miivimum, et la seconde un rayon de courbure MH = R' qui est maximum : ces deux sections principales sont situées dans des plans XMZ, YMZ, perpendiculaires entre eux; et quand une fois on connaît la position de ces plans et les ratoits priitcipàcx R, R', le rayon de courbure p de toute autre section normale MD passant par le même point, est donné par la formule
(3) i=:^cos*y+^,sin^y,
011 (p désigne l'angle du plan de MD avec le plan de MA, et il où faudrait regarder comme négatif celui des deux rayons principaux, R, R', qui serait dirigé au-dessus du plan tangent XMY, si la surface était non convexe, c'est-à-dire traversée par son plan tangent en M.
Ce théorème important, dû à Euler, n'est guère possible à démontrer d'une manière complète et rigoureuse, au moyen de considérations purement synthétiques; c'est pourquoi nous préférons de l'admettre ici comme un résultat du calcul différentiel (*); mais c'est l'unique emprunt que nous ferons à l'analyse, et nous allons ensuite développer, par la géométrie seule, les conséquences intéressantes dont ce théorème est susceptible.
(*) Fo/ez VJnalfse appliquée à la géométrie des trois dimensions, chap. XVI.
CUAPITflB II. —DE LA COUEBURE DES SURFACES. 3oi
691. Lors(]ue les deux rayons principaux MG = R, MH = R', sont positifs, comme dans lajig. i33, la formule (3) montre que p est constamment positif, quel qtie soit l'angle y; donc alors toutes les sections normales se trouvent au-dessous du plan tangent XMY, au moins dans les environs du point M, et la surface est coîwexe en ce point. D'ailleurs, en supposant que R < R', il est facile de voir que R est alors le minimum absolu de tous les rayons de courbure des sections normales passant par M, et R' le maximum absolu de tous ces mêmes rayons ; en effet, la formule (3), écrite tour à tour sous Tune et l'autre des formes suivantes,
montre qu'on a toujours, quel que soit l'angle ç,
Des conséquences semblables auraient lieu, si les deux rayons principaux étaient négatifs à la fois; seulement alors, la surface se trouverait placée au-dessus du plan tangent, tout autour du point M.
692, Lorsque, pour un point particulier M d'une surface quelconque, il arrive que les deux rayons principaux R, R', sont égaux et de même signe, la formule (3) se réduit évidemment, et Tangle 9 disparait; de sorte qu'on trouve /9 = R poiu' toutes les sections normales passant par ce point, autour duquel la surface présente une courbure uniforme dans tous les sens, comme celle d'une sphère. Ges points particuliers se nomment des ombilics^ et nous en ferons remarquer plusieurs de ce genre dans l'ellipsoïde (n^ 739) j mais il est déjà évident que, quand la méridienne d'une surface de révolution coupe l'axe sous un angle droit, ce point est toujours un ombilic.
695. Lorsque les deux rayons principaux sont de signes contraires, comme dans la /</. i34, où MG = R, qui se rapporte à la section (MA, M'A'), se trouve positif, et où MH = R', qui se rapporte à la section (MB, M'B'), se trouve négatif^ alors la formule (3), écrite avec le signe de R' en évidence, devient
(4) J = 5Cos>-^,sin»?.
Elle montre déjà que p sera tantôt positif, tantôt négatif, suivant la valeur de Fangle f ; c'est-à«dire qu'il y aura des sections normales situées, les unes au-dessous, les autres au-dessus du plan tangent XMY; ainsi la surface sera non convexe, ou à courbures opposées. Pour déterminer les limites de ces diverses sections, cherchons la valeur particulière w de l'angle y, qui satisferait à l'équation
~ cos* ^ "" 5> ^^^^ « = o, d'où tang (ù = ± i/— 5
3oa LIVRE YIII. -^ COURBURE DB8 LIGNES ET DES SURFACES,
puis, traçons sur le plan tangent XMY, ou sur le plan horizontal (*)qui Un est parallèle, deux droites M'P, M'Q, qui fassent chacune avec M'X' un angle égal à <ù. Alors, pour toutes les valeurs de (p comprises entre ç=— ci>etç = + «, comme aussi pour toutes celles qui tomberont entre 9= 180® — w et ç= i8o**-l- q, la formule (4) donnera évidemment des valeurs de p, qui seront positives; c'est-àdire que toutes les sections normales comprises dans les angles dièdres PM'Q et pWq seront situées au*de$sous du plan tangent horizontal XMY. Au conlraire» lorsque la valeur de f tombera entre u et 180^ — «, ou bien entre j8o**H- » et 36o^ — (d, la formule (4) donnera pour p une valeur négative; ce qui prouve que toutes les sections normales, comprises dans les deux angles dièdres PM'^ et QM'p, seront situées au-dessus du plan tangent XMY, au moins dans les environs du point M.
694. i^Fig. i340 ^i^fii^t lorsque f recevra une des valeurs f =±:(id, ou (f = 180^ ±: », le rayon p devenant infini dans la formule (4), il s'ensuit que les deux plans normaux limites VM'p^ QM'^, couperont la surface suivant des courbes qui, sans être recttlignes, comme cela arrivait dans Thyperboloïde (n^ 687)i se* ront du moins très-aplaties dans les environs du point M, et y offriront tmecouf" buremUlc} c'es^àHiire que ctiacune aura en cet endroit deux éiéuaenta comimiDS avec sa tangente qui sera précisément la trace M'P ou M'Q du plan normal Umik sur le plan tangent XMY. Ainsi, on pettt dire que les deux plans normaux FM'p et QM'q partagent la surface en quatre régions distinctes qui sont tour à tour convexes et concat;^^.
En rétamé) dans les surfaces non convexes, les rayons de courbure positifs va* rient, d'après In formule (4)^ depuis p = h- R jusqu^à p =x -f* ao ; et les rayons négatife, depuis p = — R' jusqu'à p = — 00 . Donc ici, R sera un mimmwn relative» ment aux rayons de la première classe, et — R' un maj^imum analytique pour ceux de la seconde classe, en tenant compte de leurs signes; mais si l'on voulait seulement parler de leurs grandeurs absolues, R' serait aussi un minimum.
695. RfiMABQtJE. Si l'on compare, dans tme surface quelconque, deux sections normales dont les plans comprennent entre eux un angle droit, leurs rayons de courbure seront donnés par les formules
i = icos»9 + 5>sîn^f , p = ^cos^g>'-f- ^.sin'f,
avec la relation ç' «= q> 4- 90®; d'où il suit qu'en ajoutant ces équations membre à - ■ ■ — ,..,.. —■..«.. ■ ■ - > -^
(*) Nous employons encore ici, pour plus de clarté, une perspeclive sur un plan vertical, et «ne projeclîon sur un plan horizontal; si d'ailleurs on veut fixer ses idées par un exemple, on peut regarder la surface qui nous occupe comme étant )& gorge d'une poulie dont Tàic serait horizonul et projeté suivant ( B' L', G ) . Le point considéré ( M , M' ) est alors sur le cercle de gorge ( EMA, E'M'A'), et la section (BML, B' M'L'} est un demi-cercle qui sert de méridien au tore de œtte poulie.
