CHAPITRE IL —MÉTHODE DBS .PIANS COTÉS

sor la courbure de$ surfaces et la uptei do ^^ 69S, on peut ppseTt comme vraie en général^ la règle suivante : Lorsque deux courbes tracées sur une surface se çou-^ pent à angles droits^ et que IVne et Vautre sont conpexes, c'est-à-dire situées audessous du plan tangent relatif ai^ point commup, la surface est elle-même conves^e tout autour de.ce.poînt. Cette co^iséquençe ne souffrirait d'exception que si les tangentes aux deux courbes rectangulaires se trouvaient comprises dans le niéme angle obtus PM^ ou QMp {fig- 1 34) £c)rm^ par les deux plans Qprmaux Hmifes dont nous avcMis parlé au n^ 694 : mais ce cas exceptionnel ne se présentera jamais ici pour la section de niveau et la ligne de plus grande pente, du mpins en conservant rhypatfaèse' ordinaire d'une zone développable^ admise au n^ 790; car alors cette ligne de plus grande pente sera tangente à Tune des deux sections principales. Ainsif pour s'assurer que la surface du sol est convexe autour d'un certain ppint^ il suffira de reconnaître que la courbe de niveau et la ligiie de plus grande pente sont toutes deux conveo^ dans le voisinage de ce point : or, la première de ces lignes étant donnée en vi*aie grandeur sur le plan horizontal » on verra bien si elle rei^pHt oetfe condition; et quant à la seconde, voici un caractère facile à saisir.

798. {Fig. II.) En désignant par h la distance verticale de deux sections de niveau consécutives, et par / leur distance LM en projection boria^ntale, il est dair que Tinclinaison a de la tangente à la ligne de plus graade pente au point M

sera donnée par la relation tang a == -tj du moins pour des valeurs de h assez petites. Si donc on veut que cette courbe soit convexe, ou située au-dessous de sa tangente dans le voisinage du point considéré, il faut évidemment que l'angle a aiUe en augmentant à mesure que l'on descend de L àM, N, P,..., et conséquemment que les distances horizontales / ou LM, MN, NP,..., aillent en diminuant, puisque h est constant. D'après ces remarques, on peut poser les règles suivantes :

]^, La surface est convexe, c'est-à-dire inférieure au plan tangent tout autour du point de contact, quand toutes les courbes de niveau voisines sont convexes, et que leur distajice horizontale diminue en descendant, ou du moins res^e constante;

3^. La surface est concave, ou supérieure au plap tangent, lorsque toutes le^ courbes de niveau sont concaves, et que leur distance horizontale augmente en descendant^ ou du moins reste constante ;

3^. Lorsque les courbes de niveau sont coni;ea:es> et que leur distance horizontale augmente en descendant, la sur£sice est convexe dans le sens horizontal, mais elle est concave suivant la ligne de plus grande pente, comme la gorge d'une poulie dont l'axe serait vertical ;

4^* Quand les courbes de niveau sont concaves, et que leur dists^ice horizontale diminue en descendant, la surface est concave dans le sens horizontal et convexe

34 jk t'iVRK iX:. ««• iJDSitiaiis.

dam Id setift de la ligne de plué grande p^aie, comme là gorgt d'une pouUe âoni

Taxe serait horizontal I

Mais, dânis ces deux derniers cas et dans les Qutmé variétés de foitne que peuvent offrir les coûtées de niveau, le pl^n tangent se trouve en partie au-dessue et en partie au-dessous de la surface; par conséquent, il coupe le terrain, et Fou ne peut plus s'en servir utilement pour les problèo^es^du déjilemenié Le même iiicon« vénient a lieu dans le second cas cité plus haut^

799. Il résulte aussi des conatdérations précédentes que la pente dn sé), regardé côDiihe £dU)ddant avee son plan tangent dans une petite étendue autour du peiat

considéré, a pour mesure -r- Ainsi cette pente est d'autant plus roide que les

ceurbes de niveau sont plus rapprochées les unes des autres en projection horifeontala ; et si deux de ces courbes venaient à se toucher, le terrain serait à pic^ net endroit.

800. {Fig. t f .) Sur vm surface connue, tractr (axe dun chemin dont la ppni^mt constante. Si | est la pente assignée, on prendra une ouverture de compas égale à 6 unités de Téchelle horizontale du dessin, et en la portant de a eu bp entre deux courbes de niveau dont les cotes diffèrent de i mètre, il est clair que la droite projetée sur ab sera la ligne milieu d'une rampe plane qui aura bien Une pente égale à ^. Donc, en continuant de porter le même intervalle de b en c, de c en d^ de d en e, avec le soin d'éviter que Tune de ces droites ne coupe deux (ois la même courbe de niveau, on aura satisfait à la question proposée.

80i . {PL 65, ftg. i a.) Trower t Interaction d*un plan donné avéc une suff ace connue. On tracera les horii^ontales du plan, qui ont les mêmes cotes quelea courber "dé niveau de la surface proposée ; et leurs rencontres mutuelles feront conmttre les points de l'Intersection demandée. Mais il faudra prendre garde de confi)odf« les points d'entrée avec les points de sortie, et quelquefois intercaler de nouTelles courbes de niveau dans les parties où les données ne seront pas assez voisines. Pour obtenir le point culminant de la section, c'est-à-dire le point où la tangente sera horizontale, il faudra chercher une génératrice ab qui soit normale à la cotlAê de niveau inférieure, et parallèle à la projection de [échelle de pente An plan sécant; car, pour le point z de la courbe qui se trouvera sur afr, le plan tangent de la surface sera le même qu'en a (du moins dans Thypothèse habituelle du n®790); et comme ce dernier plan aura sa trace horizontale parallèle à celle du plan sécant, leur intersection, qui sera la tangente en z, se trouvera nécessairement horizontale. Quant à la manière de trouver le point z où la génératrice ab rencontre le plan sécant donné, cela s'effectuera par la méthode du n^781, ainsi qtt^ottfe voit indiqué sur la fig. la.

802. Lorsque le plan proposé sera vertical, la section se trouvera projetée wt