CHAPITRE II. •«« ftfJltfiODE DES PLANS COTÉS. SSg

«ulftire âVec le flan popote ^ et que I'imi oatloulela vraie diatance de ce point de MCtlon au point donné (n* 764)vOb conmdtra la plus courte diêtance deœ dernier point M plan propoti.

7ë8* De xoèmt^AYxm dMoiftudait ia;/^ courte distance d'un point à une droite^ os toodinrait par oe point na plan perpendieulaire à cette droite, et l'échelle de ce plan se construirait par un procédé in vei^e de celui du n° 786. Ensuite ou chercherait le point de renConti*e de ce plan et de la droite proposée , puis la vraie disumoe de ce point de Mctioâ au point donnée

Les questions qui précèdent »uffi«entf sana doute^ pour montrer comment on réi0u4ra tous leâ prohlémea où il n'y aura à coiid>iner que des droites avec des plans; et nous engageons le lecteur à s'exercer encore sur la recherche de la plm couru MMançe (h d$ux droites, et sur l'angle de deux plans, ou de deux droites données.

789. [PL 65ffig. ii.) Leh suafacss gouassai surtout lorsqu'elles ne sont pas iUsc^tibles d'une définition rigoureuse^ comme cela arrive pour la surface du sol^ ie représentent par lea projections d'un certain nombre de courbes de niveau, qui sont les aeûtioDi que produiraient dans Celte surface des pkns horizontaux, équi-^ tiistanti dans le sans vertical } puis, Ton regarde chaque zone coknprise entre deux courbes de niveau consécutives^ comme engendrée par une droite qui^ en glissant $Ur ccêdeux courbée, demeurerait constamment normale k l'une d'elles 9 par eiiemple à la courbe inférieure. C'est donc ime surface gauche que l'on substitue ainsi, dans chaque stone^ à la surface réelle du terrain ^ dont la forme rigoureuse ne serait connue qu'autant qu'on aurait assigné la loi géométrique qui lie entre elles les diverses sections de niveau ; mais cette approximation est bien suffisante ici#

790» Ordinairement^ les courbes horizontales Sont assez rapprochées et assez peu différentes d^s leur courbure, pour que la génératrice rectiligne de chaque Mne puisse être regardée comme sensiblement normale aux deux courbes à la ibis. Dans cette hypothèse, la stirface que l'on substitue à la zone du sol devient développable (n^ 180); car chaque génératrice, pOuf passer à une position infiniment voisine, se meut sur deux tangentes qui sont évidemment parallèles, et dès lors situées dans un même plan<

791 . {Fig. II.) Lorsque la distance des sections de niveau se trouve, dans certaines régions, trop considérable pour que les droites génératrices soient sensiblement normales aux deux courbes voisines, on peut substituer à ces droites dés arcs de courbe qui remplissent cette condition ; et par là on ne change pas le mode de génération , car cela revient à imaginer d'autres sections de niveau intercalées entre les premières, et assez voisines pour intercepter sur la génératrice curviligne des arcs qui paissent être regardée comme confondus avec letirs cordes^

TfS. {Pig, tt,) Trowtr ta cote d'un point dtmné par êa project^ hotizontak, et

34o LïVRE IX. — ADDÎTIONÔ.

situé sur une surface connue. Si cette projection tombe «atrc les coarbes de niteau qui ont les cotes la** et iS"*, on mènera par ce point une génératrice normale dont les extrémités auront ces mêmes cotes; puis, en appliquant sur cette droite une règle divisée en milîitaètres, on verra aisément quel est le rapport des deux parties de cette normale, et alors une simple proportion fera trouver laoote du point proposé (ia°»,6).

795. La question réciproque, où l'on aurait pour but de trouver tons les points de la surface qui ont une cote donnée ( i4™> 5), est également facile à résoudre, en prenant les milieux des diverses normales ; et c^est par ce moyen qu'on intercalera de nouvelles courbes de niveau entre les premières, ainsi qu'on le voit dans hfy. II. . •

794. {Mg. II.) Construire le plan tangent pour un point donné sur une surface connue. Lorsque lé point donné M sera placé sur une dès courbes de niveau, le plan tangent devra passer par la tangente de cette courbe et par la génératrice rectiligne LM qui lui est normale ; ainsi, en prolongeant cette normale jusqu'à la courbe supérieure, la partie interceptée ML fera connaître : i^ la direction de VécheUeé pente du plan demandé ; a® les cotes de deux points de cette échelle, dont la graduation sera dès lors bien facile à achever. Si Ton admet l'hypothèse habituelle du n^ 790, ce plan touchera la zone tout le long de la génératrice interceptée LM; tandis qu'il ne serait tang^it qu'au seul point M, si Ton conservait la génération du n^ 789.

795. Quand le point de contact sera donné entre deux courbes de niveau consécutives, on mènera encore de ce point une normale à la courbe inférieure; et si cette droite est sensiblement normale à la courbe supérieure, la partie interceptée fournira la direction et la grandeur d'une des divisions de l'échelle du plan tangent. Dans le cas contraire, on tracera (n^ 795) la section horizontale qui passerait par le point donné; et alors la tangente et la normale de cette courbe détermineront le plan tangent comme au numéro précédent.

796. Si, à partir d'un point L donné sur la surface, on mène une normale LM à la courbe inférieure, puis que, du pied de cette normale, on en conduise une autre MN perpendiculaire à la troisième courbe, et ainsi de suite, l'ensemble de ces diverses normales formera la ligne de plus grande pente de la surface, relativement au point de départ L. Cela deviendra évident, si l'on admet que chaque zone du terrain coïncide avec son plan tangent, dans une largeur ti*ès-petite autour des droites LM, MN, NP,..., et si l'on se rappelle ce que nous avons dit au n'77v pour la ligne de plus grande pente d'un plan.

797. Dans les applications de la méthode actuelle, il importe beaucoup * savoir discerner d'avance quelle sera la position du plan tangent par rapport à w surface, dans les environs du point de contact. Or, d'après ce que noua afOii»<û