CHAPITRE IIK — PRELIMINAIRES SDR LES ENGRENAGES

roue (y par la poussée de la courbe AB sur la courbe ab ; mais pour que ce mou* vement satisfasse à la condition essentielle du n^SO?, il faut {v? 810) que Tune de ces courbes soit l'enveloppe de l'autre dont la forme demeure arbitraire. Toutefoisy on. doit y mettre la restriction que^ dans la portion de ab qui sera utilisée, les rayons vecteurs, tels que CK/ti, aillent toujours en décroissant ou toujours en augmentant; et dès lors ceux de AB, tels que Om, varieront constamment en sens contraire des premiers. Cela est nécessaire pour qu'il y ait véritablement pou^s^e d'une dent sur l'autre; car, si l'un des rayons vecteurs CV m était maximum ou minimum, il serait nécessairement normal à la courbe ab. Or, quand les deux dents viendraient se toucher en m, la normale O m, qui doit, à cette époque (n^ 812 ), passer par le point de contact D des deux cercles, irait donc coïncider en direction avec la ligne des centres ODO'; et dès lors la révolution du cercle O autour de son centre immobile, produirait une vitesse précisément tangentielle à la courbe amb^ ce qui ne donnerait lieu qu'à un simple frottement, lequel serait insuffisant pour entraîner la roue CK.

851. [Fig. 7.) Lieu des contacts. Dans le mouvement de révolution autour des centres fixes O et O', le point de contact m de l'enveloppe et de l'enveloppée, qui toutes deux participent à ce mouvement, occupe successivement des positions différentes par rapport à la droite invariable ODO et au point D dans lequel les cercles mobiles se touchent constamment : la suite de ces positions du point m, sur le plan fixe des deux cercles, forme une courbe utile à connaître. En général, on l'obtiendrait en mesurant, sur chaque position du cercle mobile de la Jig. 3, le rayon vecteur Aj 63 et l'angle ejAaP'j, pour les rapporter ensuite sur la fig. 7, à partir du point D considéré comme pôle; mais, dans plusieurs cas, ce lieu des contacts entre l'enveloppe et l'enveloppée s'obtient d'une manière directe et très- ' simple.

1^. Si l'enveloppée se réduisait à un point de la circonférence O', il est évident que cette circonférence serait elle-même le lieu demandé.

a**. Lorsque l'enveloppée est le rayon O'a {fig. 11), le lieu des contacts successifs est la circonférence V décrite sur O'a comme diamètre; car, quelle que soit la position O'a' du rayon mobile, la normale AN', qu'il faut abaisser du point A fn^ 812), aboutira toujours sur la circonférence V.

9^. Dans le cas peu usité de la fig. la, où l'enveloppe et l'enveloppée seraient deux épicycloïdes, leurs points de contact se trouveraient tous évidemment sur la circonférence U, placée tangentiellement aux deux cercles primitifs sur la ligne invariable qui joint les centres fixes.

4^. Enfin, lorsque l'enveloppée et l'enveloppe seront deux développantes de cercle {fig. i3 ), le lieu de leurs contacts successif sera précisément la droite C'aC, tangente commune aux deux cercles auxiliaires qui donnent naissance à ces déve-

356 LIVRE IX. — ADDITibNS.

loppantes ; car, pendant la révolution de ces courbes autour des centres fixes 0 et O', la normale qu'il faudrait mener du point a (n®8i2) coïnciderait toujours avec la droite CaC.

832. Limites correspondantes. Comme, dans la pratique, on n'emploie que des arcs peu étendus de l'enveloppe et de l'enveloppée, il importe de savoir limiter une de ces courbes à la portion vraiment utile, d'après la grandeur de l'arc conservé pour l'autre. Or les points correspondants, c'est-à-dire ceux qui se trouveront en contact à une certaine époque du mouvement de révolution, seraient tout Dalurellement donnés si l'on construisait l'enveloppe d'après la méthode du n*^812 et la fig. 3; mais, dans la plupart des cas usuels, on connaît d'avance la nature de l'enveloppe et de l'enveloppée, et l'on trace ces courbes indépendamment Tune de l'autre : de sorte qu'il devient nécessaire de chercher ensuite les limites correspondantes, ce qui est facile quand on a construit le lieu des contacts successifs.

833. Par exemple, dans le cas de la^gf. 1 1 où l'enveloppée est le rayon O'a, et l'enveloppe l'épicycloïde AmB décrite par le roulement du cercle V, pour trouver le point correspondant à N, on ramènera ce dernier en N' sur la circonférence V, qui est le lieu des contacts successifs, au moyen d'un arc de cercle décrit du centre O; puis, du centre O', avec le rayon O'N', on décrira un autre arc de cercle qui transportera le point N' en n sur le rayon O'A; et ce dernier point n correspondra à N. De sorte que si l'on ne conserve de l'enveloppe que l'arc AN, la seule portion utile de l'enveloppée sera An; or, ces arcs ayant évidemment des longueurs trèsinégales, on aperçoit bien qu'il y aura glissement et, far suite 9 frottement de l'enveloppe sur l'enveloppée, comme nous l'avons démontré généralement au n° 817.

834. Dans la^gr. i3, où l'enveloppe et l'enveloppée sont deux développantes, nous savons que le lieu de leurs contacts successifs est la droite C'aC. Donc, pour obtenir le point correspondant à N, il suffira de transporter ce dernier en N'par un^rc décrit avec le rayon ON; puis, de ramener N' en n au moyen d'un arc de cercle décrit du centre O'. Ainsi, les arcs AN et an^ AB et afe,..., seront les arcs correspondants qui roulent et glissent l'un sur l'autre, pendant la révolution des cercles O et O' autour de leurs centres immobiles.