CHAPITRE III. — PRÉLIMINAIRES SUR LES ENGRENAGES

èm de cette branche qui se trouve à l'extérieur du cercle O. Quoique l'origine ù de cette portion utile diffère très- peu du rebroussement £, si l'on veut déterminer avec précision ce point c? situé sur la circonférence O, on observera qu'il se pré- * sente quand le petit cercle amb passe par le contact a des cercles O et O', c'est-àdire quand la corde M a se trouve égale au rayon Mr?î. Donc il suffira de prendre l'arc A(? égal à celui qui, dans le cercle O'', a pour corde le rayon Mm, c'est-àdire l'arc (ùi.

82($. {Fig. II.) Enveloppe d'un rayon. Si noiKs adoptons pour enveloppée le rayon O'a du cercle mobile O', l'enveloppe sera l'épicycloïde AmB engendrée par le point a d'un cercle V qui serait décrit sur AO' comme diamètre, et qui roulerait lui-même sur la circonférence O. En effet, quand le cercle O' sera parvenu dans * la position quelconque O", le rayon O'a occupera une situation 0"a!' déterminée par la condition aa"= «A; si donc nous abaissons sur cette enveloppée C'a" la perpendiculaire am, le point m sera (n® 812) un point de l'enveloppe cherchée. Mais ce point m appartiendra évidemment à la circonférence V décrite sur aO" comme diamètre ; et, dès lors, les arcs a m et ol(x!\ qui répondent à un même angle d'O^OL et sont décrits avec des rayons doubles l'un de l'autre, se trouveront égaux en longueur absolue : d'où l'on conclura que l'arc OLm égale aussi l'arc a A, et qu'ainsi le point, m, déjà trouvé pour l'enveloppe, appartient effectivement à l'épicycloïde AB que décrirait le point a du cercle V qui roulerait sur la circonférence O.

827. Ce qui précède démontre en même temps que si le cercle V roulait dans l'intérieur du cercle O' devenu immobile, le point a de cette circonférence V décrirait une épicycloïde reciiligne qui serait précisément le rayon AO', ou plutôt le diamètre entier du cercle O', comme nous l'avons déjà vu au n? 475. De sorte qu'ici V enveloppée et V enveloppe sont engendrées par le roulement du même cercle V sur les circonférences O et O'; et ce résultat n'est qu'un cas particulier de la proposition suivante.

828. [Fig. la.) Enveloppe d'une épicycldide. Si l'on fait rouler un cercle U de rayon quelconque, d'abord dans l'intérieur du cercle O', et ensuite à l'extérieur du cercle O, un même point de la circonférence U décrira ainsi deux épicycloïdes ab et AB, dont la dernière sera l'enveloppe de toutes les positions que prendra l'enveloppée a6, lorsque celle-ci se trouvera entraînée par la rotation du cercle O' sur la circonférence O. En effet, prenons les cercles O et O' dans une position quelconque où ils se touchent en a, puis traçons le cercle U tangent aux deux autres dans ce même point. Alors la circonférence U ira couper l'épicycloïde ab en un point m tel, que l'arc am = aa:, mais par suite de la rotation du cercle O' sur O, l'arc aa = a A : donc les arcs am et a A sont égaux, et conséquemment le point m de la courbe ab appartient aussi à Tépicycloïde AB, D'ailleurs, ces deux

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épicycloîdes sont tangentes au point commun m, puisque pour l'une comme pour l'autre (n^ 472) la normale est la corde a m du cercle générateur U. Mais il est très-rare qu'on emploie ces deux profils curvilignes pour les dents des roues, attendu qu'on trouve bien plus commode d'adopter le système de Isijig, i(,où l'un des deux profils est une ligne droite ACV (*).

829. (Fig. i3.) Enveloppe d'une développante de cercle. Adoptons enfin pour enveloppée la courbe ambj qui est la développante (n® 479) d'un cercle concentrique avec O' et décrit d'un rayon arbitraire O'C Si du point a nous menons à ce cercle O'C' la tangente amC, celle-ci sera normale à am6, et elle fournira (n*' 812) un point m de l'enveloppe cherchée AmB; d'ailleurs, le centre de courbure C de cette enveloppe s'obtiendra (n® 816) en tirant O'C et sa parallèle OC, laquelle se trouvera perpendiculaire sur la normale CaC et aura évidemment une valeur constante, savoir :

d'où l'on conclut que la circonférence décrite avec le rayon OC sera le lieu de tous les centres de courbure de l'enveloppe AmB; et conséquemment cette enveloppe est elle-même une développante du cercle OC. L'origine E de cette développante AmBy s'obtiendra en prenant l'arc CE égal à la droite Cm.

830. {Fig. 7.) Revenons^ maintenant, au véritable état de deux roues dont l'une transmet à l'autre le mouvement circulaire qui l'anime; car Thypothèse admise au n** 809, que le cercle O' roulait sur le cercle O entièrement fixe, n'étail qu'une simple fiction propre à simplifier l'étude et le tracé des enveloppes dont nous avions besoin. Ainsi, en réalité, les centres O et O' sont fixes tous les deux, et le mouvement de révolution qui est imprimé à la roue O se communique à la

(*) En généralisant ces considérations, on peut définir autrement cpie nous ne ravonsfaitau n" 810, la forme que doivent avoir les profils conjugués des dents d'un engrenage. Pour cela, àési- ' gnons par W une courbe quelconque tangente en A (Jig. 2) aux deux cercles O et 0', et faisonsrla rouler tour à tour dans Tintérieur de la circonférence O' et à Textérieur du cercle 0; alors le point A de W décrira successivement deux courbes ab et AB qui seront les profils demandés. Car, lorsque les cercles 0 et O' tourneront autour de leurs centres immobiles, et de manière à imprimer des vitesses égales (n** 807) à leurs circonférences, il arrivera que les courbes AB et ab, engendrées comme gdessus, se toucheront constaanmeni en un point variable pour lequel la normale commune passera toujours par le point A sur la ligne des centres. C'est ce que Ton démontrera comme au n° 809, s» Ton substitue au mouvement de révolution des cercles 0 et 0' autour de leurs centres imroobii»> le roulement de la circonférence O' sur la circonférence O entièrement û\e.

Maïs cetle seconde définition des profils des dents serait peu commode à employer dans le cas ou l'on assigne d'avance et arbitrairement la forme ab d'un de ces profils; car il faudrait alors cototoe^^^ par chercher quelle serait la courbe ^Y qui , en roulant sur 0', pourrait engendrer le profil donné âb, ce qui offrirait souvent beaucoup de difficultés.