CHAPITRE I«'. Sur la courbure et les développées des lignes
NO»
Définition des contacts de divers ordres entre deux courbes ; du cercle osculateur, du plan
osculateur, pour un point donné sur une courbe • 649
La courbure d'une courbe en chaque point, a pour mesure précise le rapport de Tunité au
rayon du cercle osculateur • % 653
Les courbes gauches n'ont qu'une seule courbure; mais elles présentent une torsion ou cam-
brure qui est mesurée par l'angle de deux plans osculateurs voisins 654
Les rayons de courbure d'une courbe gauche ne se coupent pas consécutivement, et, par
suite, les centres de courbure ne forment point une développée 656
Cependant une courbe gauche admet une infinité de développées, situées toutes sur une surface développable où elles sont les lignes minimum 667
Cas où la courbe proposée est sphérique 660
Si elle est plane, toutes ses développées deviennent des hélices ; 661
Remarques sur la position du cercle osculateur et du plan osculateur, qui traversent ordinairement la courbe proposée. 662
Construire le plan osculateur relatif à un point donné sur une courbe 664
Construire le rayon de courbure d'une courbe, en un point donné 665
Méthode générale pour construire une développée d'une courbe quelconque, et le lieu de ses
centres de courbure 667
Étant donnée une développante sphérique, trouver le lieu de ses centres de courbure, et l'une
de ses développées 669
Étant donnée une hélice à base circulaire, construire le lieu de ses centres de courbure, et Tune de ses développées. On prouve d'abord que le lieu de toutes les développées est un hélicoide développable, dont l'arête de rebrousseraent contient les centres de courbure de
l'hélice primitive 672
Le rayon de courbure de l'hélice primitive et celui de l'hélice arête de rebroussement de l'hélicoide polaire sont égaux chacun à la somme des rayons des cylindres où sont situées ces
deux hélices 674
Valeur analytique de ces rayons de courbure 676
Construction d'une développée de l'hélice primitive. De ses diverses branches et de leurs asymptotes 677
