NOTIONS PRÉLIMINAIRES

1 . A chaque pas que l'on fait dans les sciences ou dans les arts, on éprouve le besoin de transmettre aux autres hommes la connaissance exacte des formes qu'affectent les corps, soit pour manifester les rapports géométriques que l'on y a découverts, soit pour guider l'artiste chargé de reproduire ces objets dans des dimensions assignées d'avance. Or, de tous les moyens, le plus efficace et quelquefois le seul capable d'atteindre complètement ce but, c'est la description graphique des corps; et tel est aussi le premier objet de la Géométrie descriptive, dont les méthodes générales deviendront ensuite, par leur fécondité, des moyens de recherche propres à découvrir de nouvelles propriétés de l'étendue, et fourniront d'ailleurs les procédés nécessaires pour résoudre les divers problèmes de perspective, de stéréotomie, de fortification, etc.

2. Mais ici se présentent deux genres de difficultés. En premier lieu, les corps offi-ent toujours trois dimensions non comprises dans un même plan ; ce qui semble devoir entraîner des opérations graphiques à effectuer dans l'espace, chose fort incommode, sinon impraticable. Par conséquent, il faut trouver des méthodes qui permettent de rapporter tous les points de Tespace à un seul et même plan, ou du moins qui ramènent toutes les opérations graphiques à s'exécuter dans ce plan unique.

5. En second lieu, ces méthodes devant servir, non à établir des théories purement spéculatives, mais bien à effectuer des opérations réelles, il faut qu'elles offi*ent une précision complète dans la manière d'exprimer les données et les résultats graphiques de chaque question ; et c'est en cela surtout qu'elles différeront essentiellement des procédés employés dans la géométrie ordinaire, du moins quand 4« édit. I

on considère les trois dimensions de l'espace. Là, en efFet, les figures n'étant des*> rinées qu'à guider l'esprit dans la suite des raisonnements nécessaires pour démontrer la vérité d'un théorème, ne sont tracées que d'une manière vague, ou d'après certaines conventions tacites qui renferment toujours beaucoup d'arbitraire. Pour s'en convaincre, il suffira de se rappeler comment on résoul le problème de la plus courte distance de deux droites non situées dans le même plan; ou bien encore celui où il s'agit de trouver le centre et le rayon d'une sphère qui doit passer par quatre points donnés. On verra aisément que, dans ces questions, la géométrie ordinaire indique bien la série d'opérations qu'il faudrait exécuter pour arriver à la solution du problème; mais elle ne donne pas les moyens d'effectuer réellement ces constructions, et d'obtenir un résultat déterminé pour la grandeur et la position de la plus courte distance, non plus que pour la longueur du rayon et la position du centre de la sphère [vojrez n** 50 et 500). Il est donc indispensable d'adopter, en Géométrie descriptive, un mode de construction qui ne laisse rien d'arbitraire dans la représentation des données et des résultats, et qui permette aussi d'effectuer toutes les opérations graphiques sur un seul et même plan : or ces deux avantages nous seront fournis par la Méthode des projections dont nous allons exposer les principes.

4. (Fîgf. i). Si d'un point a situé dans l'espace, on abaisse sur un plan fixe VXY une perpendiculaire a A, le pied A de cette droite est dit la projection du point a sur le pian en qiiestion. De même, en abaissant des perpendiculaires de tous les points de la droite abd...,, la suite des points A, B, D,.,., forme ce qu'on appelle la projection de la droite abd sur le plan fixe ; et cette projection est nécessairement rectiligne, puisque toutes ces perpendiculaires étant évidemment contenues dans le plan mené par Tune d'entre elles a A et par la droite ady c'est l'intersection du plan projetant kad avec le plan de projection VXY, qui fournit là projection ABD.

Généralement, la projection d'une courbe quelconque mnp est la suite des pieds des perpendiculaires m M, nN, /?P,..., abaissées de ces divers points sur le pian fixe, et cette projection MNP... est une ligne dont la courbure diffère ordinairement de celle de la courbe donnée dans l'espace. D'ailleurs, l'ensemble de ces perpendiculaires compose une surface cylindrique dans le sens général de ce mot, et on la nomme le cylindre projetant de la courbe mnp.

5. Cela posé, je dis qu'un point, une droite, ou une courbe, sont complètement déterminés de position, quand on assigne leurs projections sur deux plans fixes dont la situation est connue, et qui ne sont pas parallèles. Soient, en effet, VXY et XYZ deux plans de ce genre, A et A' les projections données d'un certain point dans l'espace. Si par le point A vous élevez une perpendiculaire indéfinie A a au plan VXY, cette droite passera nécessairement par le point demandé : ce point devra aussi se trouver sur la droite A'rt élevée perpendiculairement au plan XYZ;.