CHAPITRE I. — NOTIONS PRÉLIMINAIRES

donc il ne pourra occuper dans l'espace qu'une position unique, déterminée par Timersection de ces deux 'perpendiculaires. A la vérité, si les deux droites An et A' a ne se rencontraient pas, il n'existerait aucun point de l'espace qui eût pour projection A et A'; mais cela prouve seulement que les deux projections d'un point ne doivent pas être prises d'une manière tout à fait arbitraire, et qu'il y a entre elles une dépendance que nous expliquerons bientôt (n^ 10).

6. {Fig. i). Soient maintenant AD et A'D' les projections d'une droite inconnue, sur les deux plans fixes VXY et XYZ. En imaginant par la première un plan indéfini DAa perpendiculaire à VXY, ce plan renfermera évidemment la droite demandée : elle sera aussi dans le plan D' A'^ mené par I^A', perpendiculairement à XYZ; donc la ligne inconnue se trouvera nécessairement à l'intersection de ces deux plans, qui est une droite unique et déterminée. Il n'y aurait d'exception que dans le cas où les deux plans projetants DA a et D'A' a se confondraient en un seul, ce qui supposerait que la droite dans l'espace, ainsi que ses deux projections, se trouveraient précisément perpendiculaires à l'intersection XY des deux plans fixes : alors deux projections de ce genre ne suffiraient plus pour définir la droite en question, et il faudrait demander une troisième projection faite sur un autre plan fixe, non parallèle à l'intersection des deux premiers.

7. Enfin, si l'on donne les projections MNP et M'N'F d'une courbe inconnue, on imaginera par la première un cylindre perpendiculaire au plan VXY, et par la seconde un autre cylindre perpendiculaire au plan XYZ; la courbe demandée devra évidemment se trouver située sur chacune de ses surfaces, et, par conséquent, sa position et sa forme seront^déterminées par leur intersection mnp^ qui pourra bien être une courbe gauche ou courbe à double courbure (*), c'est-à-dire telle, que tous ses points ne soient pas compris dans un même plan.

Ce sera donc dorénavant par ses deux projections que nous définirons graphiquement un point ou une ligne ; et quand nous dirons que tel point ou telle ligne est donné, il faudra entendre que ce sont les projections qui sont connues. Quant aux surfaces, nous verrons plus loin (n^95) comment il faut modifier l'emploi des projections pour les représenter commodément.

8. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que les projections s'exécu-

(*) Cette dénomination ne vient pas , comme on Ta dit faussement, de ce qu'une telle courbe participe à la courbure des deux surfaces dont elle est Fintersection \ car, d'abord , une surface n'admet pas une courbure unique; et ensuite une même courbe peut être l'intersection d*une infinité de surfaces très-différentes. Mais cette expression veut dire qu'une courbe qui n'est point plane, présente deux sortes de courbures, Tune par rapport à sa tangente, l'autre par rapport à son plan osculateur, comme nous l'expliquerons plus loin ( n^ 6tS4 ). La première est proprement la seule et véritable courbure de la courbe ; la seconde est une espèce de torsion ou de cambrure; c'est pourquoi la dénomination de courbe gauche ou courbe cambrée serait à la fois plus exacte et plus simple.

talent au moyen de droites abaissées perpendiculairement sur le plan fixe. Quelquefois, il est vrai, on emploie des droites obliques au plan, quoique toujours parallèles à une direction donnée, et les conséquences que nous avons établies dans les n**' 5, 6 et 7 subsistent également; mais il faut de graves motifs pour faire adopter ce genre de projections, parce qu'en général il est moins simple et offre moins d'exactitude dans les résultats graphiques, attendu que des droites qui se coupent obliquement, laissent plus d'incertitude sur la position précise de leur point de rencontre. Ainsi, à moins que nous n'avertissions expressément dn contraire, les projections seront toujours orthogonales.

Par des motifs semblables, on choisit ordinairement les plans de projection VXY, XYZ, perpendiculaires entre eux; et pour se les représenter plus aisément, on suppose que le premier est horizontal et l'autre vei^tical. Leur intersection XY, qui est une ligne importante à remarquer, se nomme la ligne de terre.

9. Voilà donc une méthode suffisante pour exprimer graphiquement les données d'un problème sans aucune indétermination; il reste à la modifier de manière que les constructions puissent toutes s'exécuter sur un plan unique. Pour atteindre ce but, on imagine, après avoir projeté les points et les lignes dont il est question sur le^ plans rectangulaires VXY et XYZ, que ce dernier a tourné autour de la ligne de terre XY pour se rabattre sur le plan horizontal, et ne former avec lui qu'un seul et même plan VZ'; et c'est sur ce dernier que l'on trace effectivement toutes les constructions que l'on aurait dû faire sur les deux plans primitifs. Néanmoins, il ne faut pas perdre de vue que ce rabattement n'est admis que comme moyen d'exécution : et toutes les fois qu'on\eut se rendre compte d'une opération par des considérations géométriques, on doil, par la pensée, relever le plan vertical, et se le figurer toujours dans une situation perpendiculaire au pian horizontal.

10. {Fig. I.) Après le rabattement des plans fixes, il existe entre les deux projections d'un même point de l'espace une dépendance très-importante à observer. En effet, les deux droites Aa et A' a, qui projettent le point a eu A et en A', sont perpendiculaires, l'une au plan horizontal, l'autre au plan vertical : ainsi le plan A a A', mené par ces deux droites, se trouvera perpendiculaire aux deux plans de projection, et, par suite, à leur intersection XY; donc le plan A a A' coupera ceux-ci suivant des droites AF, A' F, perpendiculaires sur XY, et aboutissant au même point F de cette ligne de terre. Cela posé, quand le plan vertical XYZ tourne autour de XY, il entraine avec lui la droite A'F qui, pendant ce mouvement, demeure perpendiculaire à la charnière XY; par conséquent, après le rabattement du plan vertical, la droite FA' prendra une position FA" qui sera évidemment le prolongement de FA. Ainsi les deux projections A et A" dun même pqint de l espace doivent toujours se trouver sur une même droite perpendiculaire à la ligne de terre XY, lorsque les plans de projectipu sont rabattus l'un sur l'autre : de sorte que, si l'on prend