CHAPITRE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC. I

L'angle d'une droite avec un plan serait une grandeur indéterminée, si l'on ne convenait pas d'entendre par là l* angle que forme la droite proposée avec sa projection orthogonale sur le plan; et ce choix est fondé sur ce que ce dernier angle est évidemment le plus petit de tous ceux que fait la droite avec les diverses lignes tracées par son pied dans le plan dont il s'agit. Il suit de là que, si l'on abaisse d'un point de cette droite une perpendiculaire sur le plan proposé, l'angle compris entre cette perpendiculaire et la droite primitive se trouvera le complément de celui qu'on veut obtenir, et suffira pour en déduire ce dernier.

Menons donc par le point (B, B'), choisi arbitrairement sur la droite donnée, une perpendiculaire (BC, B'C) au plan PQR'; puis, construisons l'angle formé par les deux droites (AB, A'B') et (BC, B'C). En appliquant ici la méthode du n^ 39, on verra qu'il faut abaisser la perpendiculaire BH sur AC, prendre RH" = BH, et porter l'hypoténuse B'H" de H en B"; alors AB"C sera l'angle des deux droites. Ensuite on construira son complément en traçant la droite B'^D perpendiculaire sur CB"; et enfin AB''D sera l'angle formé par la droite (AB, A'B') avec le plan PQR'.

43. {Fig, i5 bis.) Trouver les angles que forme une droite avec les deux plans de projection.

Ce problème pourrait être traité comme un cas particulier du précédent; mais il sera plus court de le résoudre directement, en observant que, d'après ce que nous avons dit au n^ 42, l'angle de la droite (CD, CD') avec le plan horizontal n'est autre chose que l'angle compris entre cette droite et sa projection CD. Or il est évident que ce dernier angle appartient au triangle rectangle qui aurait pour base CD, et pour hauteur CC; si donc on rabat ce triangle sur le plan vertical, suivant CM'C, l'angle de même nom sera celui qu'on demandait.

Semblablement, l'angle de la droite (CD, CD') avec le plan vertical fait partie d'un triangle rectangle qui aurait pour côtés DD' et D'C; si donc on rabat ce triangle sur le plan horizontal, suivant D'ND, l'angle de même nom sera l'angle de la droite avec le plan vertical de projection.

44. Par un point donné p mener une droite qui fasse [angle a avec le plan Iwrizontnl, et l'angle ê avec le plan vertical.

[Fig. i5 bis.) Prenons d'abord un point arbitraire (C, C)dans le plan vertical, et traçons-y la droite CM' qui fasse avec la ligne de terre un angle égal à a; puis, faisons tourner cette droite autour de la verticale CC, de sorte que son pied décrive un cercle M'M du rayon CM'. Dans toutes ces positions, la droite mobile formera toujours l'angle a avec le plan horizontal; mais il reste à choisir celle où elle aura en même temps l'inclinaison 6 sur le plan vertical. Or, si, après avoir construit l'angle M'Cd^ égal à 6, nous abaissons sur la droite indéfinie Cd^ la perpendiculaire Wâ^ le triangle rectangle ^l'Câ représentera évidemment celui qui doit être formé par la droite inconnue avec sa projection verticale. Donc, en décri-

ao LIVRE I. — DES DROITES ET DES PLANS.

vant Tare de cercle & D' avec le rayon C'd^, et en élevant sur la ligne de terre la perpendiculaire D'D jusqu'à sa rencontre avec le cercle M' M, on déterminera les projections CD' et CD d'une droite qui aura bien les inclinaisons a et 6 sur les deux plans de projection.

Ensuite, il n'y aura plus qu'à conduire, par le point p donné primitivement dans l'espace, une droite qui soit parallèle à (CD, C'iy).

45. {Fig, i5.) Trouver les angles que forme un plan donné PQR' avec les deux plans de projection.

On sait que, pour mesurer l'inclinaison de deux plans, il suffit de les couper par un troisième plan qui soit perpendiculaire à leur intersection, et que les deux droites tracées par ce plan sécant forment entre elles un angle qui exprime l'inclinaison cherchée. D'après cela, coupons le plan PQR' et le plan horizontal par un plan qui soit perpendiculaire à la trace PQ. Ce plan sécant, qui sera vertical, aura pour traces une ligne AD perpendiculaire à PQ, et la verticale DD': par conséquent il coupera le plan donné suivant une droite qui, dans l'espace, réunirait le point A avec D', et serait l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés AD et DD'. Si donc on fait tourner ce triangle autour de DD' pour le rabattre sur le plan vertical, il deviendra D'A''D; et l'angle de même nom mesurera l'inclinaison du plan PQR' sur le plan horizontal.

Pour obtenir l'angle du plan PQR' avec le plan vertical, on les coupera par un plan quelconque CDB' perpendiculaire à la trace verticale QR', et cela fournira un triangle rectangle ayant pour côtés CD et DB'; par conséquent ce triangle, après avoir été rabattu autour de CD, deviendra DB"C dans lequel l'angle B" exprimera l'inclinaison demandée (*).

46. Par un point donné, mener un plan qui fasse un angle a avec le plan horizontal, et un angle 6 avec le plan vertical.

Observons d'abord que, dans le problème précédent, les deux plans sécants D'DA et B'DC {Jig. i5) devaient se couper eux-mêmes suivant une droite perpendiculaire au plan PQR', et qui mesurait la plus courte distance de ce plan au point D de la ligne de terre. D'ailleurs, comme cette perpendiculaire, rabattue tour à tour

{*) Dans certains arts, on définit souvent un plan par sa trace horizontale PQ et par son inclinaison a sur le plan horizontal. Avec ces données, il est toujours facile de trouver sa trace verticale au moyen du plan de profil k!b perpendiculaire à PQ, et qui contient Pangle a; car, en rabattant DA suivant DA'' et formant Tangle DA"D' = a, le côté A"D' prolongé ira couper la verticale DD' au point D' par lequel on doit mener la trace QD'R'. Quelquefois même on évite d'employer le plan vertical de projection, et Ton rabat le profil autour de AD en formant l'angle DA^ = a, ce qui représente d'une manière suffisamment claire la position du plan proposé, et permet d'en déduire les conséquences dont on a besoin. Au fond^ le plan du profil DA^ tient lieu du plan vertical de projection.