CHAPITRE II. — PROBLÊMES SDR LES LIGNES DROITES, ETC. I

le point (B, B') ne sortira pas du plan vertical BF perpendiculaire à la charnière AQ; d'ailleurs la distance B'Q de ce point au point 6xe Q restera invariable; par conséquent, si Ton décrit avec le rayon QB' un arc de cercle qui coupe BF en B", ce point sera le rabattement de (B, B'), et la droite proposée ainsi que la trace QB' se trouveront rabattues suivant AB" et QB''. De même, en tirant les perpendiculaires DD" et CC'sur la charnière AQ, on verra bien que la ligne (ACD, A'C'D') se rabat suivant AD", et que le point G se transporte en C. Alors, dans le plan horizontal où toutes les données sont maintenant rabattues, sans que leurs positions respectives aient changé, nous pourrons abaisser sur AB" la perpendiculaire C"M", et ce sera la plus courte distance cherchée dans sa véritable grandeur. Ce résultat est ordinairement le seul qui intéresse; cependant, si l'on veut aussi fixer la position de la plus courte distance, il n'y a qu'à relever tout le système : le point M'' se ramènera en M par une perpendiculaire sur la charnière AQ, et la projection verticaleM's'en déduira (n^ 10); de sorte qu'enfin la distance en question sera projetée sur CM et CM'.

38. Ce mode de solution serait indispensable, si Ton avait voulu trouver sur la droite (ABf A'B') unpoint qui fut distant de (C, C) d'une quantité donnée ^. Car, après avoir rabattu comme ci-dessus la droite et le point donnés suivant AB" et C", on décrirait avec un rayon C"N"= d^ un arc de cercle qui couperait AB'' en N", et ce serait là le point demandé en rabattement : puis, en relevant tout le système autour de la charnière AQ, le point N" se ramènerait en N, et aurait pour ses deux projections N et N'. On sent bien qu'il y aura généralement une seconde solution, puisque l'arc décrit avec le rayon & coupera ordinairement la droite AB" en deux points W et n'\

Par des moyens semblables, on pourrait trouver le centre et le rayon dun cercle passant par trois points donnés dans [espace. Il faudrait construire (n^22) les traces du plan déterminé par ces trois points, et puis rabattre ce plan autour de sa trace horizontale, comme dans la fig, î4, en cherchant d'ailleurs les positions que prennent, après ce rabattement, les trois points primitifs, ainsi que nous l'avons fait dans cette figure pour le point (C, C).

59. (Figf. 1 8.) Trouver l'angle de deux droites données (AB, A'B') et (BC, 6V).

On entend par l'angle de deux droites, qui souvent ne se rencontrent pas, l'angle que comprendraient entre elles deux droites respectivement parallèles aux premières, et qui seraient menées par un même point de l'espace. Commençons donc par examiner si les lignes proposées se coupent réellement. Or, si elles ont un point commun, on voit bien qu'il devra être projeté horizontalement en B, et verticalement en 1/ : mais, pour que ces points-là fussent les projections d'un même point de l'espace, il faudrait (n** 10) que la droite Bb' se trouvât perpendiculaire à la ligne de terre, condition qui n'est pas remplie ici; par conséquent, les droites 4« édit. 3

l8 LIVRE I. — DES DROITES ET DES PLANS.

proposées ne se coupent pas. Alors, nous allons mener une parallèle à la droite f BC, 6V) par un point quelconque de l'autre droite ; et pour simplifier, nous choisirons le point qui est projeté en B et B'. Cette parallèle aura ainsi pour projection horizontale la droite BC déjà donnée, et pour projection verticale la droite B' C parallèle à 6V; de sorte que le problème sera réduit à trouver l'angle formé par les deux droites (AB, A'B') et (BC, B'C) que nous regarderons comme les données immédiates de la question.

En construisant les traces horizontales A et C de ces droites, la ligne AC sera la base d'un triangle ayant pour sommet le point (B, B'), où se coupent les droites proposées, et dont l'angle situé à ce sommet sera celui que l'on cherche. Dès lors on pourrait construire ce triangle en cherchant les longueurs de ses trois côtés, qui sont connus par leurs projections; mais il vaut mieux employer la hauteur de ce triangle. Or cette hauteur est évidemment l'hypoténuse d'un triangle rectangle qui aurait pour base la perpendiculaire BH abaissée sur AC, et pour hauteur la verticale qui projette le sommet en B, laquelle est égale à B'K; conséquemment, si l'on prend K.H" = BH, et que l'on tire B'H", cette ligne sera la hauteur du triangle primitif. Maintenant, si l'on rabat ce dernier sur le plan horizontal, autour de sa base AC, le sommet ne sortira pas du plan vertical HB perpendiculaire à cette base ; donc, en portant la hauteur B'H" de H en B", le triangle cherché se trouvera rabattu suivant AB"C, et l'angle de même nom sera celui que formaient dans l'espace les deux droites (AB, A'B') et (BC, B'C).

40. Lorsqu'une de ces droites, par exemple la seconde, sera parallèle au plan horizontal, le triangle dont nous nous sommes servis n'existera plus ; mais la trace horizontale du plan des deux droites proposées, qui était AC dans le cas général, deviendra une parallèle à BC menée par le point A ; de sorte qu'en rabattant, comme ci-dessus, ce plan autour de sa trace horizontale, on obtiendra encore l'angle demandé.

Nous ne parlerons pas du cas où les droites seraient toutes deux parallèles au plan horizontal, puisque alors l'angle qu'elles formeraient dans l'espace, serait égal à celui que comprendraient leurs projections.

41 . Si Ton proposait de diviser en deux parties égales [angle de deux droites qui se coupent, on opérerait cette division après avoir rabattu cet angle sur le plan horizontal, comme ci-dessus ; puis, on relèverait l'angle AB"C et la droite bissectrice, en observant que le point où cette dernière ligne va couper la trace horizontale AC du plan des droites données, demeure immobile pendant ce mouvement de rotation. De même, étant donnée une droite située dans un plan connu , on pourra tracer dans ce plan une seconde droite qui fasse avec la première un angle donné. Nous conseillons au lecteur de s'exercer sur les opérations indiquées aux n*** 40 et 41.

42. [Fig. 19.) Trouvertangleforméparunedroite{AByA.'B')avecunplan'PQBf.