CHAPITRE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC

CDFG déjà perpendiculaire sur ABE, et par conséquent GH rencontrera CD. Cette ligne GU^ égale et parallèle à DF, mesurera donc la plus courte distance des droites AB et CD; et Ton voit qu'elle se trouvera perpendiculaire à toutes deux en même temps, puisqu'elle Test sur le plan ABE parallèle à ces droites.

Pour confirmer à posteriori la première de ces deux conséquences, il suffit d'observer qu'en joignant deux points quelconques m et n des lignes proposées, la droite mn sortira du plan CDFG, toutes les fois que le point n sera différenl de G; dès lors mn sera une oblique par rapport au plan ABE, et conséquemment elle sera plus longue que la perpendiculaire mp qui égale GH. Quant au cas où le point n coïnciderait avec G, la droite mG serait oblique par rapport à CD, et par conséquent plus longue que la perpendiculaire GH, qui demeure ainsi la plus courte de toutes les lignes qui peuvent réunir deux points quelconques des droites proposées.

50. Réalisons maintenant les constructions que nous n'avons fait qu'indiquer ci-dessus, et Ton reconnaîtra (comme nous l'avons annoncé n**3) la différence essentielle qui existe entre les procédés vagues de la Géométrie ordinaire et les méthodes précises par lesquelles la Géométrie descriptive obtient des résultats complètement déterminés, pour la solution des problèmes relatifs aux trois dimensions de l'espace.

Soient donc (AB, A'B') et (CD, CD') [fig. ii) les deux droites données : on s'assure qu'elles ne se trouvent pas dans un même plan, en remarquant d'abord qu'elles ne sont point parallèles, et qu'ensuite les points où leurs projections verticales et horizontales se coupent, ne sont pas situés (n^ 39) sur la même perpendiculaire à la ligne de terre. Cela posé, choisissons le point (B, B') de la première droite pour mener une parallèle (BE, B'E') à la seconde, et construisons les traces AEQ et QB' du plan qui contiendrait les lignes (AB, A'B') et (BE, B'E'); puis, abaissons d'un point (D, D') de la deuxième droite, une perpendiculaire (DF, D'F') sur le plan AQB', et cherchons (n** 30), au moyen du plan projetant DBR', le point (F, F') où cette perpendiculaire rencontre le plan AQB'. Maintenant il faudra mener par le pied (F, F'), et parallèlement à (CD, CD'), une droite (FG, F' G') qui devra nécessairement (n^ 49) couper ( AB, A'B') ; par conséquent les deux points G et G' devront être sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. Ensuite, du point (G, G'), nous mènerons parallèlement à (DF, lyF') la ligne (GH, G' H'); et comme elle doit aussi rencontrer la droite ( CD, CD' ), il faudra encore que H et H' se correspondent sur une même perpendiculaire à la ligne de terre. Alors GH et G'H' seront les projections de la plus courte distance demandée ; puis, pour en obtenir la grandeur absolue, on prendra (n® 17) sur l'horizontale menée par le point G', une partie KG" = GH, et l'on tirera la droite G" H' qui sera enfin la vraie longueur de la distance en question.

On pourrait encore résoudre le même problème, en cherchant l'intersection de deux plans perpendiculaires à AQB', et passant l'un par la droite ( AB, A'B'), l'autre par la droite (CD, C'J)'). D'ailleurs ces plans se détermineraient en abaissant une perpendiculaire sur AQB' par un point de chacune des droites proposées; mais nous laisserons au lecteur le soin d'exécuter ces constructions.

51 . Si les deux droites proposées étaient parallèles entre elles, leur distance serait partout la même, et pour l'obtenir, il suffirait de chercher la plus courte distance de la première droite à un point de la deuxième^ par exemple, à la trace horizontale de celle-ci; or c'est là un problème dont nous avons donné la solution dans les n«^ 56 et 57.

Les diverses questions que nous venons de parcourir, renferment tous les éléments nécessaires pour résoudre les problèmes où il n'y aura à combiner que des droites avec des plans, et l'on en trouvera des applications utiles dans le chapitre suivant. Ici, nous ferons seulement observer qu'étant données les projections de tous les sommets d'un polyèdre, on saura déterminer la position et la longueur de chacune de ses arêtes, l'inclinaison de chaque face sur le plan horizontal ou l'angle de deux faces entre elles; on pourra aussi construire en rabattement, et dans ses vraies dimensions, le polygone qui forme une quelconque de ces faces, puis trouver la section que produirait dans le polyèdre un plan dont la position serait assignée. Réciproquement, si la situation du polyèdre est définie par d'autres conditions en nombre suffisant, on pourra en conclure ses deux projections : mais, comme les procédés varieront nécessairement avec le choix des données, nous ne citerons qu'un exemple qui suffira pour indiquer la marche à suivre dans d'autres cas.

52. Un parallélipède rectangle repose, par sa base, sur un plan qui est incliné à [horizon d'une quantité «, et qui a pour trace horizontale PQ (fig. 22) ; une des arêtes de cette base est projetée horizontalement suivant AB, tandis que les deux autres arêtes con-. tiguès avec celles-lày ont des longueurs données V et 1" : on demande de construire les projections horizontale et verticale de ce corps.

Par le sommet B, imaginons un plan de profil PRR' perpendiculaire à la trace PQ : il coupera le plan donné suivant une droite qui formera avec PR l'angle «; par conséquent, si l'on rabat ce profil autour de PR, et que l'on construise l'angle RPR" = w, puis que l'on ramène le point R" sur la verticale RR', la droite R'Q sera (n**45) la trace verticale du plan donné où repose la base du parai lélipipède. D'ailleurs, si nous rabattons ce dernier plan autour de PQ, le point projeté en B, et qui est situé en B" sur le profil, se transportera évidemment en b ; de sorte que A6 sera le rabattement et la vraie longueur de l'arête projetée en AB sur le plan horizontal. Alors, en tirant la droite A c/ égale à /' et perpendiculaire sur Afe, on obtiendra deux des côtés de la base rabattue; puis, en relevant cette face, on verra aisément que ces deux côtés sont projetés suivant AB et AD, et le parallélogramme