CHAPITRE n. — PROBLÊMES SUR LES LIGJNES DROITES, ETC. îl

ÂBGD^ra la projection horizontale de la base du parallélipipède. Cela posé, l'arête perpendiculaire à cette base et qui paht de l'angle B, est projetée horizontalement (n® 33) sur la droite indéfinie BP perpendiculaire a PQ, tandis que sur le profil, cette arête est représentée dans sa yéritàble grandeur par la ligne B'^F'', égale à /" et menée à angle droit sur PR" j piar conséquent, si l'on projette l'extrémité F'' en F, BF sera la -projection horizontalç de l'arête en question : puis, en formant le parallélogramme ABFË, et achevant les autres faces par le moyen.de diverses^ parallèles, on obtiendra aisément la projection complète ABCDHEFG de tout le corps sur le plan horizontal.

Quant à l'autre projection, on observera que les côtés AD et CD se trouvent dans le plan PQR', et qu'ainsi (n° 25) leurs projections verticales sont A'K' et M'N'qui, par leur rencontre, déterminent le point D', projection verticale de l'angle D.(*). Si, de plus, on projette le sommet C en C sur M'N', on pourra achever le parallélogramme A'D'G'B'; et après avoir mené par les quatre angles dé cette base, des perpendiculaires à la trace QR', il suffira de projeter sur ces droites indéfinies les points Ei F, G, H, en E', F', G',. H', ce qui d'ailleurs devra fournir des droites respectivement parallèles aiix côtés de la base inférieure A'B'C'D'.

Il restera enfin à discerner quelles sont les arêtes visibles sur chacun des plans de projection, en observant les règles établiies n*** 15 et 16; et l'on devra se rappeler que le point de vue étant différent pour le jplan vertical et pour le. plan horizontal (n° 16), une même arête/ telle qu'ici (AD, A'D'),peut être visible sur un des plans et in viisible sur l'autre.

Théorie du cliangement de plana de projection.

52 (6i5. ) Il arrive quelquefois, dans une épure de coupe de pierre ou de charpente, que pour trouver certaines parties du problème, on a récoiirs à des plans de projection auxiliaires, différents de ceux qui ont servi à exprimer les données de la question . Ce passage d'un système de plans à un autre système s'explique et se justifie dans chaqiTe exemple par des considérations fort simples, qui ne méritent pas qu'on les regarde comme formant une théorie nouvelle. Toutefois, pour satisfaire aux programines dés services- publics, nous allons donner ici quelques, règles générales.

I. Si les plans primitifs, que je désignerai, pour abréger, par P et P% ont pour ligne de terre xy^ et qu'on veuille substituer au plan P un autre plan horizontal P^ qui ait pour ligne de terre a:*/*, autour de laquelle le plan P* sera rabattu sur le plan P^, suivant l'usage ordinaire, il est évident qu'un point die l'espace qui avait pour, projection horizontale A et pour projection verticale A', devra conserver

(*) On pourrait aussi trouver .les ppints D% C^ B', d'après leurs projections horizonlales et leurs hauteurs au-dessus de la ligne dé terre ; car ces hauteurs seraient fournies par le profil, où les points en question sont projetés. tous sur la droite PR".

4" édit. ^ ^ 4

a6 LIYRE I. — DES DROITES ET DES PLANS.

cette dernière projection A', et quant à sa nouvelle projection A* sur le plan hori-

y^ zontal P*, on Fobtiendra manifestement en prenant sur la droite A A' une distance/ A^ égale à e A . De même, le point de l'espace (B, B') aura pour r- nouvelles projections B* et B'; et enfin la droite -y (AB, A'B') aura pour projection verticale A'B', et pour nouvelle projection horizontale la droite A^B* parallèle à AB.

Pour un plan quelconque tt qui aurait été défini Stur les plans primitifs par ses traces a/3 et /3y', la trace verticale restera évidemment la même p^'\ et quant à sa nouvelle trace horizontale sur le plan P*, elle partira nécessairement du point (^ sur x^y^^ et sera la droite (Je parallèle à a|3.

On agirait semblablement si Ton voulait déplacer le plan vertical F, en le laissant parallèle à sa première direction.

II. Supposons maintenant que des deux plans primitifs P et P' qui ont pour ligne de terre xj^ on veuille garder le plan horizontal P, et remplacer P' par un plan P*

aussi vertical, mais ayant pour ligne de terre sur le plan P, la droite quelconque x^j^^ autour de laquelle il faudra concevoir que le plan P* a tourné pour se rabattre sur P, Alors, une droite qui avait pour projections primitives AB et A'B', conservera nécessairement la même projection horizontale AB. Quant à sa nouvelle projection verticale sur P*, il suffira évidemment d'abaisser des points A et B des perpendiculaires sur la nouvelle ligne de terre x^j^ ; puis, en prenant les hauteurs D^ A^ = D'A', C*B* = C'B', on obtiendra la nouvelle projection A^B' sur le plan rabattu P^

Pour un plan quelconque ^ dont les traces primitives étaient a]3 et j3y', la trace horizontale a/3 restera nécessairement la même, et en la prolongeant jusqu'à ce qu'elle coupe la nouvelle ligne de terre x^j^ en un point (J*, ce dernier point appartiendra à la trace verticale du plan 7t sur le plan P^. D'ailleurs ce plan P*, relevé dans sa position verticale, coupe le plan vertical primitif P' suivant la verticale zz' qui allait rencontrer le plan tt au point z' ; donc, quand on rabattra le plan P* autour de x^ , cette verticale ztI deviendra la droite zz' perpendiculaire à lacharnière x^y^^ et le point z' appartiendra à l'intersection des plans tt etP^ ; c'est-