CHAPITRE III. — RÉSOLUTION DE L'aNGLE TRIÈDRE

Remarque. Quoique les trois derniers problèmes du n°55 puissent être ramenés aux trois premiers par le moyen d'un angle solide supplémentaire, ainsi que nous l'avons montré au n** 58, il est intéressant et quelquefois utile d'en avoir une solution directe. Nous allons donc l'exposer, en prévenant toutefois les lecteurs qui commencent à étudier la Géométrie descriptive, que cette solution suppose la connaissance des plans tangents aux surfaces courbes; ainsi ils feront bien de différer la lecture de ce qui suit, jusqu'à ce qu'ils aient étudié au moins les chapitres II et III du Livre second.

6i>. Quatrième cas. Étant donnés deux angles dièdres A et B d'un angle solide ^ avec une des faces opposées 6 , trouver les autres parties,

{PI, 8y Jlg, I.) Adoptons pour plan horizontal celui de la face inconnue 7, et traçons-y le rabattement ASC de la face donnée 6; ensuite , perpendiculairement à Taréte SA, menons le plan vertical D'^EF, sur lequel nous tracerons Tangle D'ED égal au dièdre A donné parla question. Alors, si nous faisons tourner la face ASC" autour de AS jusqu'à ce qu'elle vienne se placer dans le plan SED', le point D'' se transportera en D' qui se projette horizontalement en D ; et pour composer l'angle solide, il n'y aura plus qu'à conduire par Taréle (SI), ED') un plan qui forme avec le plan horizontal un angle égal au dièdre B. A cet effet, dans le plan vertical EF, tirons la droite D'F qui fasse l'angle D'FDrz: B; puis, après avoir fait tourner cette droite autour de la verticale D'D pour engendrer un cône de révolution dont la base sera le cercle DF, menons à ce cône un plan tangent qui passe par l'arête (SD, ED'). Ce plan aura pour trace la droite SGB tirée du point S tangentiellerocnt au cercle du rayon DF, laquelle sera la troisième arête de l'angle solide en question , et déterminera la face ASB = 7. Quant à la troisième face a qui est rabattue ici suivant BSC", on verra aisément qu'elle se construit en prenant sur la perpendiculaire DG une longueur GD*' égale à la génératrice D'F du cône auquel cette face est tangente.

66. GiNQUiiME CAS. Étant donnés deux angles dièdres A et B d'un angle solide, avec la face comprise 7, trouver les autres parties,

(PL 8, fig, 2. ) Après avoir tracé sur le plan horizontal un angle ASB = 7 pour représenter la face connue, menons un plan vertical EF perpendiculaire à l'arête SA, et traçons-y l'angle F'EF égal au dièdre A ; semblablement , dans un plan perpendiculaire à l'arête SB , construisons l'angle G' KG == B. Alors les plans SEF' et SKG' seront ceux des faces inconnues; et pour obtenir un second point D de la projection SDC de leur intersection , il suffira de les couper par un même plan horizontal quelconque. On prendra donc des hauteurs égales EH' = KL'; puis en menant des droites H' F', L'G', respectivement parallèles aux deux lignes de terre EF, KG, on obtiendra les deux sections horizontales F'D, G'D, qui par leur rencontre feront connaître le point cherché D. Enfin, pour rabattre les deux faces qui se coupent suivant SDC, on prendra les perpendiculaires MD"= EF', ND"' = KG', et ces deux faces auront évidemment pour vraies grandeurs ASC" et BSC^.

67. SixiiME CAS. Étant donnés les trois angles dièdres A, B, C d'un angle solide y trouver les trois faces, '

(PL Qf^g, 3.) Sur le plan horizontal que nous supposons coïncider avec celui de la face inconnue 7, marquons la droite arbitraire DA pour représenter une des arêtes de cette face; et sur un plan vertical perpendiculaire à DA, traçons l'angle Y'AX égal au dièdre donné A : le plan Y' AD sera ainsi celui qui contient la face 6. Ensuite , d'un point V choisi arbitrairement dans l'intérieur de l'angle Y'AX, abaissons sur les faces 7 et 6 les perpendiculaires T'O, T'I', et traçons les angles

T'FO = B, T'G'I' = C; alors, si nous faisons tourner ces angles autour des axes T'O et TT, ils produiront deux cônes de révolution auxquels la face inconnue a devra évidemment être tangente^ de sorte que la question est réduite à mener un plan qui touche à la fois ces deux cônes, dont le sommet commun est en T' et dont les bases sont les cercles décrits avec les rayons OF et TG'. La solution directe consisterait à chercher la trace horizontale du second cône l'T'G', et à mener une tangente commune à celle courbe et au cercle du rayon OF; mais on peut éviter le tracé approximatif d'une courbe par points, en recourant aux considérations suivantes.

Inscrivons une sphère au cône T'OF le long du cercle horizontal MFN : le centime w' de cette sphère s'obtiendra en tirant la droite Fw' normale au cône dont il s'agît ; et pour avoir une seconde sphèrc, égale à celle-là, et inscrite pareillement dans l'autre cône T'TG', il faudra mener à angle droit sur T'G' la ligne T'H' = «'F, et achever le parallélogramme T'H'K'^p' qui fournira le centre o' et le rayon y'K' de celte nouvelle sphère. Cela posé, imaginons un cylindre qui soit circonscrit à ces deux sphères ; il les touchera suivant deux grands cercles perpendiculaires à son axe qui est la droite ^'w'j or le plan qui touchait les deux cônes à la fois, se trouvait nécessairement tangent aux deux sphères ; donc il est aussi tangent au cylindre actuel , et la question se réduit à mener par le point T' un plan qui soit tangent à cette surface unique,

La méthode directe serait donc de tracer, dans le plan w' V perpendiculaire à l'axe «p'w', un cercle avec un rayon égal à w'F; puis, de mener à ce c:ercle une tangente par le point où aboutirait sur ce plan la parallèle à l'axe mené par le point T'. Tout cela pourrait s'exécuter en rabattement sur k plan horizontal ; mais il y a encore un moyen bien plus court. En effet, le plan cherché devant être tangent à la fois au cylindre, à la sphère <*>' et au cône T'FO, son point de contact avec la sphère doit cire situé : i® sur le cercle horizontal WFN qui est la ligne de contact de la sphère et du cône; 2° sur le grand cercle contenu dans le plan w'V, et qui est la ligne de contact de la sphère avec le cylindre. Or ces deux cercles se coupent évidemment suivant une corde qui est projetée verticalement au point M', et représentée en vraie position par MM'N sur le plan horizontal; donc M est le point de conCact et BMS la trace horizontale du plan tangent demandé : sa trace verticale, qui doit passer par Je sommet T', sera dès lors BT'C.

Maintenant que nous connaissons la grandeur ASB = 7 de la face horizontale et la projection SC de l'arête suivant laquelle se coupent les deux plans SAC, SBC, il n'y a plus qu'à rabattre ces deux derniers autour des charnières AS, BS, et l'on obtiendra aisément les deux faces ASC = €, BSC^r a. On observera que l'arête rabattue suivant SC devra être tangente au cercle décrit du point l" aven; un rayon égal à TG'; car ce cercle est la base du second cône TTG' auquel le plan SBC est aussi tangent.