CHAPITRE HT. — RÉSOLUTION DE L'aNGLE TRIÈDRE

grand ou plus petit que a, est celui qu'il faut employer sur une carte topographique où tous les objets doivent être représentés par leurs projections.

62. Deuxième cas. Etant données deux faces a, ê d'un angle solide, avec t angle dièdre compris C, trouver les autres parties.

{Fig. a6.) Soient BSC = a, CSA'= S les deux faces données rabattues sur le plan horizontal ; en faisant tourner la seconde autour de SC jusqu'à ce qu'elle forme avec BSC l'angle dièdre C, on obtiendra deux faces de l'angle solide dans leur véritable situation Or, pendant ce mouvement de rotation, un point D' pris à volonté sur l'arête mobile ne sortira pas du plan vertical D' FM perpendiculaire à la charnière; si donc, dans ce plan rabattu autour de FM, on construit Tangle MFK = C, et que Ton prenne la distance FG'=FD', il est évident que le point D' viendra coïncider avec G', et, par suite, qu'il sera projeté horizontalement en D, lorsque la face mobile ASC aura pris l'inclinaison assignée par la question. Maintenant, le point de l'espace qui a pour projection D et G' appartient à la troisième face inconnue, et si on la conçoit rabattue autour de SB, le point (D, G') ne sortira pas du plan vertical DED" perpendiculaire à cette charnière; donc, comme ce point doit aussi rester à une distance du sommet égale à SD', si l'on décrit avec cette distance un arc de cercle, il coupera la droite indéfinie DE au point D" qui déterminera l'angle D"SB pour la troisième face inconnue. Alors les trois faces de l'angle solide étant trouvées, on rentrera dans le problème du n*^ 59, qui a enseigné à construire les angles dièdres.

On pouvait aussi employer la distance MG' qui égale évidemment MD", pour décrire un arc de cercle dont la rencontre avec le premier aurait déterminé le point D".

63. Troisième cas. Etant données deux faces a, S d'un angle solide, avec l'angle dièdre B opposé à iune d'elles, trouver les autres parties.

{Fig. 27.) Soient encore BSC = a, CSA'= 6 les deux faces données rabattues sur le plan horizontal. Si, dans un plan vertical EF perpendiculaire sur l'arête SB. on construit l'angle REF = B, et que l'on imagine un plan indéfini passant par SE et ER, ce plan indiquera la position de la face inconnue; de sorte que, pour composer l'angle solide, il ne restera plus qu'à faire tourner la face A'SC autour de CS, jusqu'à ce que l'arête SA' vienne se placer dans le plan SER. Pendant ce mouvement de rotation, le point Tï de l'arête mobile ne sortira pas du plan vertical D'FM, mené par le point F perpendiculairement à la charnière CS; et, par conséquent, ce point D' s'arrêtera sur l'intersection du plan vertical FM avec le plan indéfini SER. Or cette intersection est une droite qui part de M^. et vient rencontrer la verticale F au même point évidemment que la droite ER relevée; si donc, pour trouver cette hauteur, on tire la ligne FR perpendiculaire à EF, puis qu'on reporte FR à angle droit sur FM de F en R', la ligne MR' sera l'intersection dont nous avons parlé, et c'est sur cette droite que devra s'arrêter le point D' de l'arête mo-

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bile SA'. Ainsi, en décrivant avec le rayon DT un arc de cercle qni coupe MR' en G, on obtiendra, dans le plan vertical FM, la position G d'un point de la troisième arête SA, et il sera facile d'en déduire la projection horizontale D. ^

Maintenant observons que ce point G, situé dans le plan vertical MF, appartient à la face inconnue; et que quand on rabattra celle-ci autour de Tarête SB, il ne changera pas de distance par rapport aux points M et S situés sur la charnière. Or ces distances sont évidemment MG et SD'; si donc, avec ces droites pour rayons, on décrit deux arcs de cercle, leur rencontre D" déterminera le rabattement du point G (*), et par suite la face inconnue sera D"SB. Une fois cette face trouvée, on retombera sur le cas du n^ 59, et Ton saura construire les autres parties de Tangle solide.

64. Remarquons que l'arc de cercle décrit avec le rayon ED' coupera généralement la droite MR' en deux points G et j/ ; de sorte que la face A'SC, en tournant autour de CS, pourra prendre deux positions dans chacune desquelles l'arête SA' se trouvera située dans le plan indéfini SER ou SMR'; pour l'une de ces positions, le point D' s'arrête en G, et pour Fautre il vient en g. Par conséquent, si Ton rabat ce dernier point autour de SB, comme on l'a fait pour le premier, il se transportera en rf", et cf'SB sera alors la grandeur de la troisième face inconnue. 11 y aura donc deux angles solides différents que l'on pourra composer avec les données a, 6 et B; résultat tout à fait analogue avec ce qui arrive dans la construction d'un triangle rectiligne où l'on connaît deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux.

Il n'est pas besoin d'ajouter que si l'arc décrit avec le rayon FD' ne faisait que toucher la droite MR', il n'y aurait plus qu'une solution; et que le problème serait impossible, si cet arc ne rencontrait pas du tout la droite MR'.

Cependant il importe d'observer que la deuxième solution devrait être rejetée, si le point 9 tombait sur MR' au-dessous de MF, c'est-à-dire au-dessous du plan horizontal (nous supposons ici qu'on aura soin de construire l'angle donné B, aigu oit obtus, toujours au-dessus du plan de projection. En effet, l'angle solide qu'on obtiendrait alors se trouverait évidenïment composé avec les faces a, ê, et un angle dièdre supplémentaire de B : or, comme ce dernier est ici donné graphiquement, et non pas par la valeur de son sinus, il ne peut y avoir d'ambiguïté sur sa grandeur, et, par conséquent, il n'est pas permis d'adopter indifféremment B ou i8o^— B.

Par la même raison, il faudrait rejeter les deux solutions et déclarer le problème impossible avec les données actuelles, si les points G et g tombaient l'un et l'autre au-dessous de l'horizontale MF; ce qui, au reste, ne pourra arriver que quand l'angle dièdre B sera obtus.

(*) On pouvait aussi trouver le rabattement D'^, en combinant un de ces deux arcs avec la droite DW menée perpendiculairement à la charnière SB, par la projection horizontale D du point G.