CHAPITRE IV. — DES POLYÈDRES RÉGULIERS

assemblés cinq à cinq; 4** C hexaèdre ou cube^ formé par six carrés réunis trois à trois; 5** te dodécaèdre^ composé de douze pentagones réguliers, assemblés trois à trois. Il ne saurait y en avoir d'autres, attendu qu'un plus grand nombre de triangles, de carrés ou de pentagones réguliers, que Ton voudrait réunir autour d'un même point, donnerait lieu à une somme d'angles plans qui égalerait ou surpasserait 36o degrés; et pour prouver l'existence de ces cinq corps réguliers, nous allons apprendre à les construire.

DU TÉTRAÈDRE. {PL 9, ficj, 1.) Avec le côté donné / du polyèdre, on construira sur le plan horizontal un triangle équilatéral ABC; et au centre S du cercle circonscrit, on élèvera une verticale (S, S' H') dont la grandeur sera fournie par le côté SK d'un triangle rectangle ASK construit sur AS comme base, et avec une hypoténuse AK égale à AB. Alors, en joignant le point (S, S') avec les trois sommets primitifs, on obtiendra un corps formé par quatre triangles évidemment égaux et réguliers. Les angles trièdres sont aussi manifestement égaux.

OCTAÈDRE. {PL 9, fig, 2.) Avec le côté /, formons dans un plan horizontal quelconque un carré (ABCD, A'C) ; puis, par le centre (S, H') élevons une verticale que nous proloiigerons, au-dessus et au-dessous, d'une quantité S'H' ou S"H' égale à la demi-diagonale SB. Alors, en joignant les points (S', S) et (S", S) avec les quatre angles du carré, nous formerons un corps composé de deux pyramides quadrangulaires, dont les huit faces seront évidemment des triangles équilatéraux : car cela revient à faire faire au carré ABCD un quart de révolution autour de sa diagonale AC ou RD. D'ailleurs les angles solides en (S, S'), (A,A'),(B,B'),... seront aussi égaux, puisque chacun d'eux appartiendra à une pyramide quadrangulaire identique avec la première (SABCD, S'A'B'C'D').

ICOSAÈDRE. {PL c^^fig. 3.) Avec le côté donné /, et dans un plan horizontal quelconque, construisons un pentagone régulier (ABCDE, B'A'E') ; et sur son axe vertical, cherchons un point (S, S') tel, qu'en le joignant avec les sommets du pentagone, on obtienne cinq triangles équilatéraux. Pour cela, il suffit évidemment de former sur SD, comme base, un triangle rectangle DSH dont l'hypoténuse DH soit égale à / ou DE; de sorte que le côté SH de ce triangle fournira la hauteur inconnue A' S' de la pyramide pentagonale

(SABCDE, S'B'E').

Dans un autre plan horizontal Q'M', dont nous fixerons plus tard la distance au plan B'E', traçons un second pentagone LMNPQ égal et concentrique avec ABCDE, mais tourné de manière que ses sommets L, M, N,... soient placés aux milieux des arcs que sous-tendraient les côtés CD, DE, EA,... dans le cercle circonscrit; puis, en prenant la distance L'S" égale à A'S', formons la pyramide pentagonale

(SLMNPQ', S"Q'M')

évidemment égale à la précédente. Maintenant, joignons par des droites chaque sommet du pentagone supérieur avec les deux sommets voisins du pentagone inférieur, comme (C, C) avec (Q, Q') et (L, U), (D, D') avec(L, U) et (M, M'),..., et nous obtiendrons ainsi une zone intermédiaire composée de dix triangles déjà isocèles, mais qu'il faut tâcher de rendre équitatérauXy en choisissant convenablement Tintervalle B'Q' des deux pentagones, intervalle que nous avons laissé ci-dessus indéterminé. Or, pour que la droite (CL, CL') soit égale à LQ, il suffit de construire le triangle LCR avec une hypoténuse LK égale à LQ, et le côté CR donnera la différence de niveau qui doit exister entre C et L', ou bien Tintervalle B'Q' qu'il fallait mettre entre les deux pentagones parallèles. On aura donc ainsi formé un corps composé de vingt triangles équilatéraux, assemblés cinq à cinq; et les angles solides seront aussi égaux entre eux, parce qu'à chaque sommet (C, C'j, (L, L'),... on pourra concevoir une pyramide pentagonale identique avec la première

(SABCDE, S'B'E').

HEXAÈDRE. {PL 9, fi(j. 4.) Après avoir construit le carré ABCD, on élèvera par ses quatre angles des verticales (A, A'A"), (B, B'B"),... égales à AB; et en réunissant leurs extrémités supérieures par un autre carré, on obtiendra immédiatement le solide demandé, lequel n'est autre chose qu'un cube.

DODÉCAÈDRE. {PL g^ fi(j. 5.) Dans un plan horizontal quelconque B'A'E', traçons un pentagone régulier ABCDE dont les côtés soient égaux à la longueur / assignée pour les arêtes du polyèdre; puis, à chaque sommet (A, A'), (B, B'), (C,C'),... ajoutons deux autres pentagones égaux au premier, et inclinés de manière à former cinq angles trièdres. Par là, nous obtiendrons une calotte composée de six pentagones, et terminée au contour

(RRSTUVXYZW, R'R'S'T'U'V'X'Y'Z'W)

dont nous enseignerons tout à l'heure à trouver les projections. Traçons encore, dans le plan horizontal, un pentagone LMNPQ égal et concentrique avec ABCDE, mais tourné de manière que ses angles soient aux milieux des arcs que sous-tendraient les côtés AB, BC,... dans le cercle circonscrit; puis, sur ce pentagone LMNPQ, construisons une calotte concave identique avec la précédente, et élevons cette dernière le long de la verticale (0,L'A'), jusqu'à ce que ses angles saillants et rentrants aillent coïncider avec les angles rentrants et les angles saillants de la première calotte. Tout cela est manifestement possible, puisqu'il ne s'agit que de réunir, à chaque sommet du contour, trois pentagones identiques avec ceux qui ont déjà formé les angles trièdres (A, A'), (B, B"),...; mais il restera à savoir quelle est la distance verticale G'H* qiîi séparera les deux pentagones horizontaux. D'ailleurs, par la réunion de ces deux calottes, on aura