CHAPITBE IV. — DES POLYÈDRES RÉGULIERS

produit un polyèdre composé de douze pentagones égaux, et où les angles solides seront aussi égaux entre eux, puisque chacun sera formé par trois pentagones identiques.

Pour construire les projections de ce corps avec plus de clarté, commençons par la calotte inférieure dont nous placerons la base LMNPQ dans un plan horizontal G'Q'M' choisi à volonté; puis, rabattons sur ce plan le trois faces de Tangle trièdre (Q, Q'), en traçant les deux pentagones PxyzQ, Qz'ivkLy identiques avec LMNPQ. Alors, en opérant comme pour chercher les angles dièdres (n^ 59), il faudra mener par les points rabattus z et 2' deux plans verticaux, l'un zo: perpendiculaire à PQ, l'autre zfS perpendiculaire à QL; ces plans se coupant suivant la verticale Z, c'est sur cette droite que viendront se réunir les points z et s' lorsqu'on recomposera l'angle solide, et conséquemment Z est la projection horizontale d'nn des sommets du polyèdre, tandis qu'une de ses arêtes sera projetée sur ZQ qui doit évidemment converger vers le centre O. Quant à la projection verticale Z', on observera que le sommet en question appartient à un triangle rectangle qui a pour base Za et pour hypoténuse az : si donc on construit ainsi le triangle aZd^, le côté Z& indiquera la hauteur G'H' quMl faut porter sur le plan vertical pour obtenir la projection Z', d'où l'on déduira l'arête Z'Q'. On aurait pu aussi remarquer que, connaissant la projection horizontale ZQ de l'arête en question, et sa grandeur absolue qui égale PQ, on obtiendra la différence de niveau G'H' en construisant un triangle rectangle dont la base soit ZQ et l'hypoténuse PQ.

Pour le sommet rabattu en j, il est certain que pendant le relèvement de la face xjzQPf ce sommet ne sortira pas du plan vertical jyO perpendiculaire à la chaniière PQ; et que sa plus courte distance^y finira par prendre une position parallèle à aâ. Si donc on prolonge cette dernière jusqu'à ce que ae soit égale à jy, et qu'on abaisse la verticale eX, le pied X devra être rapporté sur /y pour fournir la projection horizontale Y du sommet en question. Quant à la projection verticale Y', on l'obtiendra en remarquant qu'elle doit être à une hauteur G' H" égale à Xe. On aurait pu obtenir le point Y en observant que, par suite de la symétrie des deux calottes, la distance BY doit égaler QZ qui est déjà trouvée; et la hauteur G'H'' se déduirait de cette considération, que la droite projetée sur Y y a pour vraie grandeur yOM.

Enfin, la hauteur H" H"* de la calotte supérieure doit manifestement être prise égale à G'H', ce qui permettra de tracer les projections verticales A', B', G', D', E', correspondantes à À, B, C, D, E ; et on agira semblablement pour W, K', R', . . . , après avoir tracé sur le plan horizontal les longueurs CW, LK, DR,..., égales toutes à la distance QZ, que nous avons enseigné à déterminer.

4o LIVRE II. — DES SURFACES ET DES PLANS TANGENTS.