CHAPITRE II. — DES PLANS TANGENTS EN GÉNÉIIAL

nécessairement tangent tout le long de la génératrice rectiligne qui passe par le point de contact.

100. Dans les surfaces coniques, le plan tangent jouit aussi de celle propriété, et elle se démontrera d'une manière analogue, en observant qu'alors les points de section D et G sont situés constamment sur une même droite variable, mais qui rencontre toujours AB au sommet du cône. Enfin, nous verrons plus loin que celle même propriété subsiste également xlans une classe de surfaces nommées dé^eloppables, et dont les cylindres et les cônes ne sont que des genres particuliers.

101. Toutefois ce serait une erreur de croire que ce contact du plan tahgenl, tout le long d'une droite, tient à ce que les surfaces dont nous venons de parler admettent des génératrices rectilignes; car nous rencontrerons bientôt des surfaces engendrées aussi par une droite, et nommées gauches, dans lesquelles le plan tangent ne satisfait aux conditions du véritable contact que pour un seulpoint^ quoiqu'il contienne toute une droite de la surface (uo/ez n^* 142 et 154).

102. Le théorème démontré n^ 99 offre une conséquence importante que nous aurons souvent besoin d'invoquer par la suite; c'est que, quand on projette sur un plan une courbe MX et sa tangente MV {Jîg, Sa), les projections de ces deux lignes sont elles-mêmes tangentes dune à [autre. En effet, pour projeter la courbe MX, il faudra (n** 4) imaginer un cylindre MBCX passant par cette ligne et perpendiculaire au plan donné, qu'il coupera suivant une courbe BC qui sera la projection de MX. Ensuite, pour projeter la droite MV, il faudra mener le plan V]VfB, lequel étant évidemment tangent au cylindre en M, devra l'être aussi (n** 99) en B; et par conséquent il renfermera la tangente BT de la base BC. Donc cette tangente se trouvera l'intersection du plan projetant avec le plan de cette base, et elle sera ainsi la projection deMV.

La même conséquence subsisterait encore, si Ton projetait la courbe et sa tangente par des droites obliques au plan donné, mais toujours parallèles entre elles.

105. En résumant ce qui a été dit sur les plans tangents, on doit en conclure que, pour construire le plan qui louche une surface quelconque dans un point donné, il suffira dorénavant de chercher les tangentes à deux courbes tracées sur la stu'face par le point dont il s'agit, en préférant dans chaque exemple celles qui offriront plus de facilité; puis, de faire passer un plan par ces deux tangentes, ce qu'on exécutera comme au n** 22. Nous donnerons bientôt divers exemples de ces constructions.

Ix)rsque, par le point donné, il passera une droite située tout entière sur la sur^ face, cette droite sera elle-même sa propre tangente; dès lors elle devra se trouver contenue dans le plan tangent, et pourra être employée à construire ce plan ; mais il ne faudra pas en conclure toujours que ce plan touche la surface tout le long de cette droite (n^ 101 ).

104. La normale à une surface est la droite perpendiculaire au plan tangent, et menée par le point de contact de ce plan. Cette normale se construira donc aisément (n" 35), quand on aura déterminé les traces du plan qui touche la surface au point en question.

103. Contour apparent d'un corps : on appelle ainsi la ligne qui, sur la surface du corps, sépare les parties visibles pour l'observateur d'avec celles qu'il ne peut apercevoir. Soit donc O {fig. 33) la position qu'occupe l'œil du spectateur : imaginons tous les plans qu'il est possible de mener par ce point tangentiellenieiit k la surface proposée; ils toucheront celle-ci suivant des points A, B, C,..., qui formeront une courbe à laquelle aboutiront tous les rayons visuels Ox\, OB, OC,..,, tangents à la surface; ainsi cette ligne ABCD sera la limite de la portion que peut apercevoir l'observateur placé en O. Mais ce contour apparent changerait déforme et de position si le point de vue se déplaçait : que celui-ci soit transporté en (/, par exemple, et le contour apparent deviendra A'B'C'D'. Il faudrait donc assigner, dans chaque cas, la position du point de vue; puis déterminer en conséquence le contour apparent, ce qui donnerait lieu à des opérations graphiques que nous apprendrons, il est vrai, à exécuter dans la perspective, mais qui compliqueraient inutilement ici nos dessins. Au lieu que si nous conservons l'hypothèse déjà admise n"" 16, et d'après laquelle le point de vue, dans toute projection horizontale, est censé à une distance infinie sur la verticale OO' passant par un quelconque des points de l'objet, alors les plans tangents dont les points de contact avec la surface faisaient connaître la courbe ABC,..., deviendront tous verticaux, et leur détermination sera plus facile; ou plutôt, elle s'effectuera ordinairement d'une manière très-simple, comme nous le reconnaîtrons dans les épures suivantes.

106. Il résulte de là que le contour apparent dune surf ace projetée sur le plan horizontal s obtient en cherchant les points de contact de tous les plans tangents qui sont