CHAPITRE IL

DES PLANS tangents EN GÉNÉRAL.

95, Un pian est dit tangent k une surface dans un point donné, lorsqu'il contient les tangentes à toutes les courbes que ton tracerait sur cette surface par le point en question; mais il est nécessaire de démontrer qu'il existe, en général, à chaque point d'une surface, un plan qui jouit de cette propriété, car on ne voit pas à priori pourquoi ces diverses tangentes ne formeraient pas un cône, ainsi que cela arrive effectivement dans certains points singuliers. Nous allons donc prouver que trois courbes

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5o LIVRE II. — DES SURFACES ET DES PLAKS TANGENTS.

quelconques, tracées sur une surface à partir d'un point donné, ont toujours letirs trois tangentes situées dans un seul et même plan.

Soit GMg [jig. 3i) la forme et la position de la généralrice (n® 70) lorsqu'elle passe par le point donné M : soit DMrf nne courbe tracée sur la surface, et sur laquelle devra glisser constamment la génératrice, lorsque, dans son mouvement, elle décrira ce lieu géométrique : soit enfin MX une troisième courbe quelconque, tracée arbitrairement sur la même surface. Si nous transportons la génératrice da!)s une autre position G'M'gf', elfe ne manquera pas de rencontrer la courbe MX en un certain point P', pourvu que le point M' soit pris assez voisin de M sur la directrice DMrf. Alors, en joignant les points M, M', F par des droites indéfinies, ces trois lignes seront des sécantes par rapport aux courbes MD, MX, G'j/', et elles seront évidemment toutes trois dans un même plan. Maintenant, faisons mouvoir la génératrice G'g* sur MD, en la rapprochant de sa situation primitive Gjjf, mais en observant toujours la loi qui règle la variation de forme et de position de cette courbe dans la surface que Ton considère: puis, imaginons que le plan des trois sécantes tourne autour du point M, de manière qu'il passe, en même temps que la génératrice, par les points M" et P", M** et P*,..., où elle coupera successivement les courbes MD et MX ; par là ce plan mobile renfermera constamment les trois sécantes i>ariables. Or, quand la génératrice sera revenue à la position GMj/, le point M', mobile sur MD, sera confondu avec M : mais au même instant le point P' de la courbe MX aura dû évidemment se réunir avec le point M; et, par une suite nécessaire, sur la courbe variable G'gr' les points P' et M' seront aussi confondus. Donc alors les trois sécantes mobiles seront devenues respectivement tangentes aux courbes MD, MX, MG; et si l'on se rappelle que ces trois sécantes étaient, pour chaque position de la génératrice, totijours situées dans un même plan, on en conclura que, quand elles sont devenues les tangentes MT, MT', MT", elles se trouvent encore dans un plan unique, qui n'est autre chose que la limite des positions qu'avait prises successivement le plan mobile des trois sécantes (*).

(*) Je ferai observer que ce ihéorème (démontré ainsi dès 1817, dans mes leçons à l'École Polytechnique ) me paraît indispensable à établir, pour pouvoir, dans la suite , emprunter à la méthode infinitésimale les considérations abrégées et si utiles auxquelles nous aurons nous-mêmes recours bientôt (n** 1Ô8). En effet, ce n'est qu'après avoir prouvé rigoureusement que toutes les tangentes, en un même point d'une surface, se trouvent dans un plan unique, qu'il est permis de regarder la surface comme composée d'éléments superficiels qui soient plans, parce qu'alors ils sont formés par les éléments linéaires communs aux courbes de la surface et à leurs tangentes. Quant k la démonstration précédente, on a objecté qu'ici la droite M'P' est bien , par rapport à la courbe G'g^', une sécante dont les points de section vont se réunir; mais que, dans l'intervalle, la ligne G' g' ne restera pas constante de forme, et qu'ordinairement cette condition est admise, quand on définit la tangente comme la limite d'une sécante. A cela il suffit de répondre que si, dans la géométrie plane, on admet cette permanence de forme, ce n'est que tacitement et parce qu'on ne s'y occupe guère que de courbes

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D'ailleurs, comme la courbe MX avait, dans ce qni précède, une position arbitraire sur la surface, il s^ensuit que le plan raené par les tangentes des deux lignes MG et MD renfermera la tangente de toute autre courbe qui passerait en M; ainsi ce plan TAIT' se trouvera bien tangent à la surface, d'après la définition que nous avons donnée au commencement de cet article.

96. Lorsqu'une surface présente deux ou plusieurs nappes qui se coupent, comme il arriverait dans un cône dont la base serait une courbe à nœud, les points de l'intersection de ces deux nappes semblent d'abord offrir une exception à la propriété dont jouit le plan tangent en général; mais on reconnaîtra que cette circonstance rentre dans les cas ordinaires, si Ton observe que toutes les tangentes en un même point de l'intersection doivent être distribuées sur les deux nappes, comme elles le seraient sur deux surfaces indépendantes qui viendraient se couper en cet endroit, et dont chacune aurait son plan tangent distinct du plan tangent de l'autre.

97. Cependant il se rencontre quelquefois de véritables exceptions à la propriété du plan tangent; mais cela ne peut arriver que dans des points singuliers de la surface, pour lesquels la génératrice ou la directrice, venant à se réduire à un point unique, n'admettent plus de tangente. Par exemple, au sommet d'un cône, les diverses arêtes qui s'y coupent sont des lignes droites situées sur la surface^ et qui sont elles-mêmes leurs propres tangentes ; cependant ces droites se trouvent deux à deux dans des plans évidemment distincts. Le sommet d'un cône est donc un point singulier de cette surface pour lequel il n'existe pas de plan tangent. Mais si l'on remarque que la génératrice parallèle à la base du cône (n° 72) se resserre de plus en plus en s'approcbant du sommet, et finit, en y arrivant, par se réduire à un point lequel n'admet plus, à proprement parler, de tangente, on sentira comment la démonstration générale du n^ 95 cesse d'être applicable à ce cas particulier. La même cause d'exception se rencontrerait si l'on partait de la définition donnée

invariablement données; mais si, sans sortir (Pun plan, on traçait un cercle qui coupât une droite, puis qu'on fil décroître le rayon jusqu'à ce que les deux points de section vinssent à se réunir, il n'y aurait pas de doute qu'alors ce cercle variable ne fût devenu tangent à la droite. Ainsi la permanence de forme n'est pas du tout nécessaire; et vouloir l'exiger, ce serait restreindre gratuitement le caractère général de la tangente à une courbe. Il faut donc définir celle-ci comme la limite des positions que prend une sécante dont deux points de section se sont rapprochés indéfiniment, poun'u que ces points soient situés sur la même branche de la courbe, et que cette dernière n'ait varié de forme et de position que d après une loi continue; or c'est bien là ce qui arrive ici pour la courbe G'^', puisque la surface est elle-même supposée continue.

Ajoutons enfin qu'il faudra de même regarder comme tangentes l'une à l'autre deux courbes quelconques qui, après avoir été sécantes, se seront modifiées de position ou de forme, d'après une loi continue, jusqu'à faire coïncider ensemble deux dé leurs points de section; car il est évident que ces deux courbes auront acquis une tangente commune, qui sera la limite des positions de la droite mobile passant par les deux points communs aux courbes sécantes.

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Ti"* 71 pour les surfaces coniques, parce qu'alors une des directrices de la droite mobile serait le point unique, nommé sommet du cône, et qu'une telle directrice n'est plus susceptible d'avoir une tangente.

Une circonstance analogue se présente dans les surfaces de révolution, dont la méridienne coupe l'axe sous un angle obtus ou aiguj ou même nul : au point d'une telle surface qui est situé sur l'axe de révolution, il riy a ptus de plan tangent; et les tangentes aux diverses positions du méridien forment, au contraire, un cône droit. C'est ce qu'on reconnaîtra en faisant tourner un cercle autour d'une de ses cordes.

98. Il est très-important d'observer que la définition du plan tangent donnée n'' 93 n'exige pas du tout que ce plan n'ait qu'i/n seul point de commun avec la surface. Cela arrive, il est vrai, dans les surfaces entièrement com^exes; mais, dans d'autres cas, le plan tangent peut rencontrer la surface en divers points, et même /'/ couper suivant une courbe qui passe par le point de contact, comme nous en verrons des exemples dans le tore (n^ 138) et dans les surfaces gauches. Cette circonstance n'empêchera pas que ce plan ne renferme les tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface par le point en question, et par conséquent il touchera réellement la surface en cet endroit; tandis que dans les autres points qu'il aiu'a de communs avec elle, il sera généralement sécant.

99. 11 existe néanmoins certains genres de surfaces où le plan qui est tangent dans un point, se trouve nécessairement tangent tout le long d'une droite. Considérons, en effet, le cylindre ABC {fig. 3a) à base quelconque; si, par la génératrice ABet la tangente BT à la base, on mène un plan, je dis que non-seulement ce plan contiendra les tangentes aux diverses courbes que l'on voudra tracer sur la surface par le point B (ce qui résulterait déjà du théorème démontré n® 95), mais qu'il renfermera aussi les tangentes à toutes les autres courbes que l'on tracerait siu' le cylindre, par les divers points de la génératrice AB; et pour justifier cette assertion, il suffira de faire voir que le plan ABT renferme la tangente MV à la courbe quelconque MX. Or, si par AB et un point D voisin de B, je mène le plan ABR, il coupera évidemment le cylindre suivant une droite DE parallèle à AB, et la courbe MX en un point G situé sur DE; de sorte que ce plan contiendra les deux sécantes BDR et MGS. Maintenant, faisons-le tourner autour de AB de manière que le point D se rapproche de B; les points de section D et G vont changer sur les courbes, mais ils se trouveront toujours ensemble sur une droite mobile, consiamment parallèle à AB; donc, quand l'un de ces points D sera confondu avec B, au même instant l'autre point G coïncidera avec M; c'est-à-dire que, quand le plan mobile aura pris la position ABT, la sécante variable MGS, toujours située dans ce plan, sera devenue la tangente MV. Ainsi cette dernière droite est renfermée dans le plan ABT.

Concluons de là que, lorsqu'un plan louche un cylindre en un point quelconque, il est