CHAPITRE IV. — PLANS TANGENT? AUX SURFACES DE RÉVOLUTION

plan méridien GOH qui renferme le contour apparent de la surface (n® 148) par rapport à ce plan de projection, sont les seules qui deviennent invisibles et qui aient dû être ponctuées.

151 . On sait (n® 14 1) que l'hyperboloïde admet un autre système de génératrices rectib'gnes, projetées également sur les tangentes au cercle de gorge AB, AaBa,..., mais qui ont dans l'espace une position inverse par rapport à la verticale. Par exemple, celle de ces nouvelles droites qui serait projetée suivant BDA (*), aurait son pied en (B, B') et son extrémité supérieure en (A, a), tandis qu'elle couperait la droite ADB du premier système au point (D, U); ainsi elle aurait pour projection verticale B'D'a, ligne qui a déjà reçu la projection d'une droite LMC du premier système. C'est pour éviter cette coïncidence que nous n'avons pas voulu représenter, sur l'épure, les génératrices des deux systèmes à la fois; car autrement, les parties pleines des unes tombant sur les parties ponctuées des autres, il n'aurait plus été possible de distinguer les portions visibles ou invisibles dans chacun des systèmes. Au surplus, il sera toujours facile, même sur l'épure actuelle, de retrouver les droites du système B quand on en aura besoin, puisqu'il suffira de prendre les portions pleines pour les parties ponctuées,. et réciproquement, comme nous venons de l'indiquer pour la droite BDA. On pourra aussi multiplier davantage les génératrices, afin d'obtenir plus d'effet dans le dessin ; mais nous avons cru devoir ici sacrifier quelque chose sous ce dernier rapport, afin d'offrir plus de netteté dans la position des points et des lignes remarquables qu'il fallait signaler à l'attention du lecteur.

152. {Fig. i\6.) Du plan tangent à l'hj-perboloïde. Soit R la projection horizontale du point de contact, assignée par la question : pour obtenir l'autre projection, j'observe que par le point considéré sur la surface, il passe une génératrice du système A, laquelle est projetée horizontalement suivant une tangente PRA au cercle de gorge, et verticalement suivant P'a; si donc je projette R en R' sur cette dernière droite, j'aurai déterminé complètement le point de contact (R, R'). Mais il y a une seconde solution ; car, puisque je veux mener de R une autre tangente BRQ aa cercle de gorge, laquelle représentera aussi une génératrice du système A projetée verticalement suivant B'Q", je n'aurai qu'à projeter R en R" sur cette dernière ligne, et j'obtiendrai un second point (R, R'') qui sera situé sur l'hyperboloïde, et qui aura pareillement sa projection horizontale en R.

153. Cela posé, considérons le point (R, R'), et rappelons-nous (n° 142) qu'il doit passer par ce point unique deux génératrices de l'hyperboloïde : l'une est la droite (PRA, FR'a) déjà employée et qui appartient au système A; l'autre appar-

( * ) Pour indiquer plus dairement la situation des diverses génératrices, nous aurons toujours soin de citer, en premier lieu, la lettre qui désignera Textrémité inférieure de la droite dont nous parlerons. 4« édit. 10

tient au système B et serait projetée sur (QRB, Q'R'ê). Donc le plan tangent en (R, R') devra renfermer ces deux droites, et par suite la trace horizontale de ce plan sera QPS. Pour déterminer l'autre trace SV, il suffira d'imaginer dans ce plan tangent et par le point (R, R'), une horizontale dont les projections seront RV parallèle à la trace QPS, et R'V parallèle à la ligne de terre; puis, on construira le point (V, V) où cette horizontale va percer le plan vertical.

Quant au plan tangent relatif au point (R, R''), il se trouvera déterminé par les deux droites de systèmes opposés, qui se coupent en cet endroit :

L'une est (BRQ, B'R^'Q") pour le système A,

L'autre est (ARP, A'R'T") pour le système B.

Ainsi la trace horizontale de ce plan sera la ligne AB, et la trace verticale s'obtiendrait, comme ci-dessus, par le secours d'une horizontale menée dans ce même plan à partir du point (R, R").

154. Revenons au plan tangent PSV qui touche l'hyperboloïde au point (R, R') [fig. 46), et remarquons que sa trace horizontale PQ se trouve bien perpendiculaire au plan méridien OR qui passerait par le point de contact, ainsi que cela doit arriver (n** 134) dans toute surface de révolution dont l'axe est vertical : mais ce plan tangent PSV n'est pas tangent à l'hyperboloïde dans tout autre point, tel que (T, V) de la droite (PRA, P'R'a) qu'il renferme, puisque sa trace horizontale PQ ne saurait être perpendiculaire au méridien OT. D'ailleurs, par ce point (T, T) de la droite (PRA, P'R'a) qui appartient au système A, il passe une génératrice (HTBa, H'T'êa) diï système B, laquelle est évidemment située hors du plan dont nous parlons, puisque le pied de cette génératrice est en H hors de la direction de PQ. Par conséquent, le plan PSV ne satisfait pas, pour le point (T, T), à la déBnition du véritable contact, qui consiste à renfermer les tangentes à toutes les lignes situées sur la surface; tandis qu'au point (R, R') ce plan contient nonseulement les deux génératrices qui s'y coupent, mais aussi la tangente du parallèle qui est précisément (RV, R' V), la tangente du méridien, et celle de toute autre courbe tracée par ce point sur l'hyperboloïde.

Nous avions déjà prouvé cette propriété singulière du plan tangent à l'hyperboloïde gauche dans le n**142; mais nous avons cru devoir insister sur cette circonstance et l'appuyer ici par de nouvelles considérations^ parce qu'il importe de se former une idée bien nette de la position d'un plan qui est ainsi langent dans un point (R, R'), et sécant dans tous les autres points communs avec la surface, qu'il coupe ici suivant les deux droites (PRA, P'R'a) et (QRB, Q'R'g),

155. Tous les problèmes relatifs aux plans tangents, que nous avons résolus dans ce livre, portaient sur des surfaces cjlindriques^ coni^fues^ou de révolution. Nous n'en ajouterons pas maintenant de nouveaux exemples, pour d'autres genres de surfaces, parce que la méthode se réduit dans tous les cas à employer le procédé