CHAPITRE IV. —PLANS TANGENTS AUX SURFACES DE RÉVOLUTION

et leur rapport est a, quantité indépendante de la distance c^. Il résulte de là que tous ces hyperboloîdes sont des surfaces semblables et concentriques; et comme celte similitude doit s'étendre aussi au cône asymptotique pour lequel â est nulle, on pourra affirmer que, quand un même plan coupera l'hyperboloïde et le cône asymptotique, les sections faites ainsi dans ces deux surfaces seront des courbes semblables et concentriques (*). Cette remarque nous sera utile plus tard.

148. Après avoir fait connaître la nature et les principales propriétés de l'hyp^boloîde engendré par la révolution d'une droite, occupons-nous maintenant de la représentation exacte de cette surface au moyen de deux plans de projection. Nous r^arderons toujours Taxe fixe comme vertical, et alors ses projections seront O et rO'Z' [fig. 46) ; quant à la droite mobile, prenons-la dans une situation quelconque où elle sera projetée suivant ADB et A'D'S; puis, construisons d'abord la méridienne de la surface, en cherchant les points dans lesquels le plan vertical OG est rencontré par les positions successives de la droite (AB, A' S). Or, déjà dans la situation actuelle, cette droite perce le plan OG au point (M, M''), lequel appartient à la courbe demandée, et celle-ci devra toucher en ce point la projection A'M'^ê. En efifet, quoique dans l'espace la tangente de la méridienne et la droite (AB, A'ê) soient très-distinctes l'une de l'autre, ces droites sont néanmoins situées toutes deux dans le plan tangent de la surÉBice au point (M, M"); et comme ce plan est nécessairement perpendiculaire (n*^ 129) au plan méridien OG, et par conséquent au plan vertical de projection, il arrivera ici que A'ê se confondra avec la projection verticale de la tangente, et qu'ainsi la droite A' S touchera elle-même la projection de la courbe méridienne en W.

Ensuite, un point quelconque (n, «') de AB décrira, pendant le mouvement de révolution, un arc de cercle projeté sur nN et sur l'horizontale n'N': donc ce point (n, n'), quand il arrivera dans le plan vertical OG, se trouvera projeté en (N, N')î ainsi ce sera là un nouveau point de la courbe méridienne G'N'M'G", et tous les autres se construiront de la même manière. En appliquant ce procédé à l'extrémité (D, ly) de l'horizontale (OD, O'iy), qiii est perpendiculaire à la fois sur Taxe et sur la génératrice, et qui mesure leur plus courte distance, on obtiendra le point (F, F') de la méridienne le plus rapproché de Taxe, et c'est ce point qui, dans la révolution complète de la droite mobile, décrira le plus petit des parallèles de la surface, ou le cercle de gorge projeté ici sur DFE et E'F'. De même, le pied (A, A') de k génératrice, décrivant un cercle ALG qui sera la trace horizontale de la surfisice, fournira un point (G, G') de la méridienne : et quoique cette courbe doive évidemment s'étendre d'une manière illimitée, puisque la droite génératrice a elle-même une longueur indéfinie, néanmoins, pour donner une idée plus nette

(*) Voyez V Analyse appliquée à la géométrie des trots dimensions, chap. IX.

de la surface, nous admettrons que la droite mobile est terminée aux deux points (A, A') et (B, S), également distants du point (D, D') qui décrit le cercle de gorge; de sorte que la portion de surface que nous considérerons ici, sera terminée à deux cercles égaux projetés horizontalement sur GAH, et verticalement sur G' H' et G' H". Au reste, nous avons démontré (n** 140) que le méridien GT'G" était une branche d'hyperbole qui avait pour axe réel le diamètre E'F' du cercle de goi^e; et Ton devra observer qu'ici, comme dans toute surface de révolutioriy le méridien principal G'F'G" forme précisément le contour apparent de la surface par rapport au plan vertical, puisque tous les plans tangents le long de ce méridien lui sont perpendiculaires (n^ 129). Par une raison semblable, le contour apparent de l'hyperboloïde relativement au plan horizontal, est le cercle de gorge DFE le long duquel tous les plans tangents sont évidemment verticaux.

149. {Fig. 46.) Pour compléter la représentation graphique de cet hyperboloîde, d'après le mode de génération par une ligne droite, il faut construire un certain nombre de positions de cette génératrice rectiligne. Or, puisqu'elle doit rester à une distance constante de l'axe (O, O'Z'), sa projection horizontale sera toujours tangente au cercle DFE; menons donc à volonté la tangente AsDsBs, puis projetons le pied Aa sur la ligne de terre en A'j, et le point de contact Dj sur ET' eîl D'à*, alors nous obtiendrons k'^jy^^^ pour la projection verticale de la droite qui était projetée horizontalement suivant AaR^ : d'ailleurs, l'extrémité S» q«ii est sur le cercle supérieur G" H", devra évidemment se trouver projetée en B,, ce qui offrira une vérification. Les autres positions de la génératrice se construiront d'une manière analogue, et leurs projections verticales devront encore toucher l'hyperbole méridienne, ainsi que nous l'avons démontré au numéro précédent pour la première droite ADB; seulement, il faut observer que quand on choisira la projection horizontale parallèle à la ligne de terre, comme KL, la projection verticale correspondante Q'ê sera C asymptote de l'hyperbole, puisqu'en effet une pareille génératrice ne rencontrera plus le plan méridien OG qu'à une distance infinie, sans cesser d'être, en projection verticale, tangente à l'hyperbole méridienne.

130. Pour obtenir des résultats plus symétriques, on a, dans l'épure actuelle, divisé le cercle GAH en quatorze parties égales, et tracé d'abord les cordes AB, AjBa, AgBg,..., de manière à sous-tendre un même nombre d'arcs partiels; par là ces cordes, nécessairement égales, se sont trouvées tangentes à un même cercle EDF, puis on en a déduit les projections verticales, comme nous l'avons dit au numéro précédent. D'ailleurs, quoique ces cordes aboutissent deux à deux aux mêmes points de division sur le cercle GAH, on distinguera aisément les parties situées au-dessous du cercle de gorge d'avec les parties supérieures, puisque les premières étant invisibles sur le plan horizontal, sont ici représentées par des lignes ponctuées. Quant au plan vertical, les portions de génératrices situées au delà du