CHAPITRE 1. — SURFACES DÉVELOPPABLES

tour de la charnière AB, jusqu'à ce qu'elle arrive dans le plan de la face suivante; et, en continuant ainsi, on amènera toutes les faces du prisme à être situées dans un plan unique, à la suite les unes des autres, de sorte que la surface prismatique se trouvera dévebppée, sans avoir changé de superficie. En outre, observons bien que tous les côtés du polygone CAA' À" formeront, après le développement, une seule et njéme ligne droite à laquelle toutes les arêtes du prisme continueront d'être perpendiculaires, ainsi que nous l'avons prouvé pour les deux premiers côtés AA' et A' A''; et que la longueur de cette droite sera égale à la somme des côtés du polygone primitif, tandis que les diverses arêtes AB, A'B',... auront conservé les longueurs qu'elles avaient auparavant.

161. {Fig. 48.) Or il est bien évident que toutes ces conséquences seront également vraies, quelle que soit la grandeur des angles et des côtés du polygone que l'on a substitué à la courbe CAA'; par conséquent elles auront lieu aussi dans un cylindre qui est la limite des prismes inscrits, ou, si Ton veut exprimer différemment la même idée, dans un cylindre qui n'est autre chose qu'un prisme dont la base serait un polygone infinitésimal. On peut donc affirmer, i^ que toute surface cylindrique est développable; o? qu'après cette transformation, la section orthogonale ou perpendiculaire aux génératrices, devient une droite dont la longueur égale le périmètre de cetle section ; 3® que les génératrices restent perpendiculait^s à cette droite, en conservant d'ailleurs leurs longueurs primitives, soit au-dessus, soit audessous de cette base.

162. {Fig. 49) S'il existait sur le cylindre une courbe quelconque GMM', elle se trouverait remplacée, sur le prisme, par un polygone GMM'M" dont les côtés ne changeraient pas de longueur, lorsqu'ils seraient entraînés avec les faces du prisme, dans leurs mouvements de rotation autour des arêtes successives; mais ce polygone changerait de forme, puisque l'angle intérieur MM'M" (*) deviendrait MM' m". Toutefois, comme dans ce développement le côté M'M" tournera par un mouvement de révolution autour de la charnière B'iM', il s'ensuit que l'angle B'M'M" demeurera constant et égal à B'M'm" : il en sera de même de Tangle BMM' ou TMA qui restera invariable, et dont un côté TMM' deviendra, à la limite, la tangente de la courbe que remplace actuellement le polygone GMM'. Si d'ailleurs on observe que toutes ces propriétés sont indépendantes de la petitesse plus ou moins grande des faces du prisme, et qu'ainsi elles doivent encore être vraies pour la limite de ce prisme, ou pour le cylindre de la fig. 48, on en déduira les conséquences suivantes :

(*) Le supplément de cet angle , savoir M"M'^, lequel serait compris entre deux tangentes consécutives, se nomme angle de contingence , et peut servir à apprécier la courbure de la courbe en cet endroit, comme nous l'expliquerons bientôt {n^ lOB).

yS LIVRE 111. — SURFACES DÉVELOPPABLES ET ENVELOPPES.

i«^. {Fig. 48.) Quand on développe un cylindre sur lequel est tracée une courbe quelconque GM, cette ligne se change en une autre courbe que nous appellerons la transformée de la première, et dont les arcs ont la même longueur absolue que ceux de la courbe primitive.

a^. Les portions de génératrices MA, M'A',..., comprises entre cette courbe et la section orthogonale CAA', restent de même grandeur, et toujours perpejxdiculaires à la droite suivant laquelle se transforme la base CAA'.

3^. Chaque tangente MTà la courbe primitive forme, avec* la génératrice MA , un angle qui demeure invariable; et d'ailleurs cette droite MT se retrouve, après le développement, tangente à la transformée. Cette dernière assertion se justifie en observant que, sur le développement du prisme, la ligne MT ne cesse pas d*étre le prolongement d*un côté du polygone transformé. Nous verrons bientôt, dans plusieurs épures, la manière dont on fait usage de ces diverses propriétés pour exécuter graphiquement le développement d'un cylindre, et pour y construire les transformées des courbes primitivement tracées sur ce corps.

163. Nous avons dit qu'une courbe quelconque GMM' tracée sur un cylindre, se changeait, après le développement de cette surface, en une autre ligne qui généralement était encore courbe; cependant il y a des cas particuliers où cette transformée peut être rectiligne, et pour trouver plus facilement les conditions qui s'y rapportent, substituons encore au cylindre et à la courbe le prisme droit et le polygone GMM' de la /gf. 49- Alors, pour que le côté M' M", transporté en M' m", se trouve sur le prolongement de MM', il faut et il suffit évidemment que l'on ait

angle B'Wm" = A'M'M = BMM';

et puisque nous avons vu (n^ 162) que le premier de ces angles demeurait égal à l'angle primitif B' M' M*', la condition précédente revient à celle-ci :

angleB'WW = BMW;

comme il en serait de même des autres côtés consécutifs comparés entre eux, on en conclut que tous les côtés du polygone GMM'M" doivent couper les arêtes du prisme sous un angle constant. Maintenant, si l'on transporte au cylindre ces relations qui devaient toujours avoir lieu sur le prisme, quelque petites que fussent ces faces, et si l'on se rappelle (n^lS7) que les prolongements des côtés du polygone deviennent, à la limite, les tangentes de la courbe continue vers laquelle converge ce polygone, on en déduira ce théorème : Pour quune courbe GM, tracée sur un cjrlindre, devienne rectiligne après le développement de cette surface, il faut et il suffit que toutes les tangentes de cette courbe fassent un angle constant avec les gênératrices du cylindre. Les courbes qui satisfont à cette dernière condition, se nomment des HELICES, quelle que soit la base du cylindre sur lequel elles sont tracées :