CHAPITRE I. — SURFACES DÉVELOPPA ftLÈS

ainsi les hélices sont les seules courbes qui deviennent rectilignes, par le développement de la surface cylindrique qui les contient.

164. {Fig. 48). Elles jouissent d'ailleurs de cette autre propriété bien remarquable : Un arc quelconque tf hélice GM est la ligne la plus courte que ton puisse tracer sur le cylindre^ entre ses extrémités G et M. En effet, si ou lui compare une autre courbe comprise entre les points G et M, ce dernier arc ne deviendra pas rectiligne quand on aura développé le cylindre; donc alors il sera plus long que Tare d'hélice qui sera devenu une droite : mais nous avons vu (n° 162) que, dans ce développcmenty les transformées conservaient la même longueur que les courbes primitives; donc aussi, avant le développement du cylindre, l'arc d'hélice était plus court que toute autre ligne passant par les points G et M.

165. Il importe d'observer ici que toutes les courbes qui deviennent rectilignes après que le cylindre est développé, étaient primitivement gauches ou à double cour» bure, c'est-à-dire que trois tangentes infiniment voisines, ou trois éléments consécutifs, n'étaient pas dans un même plan. En effet, revenons au polygone de la fig. 49? et considérons-y trois côtés consécutifs, RM, MM', M' M", que nous supposerons dirigés de manière à former, avec les arêtes du prisme, des angles égaux entre eux et désignés par a. Si ces trois cotés pouvaient être dans un plan unique^ il en serait certainement de même pour trois droites menées par un point quelconque G, parallèlement à ses côtés : or ces trois parallèles, formant aussi chacune un même angle a avec l'arête GD, se trouveront situées sur la surface d'un cône droit dont GD sera Taxe, et l'on sent bien qu'une telle surface ne saurait avoir trois de ses génératrices dans un même plan, puisque alors trois points de la circonférence qui lui sert de base seraient en ligne droite. Donc il est pareillement impossible que les trois côtés consécutifs KM, MM^ M'M''^ se trouvent dans un même plan ; et cette proposition ayant lieu quelle que soit la petitesse de ces côtés, demeure également vraie pour leurs prolongements, lorsque le polygone dégénère en une courbe continue ; auquel cas ces prolongements sont les tangentes mêmes de cette courbe. Aiiwi les hélices sont toujours des lignes à double courbure.

166. Il faut seulement excepter de cette conclusion générale un cas unique, qui est celui où l'angle a se trouve droit; car alors le cône qui nous a servi tout à l^heure à établir la proposition précédente se réduit lui*méme à un plan. D'ailleurs, l'hélice particulière qui répond à l'hypothèse actuelle a = 90®, n'est autre chose évidemment que la section droite CkA' ; et nous savons, en effet (n^ 161), que cette section devient rectiligne après le développement du cylindre; mais du moins nous pouvons affirmer que, de toutes les courbes plaives tracées sur un cydindre, il ny a que la sectioic orthogonale qxfi devienne rectiligne après le développement de cette surface.

167. (Fi^. 49.) A Toccasîon des hélices qui, comme nous l'avons reconnu, ne

8o LIVRE III. — SURFACES DÉVELOPPABLES ET ENVELOPPES.

sont pas des courbes planes, nous ferons observer que, dans route courbe gauche, telle que GKM, située d'une manière quelconque dans l'espace, si trois éléments voisins KM, MM', M'M" ne sont pas dans un même plan; du moins cette condition sera toujours remplie pour deux éléments consécutifs MM' et M'M"; et le plan MM'M' se nomme le plan osculateur de la courbe au point M. Pour le point K, au contraire, le plan osculateur serait KMM', et ainsi de suite; de sorte que les divers plans osculateurs se coupent deux à deux suivant un élément intermédiaire, et ils ne coïncident tous ensemble qu'autant que la courbe est plane. D'ailleurs, par les considérations exposées plus haut, cela revient évidemment à définir le plan osculateur comme celui qui passe par deux tangentes infiniment voisines.

168. Observons encore qu'une ligne courbe continue, plane ou non, n'a jamais qu'une tangente unique en un point donné; mais elle admet évidemment une infinité de normales, c'est-à-dire de droites perpendiculaires à la tangente, et menées par le point de contact de celle-ci : or toutes ces normales formant nécessairement un plan perpendiculaire à la tangente, et que l'on appelle le plan normal de la courbe au point en question. C'est précisément le contraire de ce qui arrive pour ime surface, laquelle admet, en chacun de ses points, une infinité de tangentes formant le plan tangent, et une normale unique perpendiculaire à ce plan.

169. Une SURFACE conique est toujours développable. Sans passer ici par toutes les considérations intermédiaires que nous avons cru devoir employer pour le cylindre, regardons immédiatement la base du cône, qu'elle quelle soit, comme un polj^gone infinitésimal CAAf A'' [fig. 5o), et ce cône lui-même comme une pyramide dont chaque face SAA' sera un élément superficiel infiniment étroit, qui se trouvera commun (n^ 159) à la surface et à son plan tangent le long de la génératrice SA. Alors on pourra faire tourner la face SA' A" autour de l'arête SA', jusqu'àce qu'elle vienne se placer dans le plan delà face SA' A, et à la suite de celle-ci ; puis, faire tourner le système de ces deux faces autour de l'arête SA, et les amener dans le plan de la face précédente. En continuant de la sorte, on obtiendra un secteur polygonal {*) composé de toutes les faces de la pyramide, mises à côté les unes des autres dans un même plan, et dont par conséquent la superficie égalera l'aire de cette pyramide ; d'ailleurs, il est évident que dans cette transformation, les côtés et les angles des faces SA' A", SAA',... resteront invariables, ainsi que ceux des triangles quelconques SM'M", SMM',..., tandis que les angks AA'A", MM'M" changeront de grandeur; et comme ces diverses circonstances sont également vraies quelle que soit la petitesse des faces de la pyramide, elles subsisteront donc pareillement pour la limite de ce corps, c'est-à-dire pour un cône sur lequel les

(*) Ou plutôt, le système de deux secteurs opposés par le sommet , si Ton développe en même temps la pyramide supérieure SBB'B'' qui remplace la deuxième nappe du cône.