CHAPITRE I. — PRINCIPES GÉNÉRAUX. lOI

borner à trouver un seul point de cette intersection, puisque le point de contact M est déjà assigné par la question.

Lorsqu'une des surfaces proposées, par exemple S', sera un plan, ou bien quand . on saura que la courbe AMB est plane, quoique les deux surfaces dont elle est l'intersection soient courbes, la règle précédente se réduira évidemment à chercher l'intersection du seul plan tangent de S avec le plan S', ou avec le plan de AMB. 214. jéutre méthode. Si l'on construit la normale MN de la surface S pour le point M, et la normale MN' de la surface S' pour le même point, il est évident que le plan NMN' conduit par ces deux droites, se trouvera perpendiculaire à chacun des plans tangents, et par suite à leur intersection qui est MT. Ainsi, la tangente à [intersection de deux surfaces est une droite perpendiculaire au plan des deux normales à ces surfaces; ce plan coïncide d'ailleurs avec \eplan normal{ïï^ 168) de la courbe AMB. 11 suffira donc de construire ces deux normales et le plan qu'elles déterminent; et puis, de lui mener une perpendiculaire par le point donné M. Cette mé thode (*) est fort précieuse, i® parce qu'il y a des surfaces où la normale se détermine d'une manière beaucoup plus simple que le plan tangent, et indépendamment de celui-ci ( n° 136) ; a® parce qu'il se rencontre quelquefois des points singuliers, pour lesquels les deux plans tangents se trouvent perpendiculaires à un même plan de projection ; alors le procédé du n^ 213 ne donne plus de résultat déterminé pour la tangente de la courbe projetée sur ce plan, tandis que la méthode des deux normales peut encore s'appliquer par suite de certaines relations qui, à la limite, ne deviennent pas indéterminées. Nous en verrons des exemples dans plusieurs épures de Géométrie (n*^* 340 et 488) et dans la Coupe des pierres.

215. Lorsque les surfaces en question sont placées de telle sorte qu'elles se touchent le long de la ligne qui leur est commune, cette intersection particulière prend le nom de ligne de contact^ et l'une des surfaces est dite circonscrite à l'autre. On pourra toujours construire cette courbe par le procédé général du n*' 210, mais on ne saura plus lui mener de tangente; car, d'après l'hypothèse actuelle, les deux plans tangents dont cette droite serait l'intersection, se trouveront confondus l'un avec l'autre. La même indétermination résulterait de la méthode des deux normales; car ces droites coïncideront entre elles en même temps que les plans tangents, et le plan normal qu'elles devaient servir à 6xer restera encore indéterminé. Ainsi, pour les lignes de contact de deux surfaces, la géométrie ne fournit point de méthode graphique propre à trouver leurs tangentes (**), à moins

(^) Elle est due à M. /. Brnet, qui en a fait lui-même des applications intéressantes à diverses épures de Géométrie et de Coupe des pierres.

{**) Cependant nous indiquerons, au n^ l>84, une mélhode propre h atteindre ce but, mais trop compliquée pour être vraiment utile dans la pratique, et remarquable seulement sous le point de vue de la théorie qu'elle servira à compléter.