CHAPITRE 1. — PRINCIPES GENERAUX. C

on se procurera une série de points ?n, m^j m^, m^,...; et s'ils sont assez rapprochés les lins des autres, ils pourront être aisément réunis par un trait continu [*) qui fera connaître, sur le plan horizontal, la courbe suivant laquelle la surface S est coupée par le plan P. Quant à la projection verticale de cetle même courbe, il est évident qu'elle se réduit, dans le cas actuel, à la trace même du plan sécant P.

210. Considérons maintenant deux surfaces quelconques S et S'; et pour trouver leur intersection, coupons-les par une série de plans horizontaux P, P2, Ps,.-- Chacun de ces plans auxiliaires, P par exemple, coupera là surface S suivant une ligne mm^m^.,,^ et la surface S' suivant une autre ligne m'm\m\,,.'^ ces deux lignes se construiront comme nous l'avons dit au numéro précédent, et si elles se coupent elles-mêmes sur le plan horizontal en un ou plusieurs points M, N,..., ce seront là les projections horizontales de divers points, qui sont évidemment communs aux deux surfaces S et S', et qui dès lors appartiennent à leur intersection. Quant aux projections verticales, on les déduira des preniières, en ramenant sur la trace du plan auxiliaire P les points M, N,.,., par des perpendiculaires à la ligne de terre. Maintenant, si l'on répète des opérations semblables pour les autres plans Pa, Pgv? o^ obtiendra sur chaque plan de projection une suite de points M, M2, M3,..., N, Na, N3,..., qu'il faudra réunir par un trait continu, en distinguant toutefois ceux de ces points qui appartiennent à une même branche de courbe d'avec ceux qui font partie d'une autre branche. Cette distinction est

(*) Il faut de rhabltude, sans doute, pour réunir ainsi des points situés à certaines distances par une ligne qui n'offre ni Jarrets, ni cliangemcnts brusques de courbure ; mais on ne doit rien épargner pour se former l'œil et la main par de nombreux exercices, et pour acquérir le sentiment de la continuité dans les courbes, attendu que la construction des intersections de surfaces est un des problèmes les plus utiles, soit comme moyen de recherche, soit dans les applications pratiques de la géométrie descriptive à la perspective, à la coupe des pierres, à la charpente, etc. Toutefois, nous ferons observer ici qu'il n'est pas toujours avantageux de multiplier extrêmement les constructions auxiliaires qui déterminent les divers points /», /w,, w.t, . . ., parce que les pelites erreurs inséparables de toute opération manuelle, portant alors sur des points très-voisins, produisent des sinuosités ou d'autres défauts choquants qui n'eussent pas été sensibles sur de plus grandes distances. Il faut donc répartir ces constructions avec mesure, en consultant de bons modèles, et les multiplier davantage dans les parties où la courbe semble offrir quelque forme singulière qui a besoin d'être vérifiée. On doit aussi profiter des notions que l'on peut avoir d'avance sur la nature de l'intersection cherchée; si, par exemple , on prévoit que la projection doit être une courbe du deuxième ou du quatrième degré , il ne devra y exister aucun arc qui puisse être coupé par une droite quelconque , en plus de deux ou de quatre points ; et si le contraire arrivait, il faudrait refaire les (ronstrurtions relatives à ces parties pour les rectifier. La détermination des tangentes, que nous apprendrons à effectuer, est encore un moyen de corriger la forme d'une courbe ; parce que la connaissance d'une pareille droite fera aisément sentir si l'arc qui précède ou qui suit le point de tangence a besoin d'être élevé ou abaissé pour que le contact soit complet. Au surplus, les préceptes généraux sur cette matière ne suffisent pas; et il faut réclamer encore, sur un certain nombre d'exemples bien choisis, les conseils d'un praticien habile.

lOO LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

quelquefois assez délicate; mais on y parviendra en suivant avec attention, et de proche en proche, les résultats fournis par les plans auxiliaires successifs. D'ailleurs, si Tune des surfaces S et S' avait deux nappes distinctes, comme il arrive dans un cône, il ne faudrait pas réunir des points qui seraient sur des nappes opposées.

211 . La méthode que nous venons d'exposer est générale, et suffisante dans tous les cas pour obtenir l'intersection de deux surfaces quelconques S et S'; mais au surplus, on peut donner aux plans sécants P, P„ Psi*.., telle direction que Ton voudra, pourvu que Ton sache construire commodément les courbes auxiliaires mm^... et m'm\.... Ainsi, dans chaque problème, il sera avantageux de choisir les plans sécants de manière que les sections auxiliaires soient, s'il est possible, des droites ou des cercles y parce que de pareilles lignes se tracent facilement au moyen de deux données. Par exemple, s'il s'agit de cylindres, on prendra les plans P, Pa»..-» parallèles aux génératrices des deux surfaces à la fois; s'il est question de deux cônes, on fera passer tous les plans sécants par la droite qui réunit les deux sommets. Quelquefois même on emploie, pour couper les surfaces S et S', non plus des plans, mais des surfaces courbes, telles que des sphères concentriques, qui peuvent fournir alors des cercles pour sections auxiliaires dans les deux surfaces proposées. [Fojez n® 333.)

212. Quand on a construit les deux projections de l'intersection cherchée, cette courbe est certainement déterminée; mais si elle est plancj il faut en outre, pour manisfester plus clairement sa forme, en exécuter le rabaitemenl sur un des plans de projection. Lorsqu'une des deux surfaces proposées est développable, on doit aussi effectuer le développement de cette surface, et y construire la transformée (n** 175) de Tinterseclion ; car cette nouvelle courbe est nécessaire à connaître dans les applications à la stéréotomie. Enfin, comme la détermination des tangentes à une courbe est un moyen de dessiner avec plus de précision le cours de cette ligne, et que celte connaissance est d'ailleurs nécessaire dans divers cas, il faudra s'exercer à cette recherche, tant pour l'intersection primitive que pour son rabattement et pour sa transformée; mais les tangentes à ces deux dernières courbes se déduisant toujours facilement de la tangente à la première, nous nous bornerons à donner pour celle-ci une méthode générale.

213. Désignons les "surfaces proposées par S et S', et soit AMB leur intersection dont il faut trouver la tangente {fig. 57).

Puisque cette courbe est située en même temps sur les deux surfaces, sa tangente MT pour le point quelconque M, doit se trouver à la fois (n° 95) dans le plan qui touche la surface S en M, et dans celui qui touche S' au même point; donc la tangente MT sera l'intersection des plans tangents aux deux surfaces. Par conséquent, il suffira de construire ces deux plans par les méthodes exposées précédemment, et de chercher la droite suivant laquelle ils se couperont: on pourra même se