CHAPITRE PREMIER. — S I

D^finidoi

i« Là A Géométrie descriptive se compose de deux parties : Tune rationneUe, qui comprend les solutions synthétiques d£S problèmes relatifs aux propriétés de rétendue; Tautre simplement graphique, qui consiste dans Tart de: représenter exactement la forme et la position des lignes situées dans Tespace» Cette repré«sentation se fait sur des feuilles de dessin qu'on nomme épures.

Un dessin de géométrie descriptive est le tableau des lignes et des sur£aices qu on a combinées pour arriver à la solution d'une question proposée. Après avoir tracé sur une épure les données d'un problème^ on obtient par une wite d'opérations graphiques les points ou les lignes (pii satisfont aux conditions de ce problèmes

L'application la plus immédiate de la géométrie descriptive est la représea* tation des corps qui sont dans leur état natiird , ou dont 1^ formes sont sus-t ceptibles de définition rigoureuse. Lc^ arts libéraux, la spulpture, l'architecture, tous les arts dits mécaniqueé^ qui ont pour but principal de donner à la matière brute des formes déterminées, empruntent à la géométrie descriptive des. pro-. cédés graphiques , à l'aide desquels on représente fidèlement toutes les parties d'un objet en relief, avant que cet objet soit exécuté. Cette représentation se fait, pour la géographie, sur des cartes ou mappemondes; pour l'architecture, sur des dessins qu'on nomme plans y profils j élèi^ations, et plus généralement dessins géométraux^ En considérant deux, points quelconques sur un relief^- la distance de ces deux . points ne sera pas toujqurs donnée directement par les dessins géométraux; mais on la déduirk des lignes tracées sur les feuilles de dessin : cette propriété du dessin géoméfrd le distingue des perspectives ordinaires.

2 QiOUiThin OESCBr»T|VX.

Des Opérations et du Dessin de la Géométrie descripti\fe,

2. Les opérations ou constructions de la géométrie descriptive comprennent d'abord celles qui servent à résoudre graphiquement les problèmes de la géométrie plane.

Lorsque de cette géon^étrie on passe i la géométrie de Tespace , qui considère les corps étendus aux trois dimensions , toutes les questions de cette partie de la science de Tétendue sont ramenées à la géométrie plane , par la construc* tion des deux problèmes suivans :

I ^ Trouver la distance de deux points dont on a les projections ;

o? Construirele point d'intersection d'une droite et d'un plan.

On trace sur une épure les lignes droites et les cercles en se servant de trois instrumens, la ^ègle, l'équerre et le compas. Xa plus grande difficulté du dessin graphique consiste à déduire une courbe d*un polygone , ou à réunir, par un trait uniforme à la plume ou au crayon, des points isolés d'une courbe, placés à des distances finies les uns des autres. L'exactitude de ce tracé est aussi néces^ saire en géométrie descriptive que )a précision des calculs en arithmétique. Lorsqu'un point est déterminé par deux courbes dont il est l'intersection , sa* position n^€St rigoureusement déterminée, que lorsque les deux courbes sont marquées d'un trait fin , exempt de toute discontinuité.

Une épure de géométrie descriptive n'étant que le tracé ou le tableau d'une conception géométrique, il faut d'abord combiner des lignes, des surfaces, prévoir tout ce qui résulté de leurs intersections, de leurs contacts, en un mot, résoudre dans l'espace un problème de géométrie à troia dimensions , avant que la main puisse exécuter les opérations qui conduisent à la solution gra-* phique de ce problème.

J'ai réuni dans un ouvrage à part (l) ce qui appartient à là géométrie auiL trois dimensions , qu'on doit regarder comme la partie rationnelle de la géomfétrie descriptive. Je ne rappellerai dan& èélui-oi que les propositions nécessaires pour l'explication des épures jointes au texte.

$ II. milIMIN AIBSS DK LA. GiOMJÉT&IZ HKSORIPTIVE^ •

Des projections d^un points d'une droite ^ dunppljgoney d^une ligne quelconque* •

3. Lorsque des points eu nombre indéfini, placés à des distances fifiies les Uns des autres , occupent un certain espace , on parvient à fixer leurs positions

■ I ■■ ■ 11» ■ I II— ^^— ,,,a I ■ .■■»■-■

(i) Élémens de Géométrie à trois dimensions, z vol. i/i-S^. Paris, 1S17. t

aionimtm dsscriptivc. 3'

respectives, en concevant Tespace qui les contient, divisé en qaatre parties égales par dear plans rectangulaires prolongés indéfiniment On abaisse de chaque point dô l^e8pace des. perpendiculaires snr ces plans ^ et les pieds de ces perpen^cûlatres , qu'on nonune prc^ecùans du point , en déterminent la position. Ëiï eSetj un poiot est donné loorsqu'il est Tintersection de deilx droites connues; or la pcrpendiculaîre à l'un des deux plans (pii divisent l'espace, et qu'on nonune plans de pmjections, passe'par le point que l'on considère et par sa projection sur le premier plan; la perpendiculaire au second plan de projections passe aussi par ce point , et par sa projection sur le second plan ; donc le point unique , intersection des deux perpendiculaires connues , est le point de l'espace que l'on considère.

On suppose ordinairement cpie l'un des deux plans de projections est horizontal; dans cette hypothèse, l'autre plan est vertical, et les points de l'espace sont déterminés par leurs projections, qu'on nomme horizontales ou verticales^ selon qu'elles appartiennenl; an plan liorizontal ou an plan vertical dé projections. »

Cette convention pour déttrmiiier la position d'un point dé l'espace est ana* logue à celle que ks géomètres ont adoptée pour déterminer la position respective d'un système de points située ^ns un plan. Ils imaginent sur ce plan deux droites rectangulaires , que l'on homme €ixes des abscisses et des ordon* nées. De chaque point du plan on abaisse deux perpendiculaires, Ftine sur l'axe des abscisses , et l'autre sur l'axe des Ordonnées, Les parties des axes rec« tangulaires comprises entre le point où ces axes se coupent, et les projections d'un point du plan sur ces mêmes axes , se nomment abscisses et ordonnées de ce dernier point. Les abscisses et les ordonnées se comptent respectivement sur les axes des abscises et des ordonnées. Les longueurs de l'abscisse et de l'ordonnée d'un point du plan , le sens dans lequel on doit prendre ces longueurs sur les axes, déterminent les projections du point du plan sur les axes, et par conséquent la* position de ce point. On nomme aussi coordonnées d'un point, l'abscisse et l'ordonnée de ce point , et axes des coordonnées y les droites rectangulaii'es sur lesquelles on compte les abscisses et les ordonnées. •

4* Une ligne droite située dans l'espace a, comme l'un quelconque de ses points, deux projections. Si l'on conçoit par cette droite des pbns perpendiculaires aux deux plans de projection , les droites intersections de ces plans sont les projections de la droite donnée. Généralement la projection d'une droite sur un plan quelconque est l'intersection commune de ce plan et d'un second plan mené par la droite perpendiculairement au premier. ^

En effet , une droite quelconque menée sur l'un des plans de projection ,

,4 .G^OMiTRlE BESCHIPTIVE.

peut €tre considérée ou cpmme la tracé d'un plan qui passelah par cette droite et qui itérait perpendiculaire au plan de {^ojection, ou ciunnie la projection de toutes les droites contenues dans ce plan; donc, réciproquement, une droite don* née dans l'espace a pour projection , sur l'un des {^ans de projection, Tinter* section de ce plan par un' auti^'plan qui lui serait perpendiculaire, et qui pas^ serait par la droite donnée; car cette intersection contient les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées de la droite dans l'espace sur le plan de projec* tion ; donc elle est la projection de cette droite.

5. Quel que soit le nombre des cotés d^un polygone continu ou discontinu ». situés ou non dans le même plan, les projections des côtés de ce polygone sur lés deux plans de projection forment sur ces plahs*deux autres polygones qui déterminent la forme et là position du premier.

6. Une courbe n'étant qu'une suite de points liés entre eux par une loi de continuité , sa forme et sa position , à l'égard des plans de projection, seront déterminées par les projections des points pris sur cette courbe à des distances très-rapprochées. Plus ces distances seront petites , et moins le polygone formé des petites droites qui joignent deux à deux les peints consécutifs de la courbe, différera de cette courbe. Mais les deux projections d'un polygone ( art. 5 ) en déterminent la forme et la position ; donc elles déterminent également la courbe dont ce polygone est la limite.

Si la loi de continuité qui lie les points d'une ligne courbe les assujettit à être dans un même plan, la courbe est plane; dans le cas contraire, là courbe est du genre de celles qu'on nomme courbes à double courbure.

nu POIKT ET BE L\ LICITE DROITE.

desfigures

7. On prépare la feuille de dessin, ou l'épure, de la manière^ suivante: Ayant rapproché les deux bords parallèles les plus longs, on comprime légèrement les milieux des bords opposés de la feuille ; on mène par ces milieux une droite telle que ZZ\ et on élève avec la règle et le compas, sans le secours de l'équerre, la perpendiculaire XYy de manière que la feuille de dessin soit divisée en quatre parties à peu près égales. L'angle droit formé par les deux droites ZZ\ XY se nomme, dans les arts graphiques , trait carré.

Lorsque l'épure contient plusieurs figures , on fait pour diaque figure le trait carré; plusieurs traits carrés d'une même épure peuvent avoir un côté

CiOMtiTAIB DESCRIPTIVE. 5

Gommtm et d*atttres"c6tés parallèles, ainsi qu'on le Toit PI. i'^. Soit XY, côté du traitcarré de la^« i"^*, pi. i'®, Tintersection des deux plans de projections; quoique ces deux {^ns soient perpendiculaires entre eux, il faut les concevoir réunis sur la même feuille de dessin. On suppose que Tun des deux plans , Thorizontal, par exemple, étant fixe, le plan vertical a tourné autour de la commune intersection XY comme charnière, pour s'abattre sur le plan horizontal. Il suit de cette hypothèse que les deux projections d'un point quelconque de l'espace

. sont situées sur une droite perpendiculaire à la commune intersection des deux plans de projections. En effet, ces projections sont des points du plan mené par le point de l'espace perpendiculairement à U commune intersection XY, et sont par conséquent sur les droites intersections de ce plan, et des plans de pro* jections. Mais ces droites, perpendiculaires entre elles, passent par le même point de la commune intersection des deux plans de projections, et sont aussi perpendiculaires à cette intersection; donc elles ne formeront qu'une seule et même droite, lorsque les deux plans de projections seront réunis sur la même feuille de dessin. Ainsi la droite Aa (^^g. i''% pi. i") qui joint les projections A et a d'un point de l'espace, est perpendiculaire^ à la droite XY, intersection des deux plans de projections répni^ en un seuL Quoique les deux parties AB , Ba

. de la droite ABa ne formant ^qu^'une seu^, droite qui coupe l'intersection commune XYau point B, il faut concevoir que, ces. deux parties sont les côtés d'un angle droit, dont le point B est le somiipet.;,que lun de ces côtés BA est sur le plan horizontal , et l'autre côté ^ sur le plan vertical. Ces côtés AB, aB mesurent les distances respectives du point de l'espace aux plans verticalet horizontal de projections.

* 8. Il est important de remarquer, i^ que la droite XY est Tintersection des

deux plans de projections , et n'en est pas la limite. Ces plans se prolongent

indéfiniment, et deux points placés d'une manière quelconque sur une droite

perpendiculaire à XY correspondent nécessairement à un point déterminé de

l'espace; de même deux droites quelconques AC, oc, menées sur les plans de

projections, sont nécessairement les projections dlune droite dont la position

dans l'espace est déterminée.

2^ Que tous les points et toutes les ligues situés sur l'un des plans de projections se projettent sur l'autre plan, suivant la ligne d'intersection de ces deux plans; ce qui résulte de ce que ces plans de projections sont perpendiculaires entre eux.

3^ Que lorsqu'une ligne droite ou courbe rencontre un plan de projections , * ce point et sa projection coïncident ; ou que le point d'intersection d'une ligne et d'un plan de projections appartient à la projection de la ligne sur ce plan.

6 GlÉOMlfTAlB BESGftlPTJTB.

Commencions pour VexpliccUion desjigures^ de Géométne désçripiwe.

9* Pour désigner un point dans- Teapace , nous écrii^oiis en parenthèse le» deux lettres qui correspondent à ses projections. Soient ^ par exemple , A et ir les deux projectipas d'un point de l'espace ^ ( A, a) désignera ce point. De même (B, 6) désignera im autre point de l'espace dont les points B, b sont les projections. Par analogie, on écrira (AB, oè), pour exprimer une droite de l'espace, dont les :droites ABt^Eé sont les projections* Nous emploirons aussi par .abréviations les signes algébriques H- , — , = à la place des mots puis, moins, égoUk

§ IV. SOLUTIONS DE DIVERS PHOBLÈMES RELATIFS K LA LIGNE DROITE ET AU PLAN.

Premier Problème. — Étant données les deux projections d*une droite y construire les points oh cette droite coupe les plans de projections^ ( Fig. i***, pi. i''^)

lo. Solution. Soient (PI. 1,./%*. i.) AC et ûîc les projections données de la droite. Le point pu cette droite coupe le plan vertical , a pour projection horizontale un point C qui doit être et sur la droite XY intersection des deux plans de projection , et sur la droite donnée AC; mais les deux projections d'un point de l'espace sont (art. 7) sur une droite perpendiculaire à la commune intersection XY des plans de proportion ; donc la perpendiculaire Ce à XY contiendra le point demandé. Ce point doit de plus «e trouver sur la projection verticale donnée ac; doncîl est en ç intersection des droites Ce et a c.

Prolongeant la droite donnée ac jusqu'en D , et élevant par le point D de la droite XY la perpendiculaire à cette droite Drf, qui coupe la projection horizontale AC au point d^ ce point sera l'intersection de la droite dans l'espace et du plan horizontal. Si l'on conçoit un triangle rectangle qui a pour côtés les droites dC et Ce, l'hypothénuse de ce triangle, menée par les points d et c situés l'un sur le plan horizontal, et l'autre sur le plan vertical, sera la droite de l'espace qnii coupe les plans de projections aux points detc. •

On peut encore déterminer ces points par la considération suivante.

Les projections AC , ac d'une droite D de l'espace , déterminent deux plans perpendiculaires aux plans de projections, dont chacun contieht la droite D. Le premier de ces plans a pour trace sur le plan horizontal la droite AC, et pour trace sur le plan vertical , la verticale Ce ; d'où il suit que la droite D ne peut couper le plan vertical de projections qu'en un point de la droite Ce; mais ce point est aussi sur la droite donnée ac; donc il est Tintersection des deui droites connues Ce, ac.

O^OMÉTEIE I)£SCRIt»TIVE. y

Le second plan qui contient la droite D de l'espace, à pour trace sur le plan horizontal , la droite Dd, perpendiculaire à XY intersection des deux plans de projections ; d'où il suit que la droite D ne peut couper le plan horizontal de projections qu'en un point d de la droite "Dd; mais ce point est aussi sur la droite donnée AC ; donc il est Tintersectiôn des deux droites connues D^, AC.

Deux&me Problème. — Par un point donné dans l* espace y mener y i® une droite parallèle a une droite donnée; a** trouver la grandeur d'une partie de cette droite? (Fig. a,pLI'^)

, II. Solution. Soient A'C, dd (Pi. i^^,/ig. 2.) les projections horizontale et verticale .de la droite donnée ; A et a les projections du point donné. Deux droites parallèles ont des projections parallèles ; donc si Ton mène par les points donnés A et a des droites A€, ac respectivement parallèles aux projections données A'C, dcf^ ces droites jseront les projections de la droite demandée. Con* naissant les projections AC, ac de la droite ( AC, oc) de l'espace, on trouve par le problème précédent ( art. 10), les points ceidoix cette droite coupe les plans de projectionsl

La droite comprise entre le point doimé (A, a) et un autre point quelconque (E, e) a pour projections A£ et aè. On construira la grandeur de cette partie de drmte (A£, oa), en la considérant comme le quatrième coté HI d'un trapèze AEHI , dont les côtés parallèles AI , EH sont respectivement égaux aux droites Ba, Ge^ qui mesurent les distances verticales des points (A , â), (£,^) au plan horizontal. Cette longueur* IH est aussi Fhypothénuse d'tm triangle rectangle HIK dont le côté HK est égal à AE, et le côté IK égal à la différence La des deux droites BA, G^. Menant par le point e la parallèle eh à XY, qui coupe la verticale Ba au point L, et portant de jL en M une longueur LM égale à AE ou AE', on aura un triangle réctaâglê aLM, égal au triangle HIK, dont l'hypothé* Mise aJA est la longueur de lia droite (AE^ae).

ntr PtAK.

12. Jje plan est une surface sur laquelle on peut appliquer uiie ligne droite dans tous les sens. Deux droites qui joignent trois points quelconques de ce plan suffisent pour déterminer sa position. '

Un plan <làns l'espace , et les deux plans de projection auxquels ou le rapporté, comprennent un angle trièdre, dont le sommet est sur la commune inteiv section. des deux ptsins de projections. Des trois droites qui forment cet angle, I Time est cette comtûune iitfersection ; les deux autres sont les traces du plan

8 OiOUÈrfiïE DESCRIPTIVE.

dans l'espace sur les deux plans de projections. Connaissant ces traces, la position du plan dans Tespace est déterminée.

Soit (PL i^^^fig' 3.) la commune intersection des deux plans de projections; M un point de cette droite par lequel on a mené sur les plans de projections, les droites ML et M/z , situées Tune sur le ptan horizontal , et Tautre sur le plan vertical. Ces droites sont les traces d'un plan dans l'espace. L'angle trièdre qu'elles forment avec la commune intersection XY, a son sommet au point M*

Lorsqu'un plan passe par trois points ou par deux droites données sur les plans de projections , on désigne ce plan par les lettres qui correspondent sur la figure aux points et aux droites donnés. Ainsi la notation , /^/a/i (LM, M/i) indique un plan qui a pour traces horizontales les droites LM , Mn. Celle-ci y

plqn (L, M, /?) indique un plan qui passe par les trois points L, M, h.

Troisième Problème. — Par un point donné mener un plan paral&leî à un autre plan donné y et consentir^ ses traces sur les plans de projections. (Fig. 3, pL i''^)

i3. Solution, On donne un point par ses deux projections, un plan par ^es deux traces sur les plans de projections, et il s'agit de mener par le point* donné un plan parallèle à celui d^nt on donnait les traces.

Les traces des plftns parallèles sur chaque plan de projections sont des droites parallèles ; ùv, le plan demandé qui passe par un point donné , passe aussi par des droites menées par ce point parallèlement aux traces du plan donné; donc la question proposée est ramenée à celle-ci, qu'on a résolue art ii : Mener par un point donpé , des parallèles aux traces d'un plan , données sur les pians de projections? Connaissant ces parallèles, on construira (art. lo) les points où ^UeS rencontrent les plans de projections, et ces points appartiendront auX' traces, demandées.

Soient A, ^ (/%"» 3 , /?/. i'® ) les projections du point donné ; LM, 'Mn les traces, du plan , données sur les plans de projections» La parallèle à la trace M/2, menée parle point (A , âr), a pour projections les droites ab^ AB parallèles , l'une à M/i, et l'autre à XY, intersection des deux plans de projections.

Cette parallèle coupe le plan horizontal au point B , qui détermine les traces L'EN' et MV, parallèles respectivement aux traces données LM et TAn\

On aurait pu mener par le point (A, a) une parallèle (AD, o^) à la tracé horizontale LM; cette parallèle rencontrerait le plan vertical au point e; oh tirerait par ce point la parallèle eM' à la trace Mn, qui coupeirait la commune intersection XY au point M' ; menant par ce point la parallèle MX' à la trace donnée ML, le plan demandé serait déterminé par ses deux traceis UM', MV; cette sçcoiide çonsV*uctiQn sert de vérificatio n à la première.

GlÉbMiTRIE DESCRIPTIVE. ~ g

14. lie problème qu'on vient de résoudre est un pa$ particulier de cdui^ci :

Mener par un point donné un plan paraUèle à deux droites données?

Lor3({u'on suppose que les droites données sont situées Tune sur le plan horizontal de projections, Tautre sur le plan vertical, et qu'elles se coupent en un point de la commune intersection de ces deux plans , la question se réduit à mener par un peint, un plan parallèle à un autre [4an , dont on a les traces sur les plans de^projections^ Dans le cas général , où les deux droites sont données par leurs projections, on observera qu'un plan est paraUèle à une droite, lors** qu'il passe par une parallèle à cette droite, et qu'un plan parallèle à une drcHte, coupe tous les plans qu'on peut mener par cette droite ^ suivant des droites parallèles entre elles, et parallèles à la droite donnée^

Ainsi, par le point donné, on mènera (art* 11) des parallèles au;i dejux droites^ données , et le plan de ces deux parallèles sera le plan demandé,»

Lorsque le point donné est sur l'une des deux droites, et qu'on mène par ce point une parallèle à l'autre droite , le juan mené par cette parallèle et par la première droite est encore parallèle aux deux droites.

Quatrième ProhXème. — Coristrùire sur les plans de projections les traces^ un plan qjai passe par trois points donnés dans t espace? (Pi. i, fig. 4-)

i5. Solution. On jokït lés trois poîbts ^dbniiés ^r trois droites, et les points de rencontre de Ces droites avè'cie^^àiis de projections déterminent les traces demandées. '* * *

Soient (PL ï'^ ^. 4) ^A,'a), (B, *),^ (C, c) les trois points donnés; on joint ces points par trois droites ( AB , ab)j (BC, fe), (AC, oc), qui coupent le plan horixontal en'troi^'poiirts 'D;'1?, E,'^t le plan vertical en trois autres points d^/yc; les droites DFE^t dje prolongées ,' qui se coupent en un point M de la commune intersection XY des deux plans de projections, sont les traces du plan mené par les trois pointé donnés.

Cinquième ProMème. -^ Deux plans étant donnés par leurs traces ^ur les plans de projections , trouver lesprojeetions de leur ligne d^intersection? ( Pi. 2, fig. i . )

16. Soàaiàn. Lés traces de«deiix plans sur cbacun des plans de projections, se coupent en deux points, qui déterminait la droite intersection des deux premiers (dans. ■

Soient i^ (PL .%,. Hg. i) LM» M/^^ les traces sur les plans de projections

10 oiOUàTKW BEftClIFTlirB*^

d'un plan donné (L^ M, n)i a^ JJOf On les traces d'un sMbnd plan aussi donné (L, O, n) ; ces traces se coupent sur le plan horizontal au point L^ et aor le plan vertical au point n; la droite qui joint ces deux points est l'intersection des deux plans donnés. Mais le point n a pour projection horiaontale le point N de la droite XY, intersection des deux plans de projections; le point L a pour projection verticale le point / de la même droite : donc L9 , In sont les deux projections de l'intersection des deux plans donnés.

Sixième Problème. — Une droite et un plan étant donnés y trower les projections du

point oh la droite rencontre le plan? (PI. a, fig. a et 3. )

1 7. La solution la plus générale de ce problème consiste à mener par la droite donnée un plan qudconque, qui coupe le plan donné suivant une droite ; Tinterr section de cette droite et de la droite donnée, est le point demandé. Le^planmené par la droite n^étant pas déterminé , on peut le supposer perpendiculaire & Tun ou l'autre des plans de projections ; la^. ix^pt. a, est construite dans cette hypothèse.

Exptkathn de lajig. a y pi. a. Soient LM, M/z les traces d'un plan donné , qui se coupent au point M de la commune intersection XT des deux plans de projection. OL et sp étant les projections d'une droite donnée , on conçoit par ces. droites deux plans , Fun LO/i perpendiculaire au plan horizontal qui coupe le plan vertical suivant une droite Oi perpendiculaire à XY; Tautre ps'& qui coupe le plan horizontal suivant & perpendiculaire à XY : or ces plans, et le plan donné (LM, Vbi)y se CQupent suivant deux droites qui passent Tune.par le point L du plan horizontal et par le point n du plan vertical, l'autre par le point S du plan horizontal et par le point p du plan vertical ; donc ees d^iCes ont pour projections (art 16) la première, OL, n/; la seconde,/?^, PS,

Mais lorsque deux droites se coupent dans l'espace , leur point d'intersection, a pour projections les points de rencontre- des projections des droites ; doiic chacune des deux droites (0L,«/) (PS,^j) coupe la droite donnée (OL,/?^) en un point (I, /), qui est aussi l'intersection de cette droite et du plan donné. Les deux points I, iy projections d'un même point de l'espace, sont situés sur une droite 1/ perpendiculaire à la commune intersection XY.

La sohition suivante est plus générak.

18.: EapUcathn de lajig.. 3^ pi a. Soient XY l'iaterseclîmi des plans dk pvojections, et LS(,Ma les traces du plan donné; la dccôlè donnée (OL;^)G0Qpe les plans de projections (art. 10) aux points H, et K; d'où il suik (fw towt plan mené par cette droite, coupem les plans de prejectiaie avivant dinut dwrites

aàouiTmtM DtscEtrriTs. te

qui f^mttMmtpat Lot manet powis H et L Métiant par le poînl H uim qndcoaque BUT, qm ooape U^roite XY au poîat T, et par lea pointe T et K la draiie %Xnj le pbn <paÀ a pour tracea Ua droites ET, Tu coupera le ptaa d<moé (liy M5 n) («rt« 16), eumnt la droite (RN, m); or <)ette droite coupe la droite donnée {Oh^ ps) au point (I9 <); donc ce point est Tintersection du piaa et de la droite donnés.

On aurait pu aieiier par ie point IL une droite quelconque K.T^, ipii aurait déterminé la seconde trace THR d'un plan RT/i qui passerait parja^mte donnée , et couperait le plan donné suivant la droite (RN , m).

Pmpo^ùkms rdmtms mtx plmtts e€ mus drokês ^ se xw

19* O^e droite perpondicutaire 4 vn plan es« perpendieulake à toutes les droites qiVon peut mener par son pied dans oe {i^an*

Un plas perpett^uiafiM à une droite est ^et|)«adioulaire à Hma les plans qui passent par cette droite. OevK platis aoot perpeiidieul»res entre eut , lorsque Tun d'eus pasae par une droite perpendiculaire k Tautre.

Onsidéimt la droite intersection de demc plans perp^diculaires «ntre ieux, Tun de <3es plans «sit perpendiculaire aux parallèles menées dans Fautre plan, perpendiculairement à leur intersection coBunune,

P'où 41 5uit qif^^m plan perpen£culaire à deux autres plans inclinés Pun à régardde t'uuM , eft^tiécessairement penpendiculaire i deux systèmes de droites menées sur ces derniers plans ; tre qui n'est possible que parce que les droites dea deux systèmes oont paraMèles entre elles , et parallèles à Pintersection des deux plans.

VwB^ coBpris-entre deux plans inclinés i'un à l'égard dei'autre, se nomme angle dièdre. Il est égal à l'angle de deux droites menées dans ces plans perpendioulasremeiït à leur intersection commune, etpar ^un point quelconque de celte *iittersectien.

âro.'Dneiâroite étant perpendiculaire à un plan, on suppose i^ que la droite est jproyetée«ir deux plans rectangdlaires; 2^ que le plan perpendiculaire à la ^drofte -est donné -par 'Ses traces sur les plans de projections; dans cette hypothèse, les projeôHenSiâe la droite ^oni perpendiculaires aux traces du plan.

Pour le démontrer, considérons d'abord le cas particulier où la droite est donnée sur l'un des plans de projection; par exemple, sur le plan horizontal*

Il est évident qu'un plan perpendiculaire à cette droite sera vertical , et que sa trace sur le plan horizontal coupera à angle droit la droite donnée , qui ne difiere pas de sa projection horizontale.

J3 GlÉOHiTBIB DBSCBIPTIVB.

La trace du plan perpendiculaire à la droite sur le. plan vertical de projec* .tions sera une verticale; la projection verticale de la drbite sera une horizontale parallèle à l'intersection des deux plans de projections; donc la trace sur le plan vertical et la projection verticale de la droite seront perpendiculaires entre elleSé

Passons maintenant au cas général , celui où la droite est donnée par ses deux projections, et le plan perpendiculaire à la droite pur ses deux traces sur . les plans de projections.

ai. Soit D une droite de Fespace, qui a pour projections horizontale et verticale les droites d et d. Nommons / et / les traces horizontale et verticale d'un plan P perpendiculaire à la droite D. Il s'agit de démontrer que les couples de droites (^/^ O^i^f 0 forment deux angles droits, le premier sur le plan horizontal de projections , et le second sur le plan vwticaL

Soit F le plan par lequel on projette la droite D sur le plan horizontal. Puisqu'il est perpendiculaire au plan horizontal et au plan P, il est aussi perpendiculaire àteur intersection commune t (art. 19). Réciproquement, cette droite l est perpendiculaire au plan F et à toutes les droites du plan F qui passent par son pied sur ce plan. Mais l'Une de ces drcHtes est rhorizontale d; donc les droites ^ et ^ sont perpendiculaires entre elles*

De méme^ soit F' le plan par lequel on projette en ^ la droite D sur le plan vertical de ^projections. Puisqu'il est perpendiculaire k ce plati vertical et au plan P , il est aussi perpendiculaire à leur intersection commune if. Réciproquement, la droite / est perpendiculaire au plan F' et à toutes les droites du plan F' qui passent par son pied sur ce plan. Mais l'une de ^es droites est la projection verticale d de la droite D ; donc les droites ^ et / sont perpendiculaires entre elles.

La proposition réciproque est encore vraie, c'est-à-dire que si les deux projections ^ et if de la droite D sont perpendiculaires aux traces / et / d'un plan P, ce plan est perpendiculaire à la droite. En effet, concevons par chaque projection de la droite D un plan perpendiculaire au plan sur lequel elle est projetée , on aura deux plans dont la droite D est l'intersection commune. Mais chacun de ces plans est perpendiculaire au plan P donné par ses traces ; donc leur commune interjection est aussi perpendiculaire à ce plan P.

GiOVÉXHIB DESCRIPTIVE; l3

Septième Problème. — Par un point donné mener une perpendiculaire à un plan donné, et construire les projections du point de rencontre de la droite et du plan ? (PL3,fig-i.)

22. Solution. Soient LM, Mn (pL 3,,/%*. i'®) les deux traces du plan donné, qui se coupent au point M de l'intersection XY des deux plans de projections. Le point donné ayant pour projections A et a, on abaissera les perpendiculaires AI 9 ai sur les traces ML, M/z; ces perpendiculaires seront (art. no) les deux projections de la perpendiculaire demandée.

On trouvera le pied (I, /) de la perpendiculaire, c'est-à-dire le point 6Ù la perpendiculaire au plan rencontre ce plan , par la construction (art 1 7) du sixième problème ^/%. a,/?/, a). La longueur de la perpendiculaire comprise entre son pied (I , /) et le point donné ( A , ^ ) , est déterminée (art. 1 1 ) par ses deux pro» jectiôns AI, ai.

Si Ton proposait de mener par une droite donnée un plan perpendiculaire à un autre plan donné de position, on abaisserait par un point quelconque de la droite une perpendjiculaire sur le plan donné ; le plan conduit ( art. 1 5 ) par cette perpendiculaire, et par la droite donnée serait le plan demandé; car deux plans sont perpendiculaires entre eux, lorsque Tim d'eux passe par une perpendiculaire à l'autre (art, 19).

Huit&me Problème. — Par un point donné mener une droite perpendiculaire à une droite donnée, et construire la projection du point de rencontre des deux droites? (R3,fig.x)

a3. Solution. On mène par le point donné>un plan perpendiculaire à la droite .donnée, qui coupe cette droite en un point; la droite qui joint ce point d'tn«

tersection, et le point donné, est la perpendiculaire demandée.

Explication de lajîg. a , pi. 3. Soient A et a les deux pi^ojections du point donné ; BC , ^ les deux projections de la droite donnée. Un plan perpendiculaire à cette droite aura ( art. ao) pour traces sur les plans de projections deux droites, telles que L'M', MV, perpendiculaires aux projections BC» ^ de la droite donnée. Menant ( art i3) par le point ( A, a) un plan pfirallèle au plan \IWri^ il aura pour traces sur les pkns de projections les droites LM et M/t, et il . rencontrera la droite ( BC , ^ ) au point ( 1 9 /) 9 que Ton trouvera par la construo* tien (art. 17) du sixième problème,^* ^^pl* ^* Tirant les droites AI, cU, on aura les projections de la perjiendiculaire sd>aissée du point donné ( A , a ) sur la droite donnée (BC, bc).

t4 aiùMirAîZ j)BSCâtPTiVE.

Cette solution comprend celle du problème suivant : Par un point donné mener un plan perpendiculaire a une mitre lès projections du point de rencontre Ai plan etde bz

a4. On pourrait encore résoudre la question précédente ( 8^) , en menant par le point et pa^ la droite donnée un plan ; les traces horizontale etrerticaie de ce plan smientdé^rminées. On le ferafittoumer autour de Funede cestraces , par exemple , autour dé lliortzontâle , et on ramènerait sur le plan liortmntal le point et la \)tôlte dototié^. Oa abaisserait du point une perpendicnlaiK sur ia droite, comme si Iç point et la droite étaient situés sur le plan horizontal ; enfin on déterminerai! tes projections horizontale et verticale du pied de la perpendiculaire , en considérant le point et là di*oite comme situés sur tm plan donné par ses traces*

Ces diverses ôonstmctions donneront mie seconde solution graphique du prôblèjiïe pïbposé; le lecteur attendra, pour efÇpctuer les opérations indiquées, qu'on ait expliqué les articles a8 — 3a.

Neuvième PnéHaée. -•-*- Unpkm étant donné par ses traces^ ircw^er tes mngtes qu*il

forme <wec tes pians de projections ? (PI. 3^ fig« 3«)

a S. Solution. L'angle de deux jplans est égal à Tangle de deux droites menées dans ces plans par un^ point de leur intersection commune, perpendiculairement à cette intersection (art 19). Dans le cas proposé, l'une de ces droites awa menée stir k plan ^e proJectioBS, ^perpendiculairement à la tmce ctoftiwte ^aur ce plan. Le plan mené par cette droite perpendicidaireHiecit an |^an 4e |irojections coupera le second plan de projections et le plan donné , suivant deux autres droites qui formeront avec la première un triangle rectangle. Construi- 'sam ce 4i«iafigle au moyen ites deux cotés ak^cens à l'angle droit, rhjrpo'thÉénuse fera, avec le oâté situé mr le premier fdan ide pMjeeikms, l'angle «denuaidé.

26. Explication de lajig. 3, pL 3. Soient AB et Bc les traces d'un plan donné ^ist les plans de projeciifons. Par uto ptoilit D de la tcace honaontale iA, Mi 41ève •ht |>eiipeiidiculaicre DE, qoe l'<Mi regande comme h trace d^un ipkin {^^ertied^qui coupe le plan tertieal de projectiims smv«tit ht ârdite :^, ^pei^enâi^idswe à IHoierseaioii KY des plans de projections : «nr cette dl^oitfe conpe ^la trace ^e»- ^icale Q^ en/; donc te '{Aan vertical DE coupe le plan 4onnë «livant i!iigrpo- ^fhénuse ffun trtettfgte >redttagle ifoi a poer dotés les droites DE, E/C Rametiailt EI> en Eiy, PhyfMhëfi«se Û/^triaftgte t«at^^ Eiy^fefa, avtec le <i6lé fiDT, *tfn tfttglé 'ËS^/^égalé ï'àfigte^a phin 4i<»izomil di du fdm ^iinéiisar M« tnet^ AB, Bc.

On construira de la même manière l'angle du plan ^rtical A'dtt^filsm'diMiAé.

Par un point g de la trace Bc, on ékfve la perpendiculaire ^A à cette trace, et on la conndèffe c<>mme la trace verticale d'un plan peipendiculaire au plan Tcrtical de prcjectiona. La trace hoviaontide de «e plan aéra la droite A& per* p^ndicirtaîffe k XY; celte droite coupe la trace horiionlale AB au point Kj d'où il suit que le plan gKL rencontre le plan donné suivant rbypt^énuse d'on triangle rectangle ^ a pour co&és les droîlta^A^ ML Ramenant hg en hg^ on aura le triangle gUL^ dans lequel l'angle g est égal à l'ange du plan vertical de pro]eciioB6 et du |dbn donné ABc.

En élevant les deux perpendiculaîresa 'S/^j hK aux droites ED^ gh, et les faisant égales respectivement à "EffAhKf on obtiendrait deux triangles rectan^^ Eiy^, ghK respectivement égaux aux triangles EDyÇ g^AK , dont les angles D et ^mesurent tes inclinaisons du plan donné (AB» Bc) par r^^^KUrt aux plans boriaontal et vertical de {Mn^ections.

Dixâme Prab&me. — DeuxdroUes qwi se coupent étant dcmiéts y toMtnidreVangU,

qu^eiles /arment entre etict. (PL4rfig- l et a.)

17. Saliitkm. Oa mène par les deux droites données un plan qui coope l'un des pbstecle projections^ rhorisontal, par exemple, suivant une droite» Cette droite et les deux droites données forment un triangle » que ïoot construit ea Êûsant tourner le plan de ce triangle autour de sa trace sur te plan horisontal , jusqu'à ce qu'il soit abattu sur ce plan. Le.|KMnt d'intersection des deux (feoites données dédît , en tournant autour de la même trace » un cercle qui coupe le plan horizontal en un point; joignant: par des droites ce point et ceux où ks deux droites données rencontrent le plan horizontal , on a l'angle de ces deux droises.

!i8« Espticaàoudeêjlg. i et %^fi. 4- La figure x"^^ feit voir conmient on déternÙDe la positîim. d'un point d^'un plfcn# ps9 rcippwt aux traces de ce plan sur lesphnsde parofections*

Soient LM et Mn les traces d'un plan cpii se coi^Hint au poinf Itf de Tinter* sectmi dés demc pbais de pMJections. Un pot|»|t^u plap étant doi^pué en |Hrû|ectioniKnrnmtale^ sest k<Mm pec^ctînn} oa trouvelBa la projection verticale en menant \k pnrallèk AF à la traoe kotîwb&le ^M'y considérant cet^e parallèle comme la pMjectkm «l'une Inin^Qittale da pton LALi, eQe coupe Le plan vertical an point >*da la tmoe Un; dk ji {loiir pi^ec^iqn verticale la yar^ ll^eyEr à XY. Le poiii fU pbn IMj^t dont A «M; la ppoîectjion hoviaontaler a pour projection vttticafe le point de reneontre! a des deui^ droites ka ^fuy Fune perpendiculaire » el Fantare pneattèle à l^itarsettion XY des dsux plans de projections*

l6 G^OMÉTaiE BESCRIPTIVC

Si Ton eût donné la projection verticale du point ( A , a) du plan LM/i , on aurait construit la projection horizontale A, 9 en menant les quatre droites ^/F, FA et ûJÀ; les deux dernières ée doupent ail peint A. On obtiendrait encore cepoirit A , en menant là parallèle ^eî>^ à M/z^^ etiso ëtevant la perpeniïîculaire *K à XY, qui coppe là trace ML au point K; la parallèle KA 4 XYy et la droite rfA , qui est perpendiculaire à cette intersection des deux plan^ de projections, se rencontrent au point A. Si Ton donnait le point À, on mènerait lés quatre droites >^if, Kk^ ka^ ka; les deux dernières se couperaient au point a; d'oà Fon àfoit qu'un plan étant donné par ses traces , Ttine des deux pîx)jections d*un point de ce plan détewnihe Fautre projection.

^9* Le point d*un plan étant connu par ses projections , on demande les dU^ tances de ce point aux traces du plan ? Soit (A, a) le point du plan IMn [pL 4 » Jîg. 1 ). Ayant abaissé du point A la perpendiculaire AL sur ML , on regarde cette droite AL comme la trace d'un plan vertical qui coupe le plan LMjh suivaint une droite. La portion de- cette droite, comprise entre le point (A, a) et la trace LM , mesure la distance de ce point à la trace ; donc si Ton construit le triangle rectangle «DQ', qiii a pour cotés lès droites où et DO'=: AO = AL, l'hypothéhùse â(y sera ia longueur de la perpendiculaire abaissée' du point (A, à) sui* la trace LM. Portant cette longueur aO de L en A' sur lé prolongement de AL, A' sera le point où le cercle décrit par le point (A, a) autour de la trace hori^ zontale LM coupe le plgn horizontal.

3o^ Ayant mené la parallèle kJL à XY, qui coupe la trace LM au point K , et joignant les poiiits K et A' par la droite 4'K<9 on aura uu triangle rectangle A'LR, dans lequel Fliypothénuse A^K est éga^e^à la droite ak parallèle à la trace M/;, fin effet, la droite (AK, ak)^ parallèle à la trace verticale M^ du plan LM^^ et située dans ce plan , a pour longueur sa projection verticale ak; en même temps que le point (A, a) décrit un cercle autour de la trace LM9 1^ droite (AK, ak) décrit un cÀne droit dont le cercle est la hdst ; et lorsque le point {k^a) est en A' sur le plan horizontal, cette droite s*applique sur le^méioae plan enKA'^ et comme sa longueur est constante , on a KA'=iii»

Supposons maintenant que le plan LM/^ tourne autour de sa trace M/l comme charnière, le point {k^a) décrira un cercle dont le plan coupe le plan vertical suivant la droite ank!', perpendiculaire à M/i. On construira le point A" où ce cercle coupe le plan vertical, en décrivant du pointy comme centre » avec un T^yon/k' égal à FA , un arc qui coupe la droite /lA" au point A". En effet , lorsque Je plan UAn tourne autour d^e sa trace verticale Mfi comme chankière, la droite horizontale {kF^ a/) de ce plan, parallèle à sa trace horizontale LM^ décrit un cône droit qui a pour. base le cercle que le pdint (A, a) décrit autour

GKOM^TRIC BESCEIPTXriE. Î7

fJe M/2 ; donc le plan (iJlf/s) , qu'on suppose abattu sur le plaii vertical , coupé le cône suivant une aréte^à'', qui est de même longueur que la droite FAi projection horizontale de lliorizontale (FA,^); d'où il suit que nk" est la distance du point ( A , a) à la trace Mn du plan LM/ï. Cette distance est encore Fhypoth*nuse d'un triangle rectangle en n qui aurait pour premier côté an , et pour second côté une droite égale à AD. Portant AD dé n en D" , on a aD=A''/i.

3i • Le point A' ou A" du plan(LM,M/ï) étant donné sur les droites AA, M'a^ respectivement perpendiculaires aux traces LM, Mn^ on pourrait proposer de construire les projections horizontales et verticales A, a de ce point; cette qiiestion est Tinverse de la précédente. Un plan quelconque (PQR), vertical et perpendiculaire à la trace horizontale LM , contient l'angle que le plan ( LM/i ) fait avec le plan horizontal.On construit cet angle en décrivant (art. a 5) du point Q comme centre avec le rayon QP, l'arc PF qui coupe l'intersection XY des plans de projection au point F. Ce point et celui R où les traces verticales QR, Mn se rencontrent y déterminent la droite RF, hypothénuse du triangle rectangle RP'Q, dont l'angle F, opposé au côté RQ, est égal à l'angle du plan horizontal de projection et du plan donné (LM, M/2). Le plan vertical AA' qui passe par le point A' étant perpendiculaire à la. trace horizontale LM, et par conséquent parallèle au pi an vertical PQ, il contient aussi l'angle du plan horizontal de projection et du plan donné (LM/i); d'où il suit que la droite AX de ce plan est située sur une. droite inclinée à l'horizon de l'angle connu QPH y et que sa projection a pour longueur le côté VU du triangle rectangle FL'a', dontl'hypothénuse P'a' est égale à ladistanceAXidupointdonné A' à la trace horizontale LM. Portant le côté FL' de L en A sur la perpendiculaire A A' à LM , ce point A est la projection horizon^ taie du point uH donné sur le plan (LM/z) qu'on spppose abattu sur le plan horizontal. De cette projection A , on déduirait la seconde a en menant comme précédemment les droites ÈSS^fa^ et la perpendiculaire Aa à XY.

23.Lestrace8LM, M/2 du plan donûé (LM/2)font entre elles un angle TMF, que l'on construit en faisant tourner un point quelconquey^de la trace verticale Mn autour de la trace horizontale LM comme charnière. Ce point/*, abattu sur le plan horizontal, se trouve sur la perpendiculaire FF à la charnière LM, à une dbtance TF de cette charnière , égale à l'bypothénuse dU triangle rectangle l^fii dans lequel le côté F^ est égal à la droite FT.

Menant 9 par un point donné A du plan ( LMn ), une droite quelconque YS, qui coupe les traces de ce plan aux points Y et S , on aura les projections horizontale et verticale, de cette droite, ou les droites Y/ et Y'j, en remarquant que le point Y est sur le plan horizontal de projection , et le point S sur la trace verticale Mn en un point s tel qu'on a M.f ;^MSt "*

i8 ciouixain desc&iptite.

La perpendiculaire A'A à la trace horizontale LM contient la projection hori-> 2ontale du point donné Â'; cette projection étant aussi sur la droite Y/, elle est détermitiéd par l'intersection de ces deux droites A'A, yy« La seconde projec^ tion a du point doimé A est Tintersection de la droite Y s etde la perpendiculaire ADa sur la droite XT.

Les constructions précédentes relatiines à un plan, k un point et une droite contenus dans ce plan^ servent dé préliminaires à la seconde solution du huitième problème, qu'on a seulement indiquée page i4 (art 214)9 et à Texplibation suivante des^. 1 , 5 et 4« ( P^» 4- )

33. Explication de la figure a , pL 4» relative à la solution du dixième pro» blême (art, 17).

Soient AB, AC les projections horizontales des deux droites données, et abj ac leurs projections verticales. La droite (AB, ab) prolongée rencontre les plans de projection aux points hetn; l'autre droite donnée coupe le plan horizontal au point C ; d'où il suit que le plan mené par les deux droites coupe le plan horizontal suivant BCM, leplan vertical èuivantM/i, et que l'angle des deux droites a pour sommet le point (A, a) de ce plan. Faisant tourner ce sommet autour de la trace horizontale BCM comme charnière, il décrit un cercle qui coupe le plan horizontal (art. 29) en un point A' de la perpendiculaire ATA', abaissée du point A sur la trace BC. Pour déterminer le point A', on construit le triangle rectangle dùl avec le côté D/ égal à AL ou AL'; portant l'hypothénuse oldeL en A', et joignant par des droites le point A' et les points B et C, on a le triangle BA'C dans lequel l'angle A' est égal à l'angle des deux droites données.

Onzième Problème. — Deux plans étant donnés^ construire Vangle qu'ils forment

entre eux. (PL 4 9 ^g- 3*)

34- Solution. On coupe les deux plans donnés par iin troisième plan perpendiculaire À l'intersection commune des deux premiers* Les traces de ce troisième ^lan stu* le plan horizontal et sur les deux plans donnés , forment un triangle éoXïl le cèté horizontal est opposé à l'angle demandé.

Soient (/%. 3,/?/. 4) LM , LO les traces horizontales et M/a, 0«les traces verticales des deux plans donnés; ces plans se coupent (art 16) suivant la droite ( LN , i>i). Menant à volonté une droite ADB perpendicùlaire à la projection LN de l'intersection des deux plans donnés, cette droite peut être considérée comme la tracé horizontale d'un plan perpendiculaire k l'intersection (LN, In)* Si l'on connaissait le point où ce plan coupe la droite (LN , ^ ) , on joindrait par deux droites ce point et les points A , B , dans lesquels la trace ADB rencontre les

CiOHilKlZ DSSÇEIPTIYJS. I^

traces Ilf y LO; Tangle de Cfis deux droites âwait l'angle demandé. Pour trouver }e sommet de cet angle, on eonç^ît par la droite LN un plan vertical LSn , et dans ce plan, l'angle nXST que la droite (JJX ^In) fiadt avec sa projection hori* zontale LN. On construit cet angle , en élevant la perpendiculaire 'Sn' à NL, et en £adsant cette perpendiculaire égale. à la verticale N^. Maintenant, si du point D on abaisse la perpOMliculaire DE sur l'hypotbénuse Ln' du triangle rectangleLN^^ le point Esora sur le plan vertical LN, le sommet de Fa^gle demandée

Le plan de cet angle est déterminé parles deux droites AB , DE , situées Tune sur le plan horizontal de projection , et fautre sur le plan wtical UX* Faisant tourner le plan de l'angle autour de sa trace liorisontaJe AB, la circonférence du rayon DE, décrit par le point E de ce plan, coupe leplan horiscontal, en un point F de la droite USS^ tx\ que la partie DF de cette droite soit égale à DE. Menant les droites FÀ, FB, l'angle AFB de ces droites est la memre de Tsaigle des deux plans donnés LM/i, IX)/l

• Au lieu d'élever la jperpèndiculaire Ka' à LN^ on décrit du point Iff comme centre, avec les droites HL, ND pour rayons, les arcs LL', DD qui coupent l'intersection XY des plans de projections aux points U, D ; tirant la droite ni! y et la perpendiculaire D'E' à cette droite, on forme un triangle DEX', égal au trûmi^e TXEL : les cdtés DE, DE' de ces triangles sont égaux; d'où il suit qu'on aura le point F sommet de Tangle demandé AFB , en lisii^ant DF égal à DE'l

On pourrait encore construire l'angle de deux plans donnés , en imaginant , par un point ^elconque de l'espace , deux droites respectivement perpendicu* ladres à ces plans ; l'angle de ces deux droites serait le supplément ou l'égal de l'angle demandé* En effet, le plan n^ené par les deux perpendiculaires coupe les plans donnés suivant deux autres droites : or ces quatre droites forment un quadri* latère qui a deux angles droits ; donc les deux autres angles sont égaux ou supplémens l'un de l'autre; d'où il suit que l'angle des deux perpendiculaires abaissées d*un point qudconque de l'espace sur deux plans donnés , mesure l'inclinaison de ces plans.

Douzième Problème. — Cônslndre P angle formé par une droite et par un plan ,

. donnés déposition dans Vespace? (PL 4» %• 40

35. Solution. Par un point de la droite donnée , on abaisse une perpendiculaire sur le plan donné ; l'angle de la droite et de la perpendiculaire est le complément de l'angle demandé.

ExpUcadqn de lajîg. t^^pU 4* Soient AB , o^ les projections de la droite donnée ; LM> M/i les traces du plan donnié. Par un point (À, a) de la droite donnée, on

ao GJÉOMliTaiE DESCEIPTIVC

abaisse une perpendiculaire (AC,^kr) sur le plan donné; l'angle des deux droites ^AByai),(ACf âsc) est le complément dé Fangle demandé. Pour construire cetangle, on conçoit par ses deux côtés un plan; la trace de ce plan sur le plan horizontal dçprojections^ passe par les points B, C,dans lesqueb les droites (AB,a6), (AC, ôc) coupent le même plan de projections. Faisant tourner le plan de l'angle autour de sa trace horizontale BG comme charnière , le sommet de l'angle décrit un cercle situé dansle plan vertical AD , perpendiculaire à BC. Lerayon de ce cerde est l'hjrpothénuse d'un triangle rectangle , qui a pour côtés l'horizontale AD et la verticale oui , qui mesure la distance du sommet ( A , a) de l'angle au plan hori* zontal de projections. Soit donc a'E'=^AE= AD, on aura le triangle rectangle oEW, dont l'hypothénuse àE est la distance du sommet de l'angle cherché à la trace BCD. Portant cette distance sur la perpendiculaire AD à BC , de D en A', et tirant les droites A'C, A'B , ou aura sur le plan horizontal l'angle BA'C , que la, droite donnée (ABjob) et la perpendiculaire (AC, ac) au plan donné, comprennent entre elles. Élevant la perpendiculaire CP à CA', l'angle CPA', complément de CAT, est égal à l'angle fonné par la droite et par le plan donnés de position dans r«space.

Treiz&me Problème. — Deux droites étant données dans V espace^ construire la

droite qui leur est perpendiculaire^ et sur laquelle se mesure leur plus courte

distance? (PL 5, fig. i ) (i).

36. Ayant mené (art. i3) un plan parallèle aux deux droites données, on conçoit par ces droites deux autres plans perpendiculaires au premier (art. aa); l'intersection de ces deux derniers plans est une droite perpendiculaire aux deux droites données ; elle coupe ces droites en deux points , et la droite qui joint ces points est la plus courte distance des droites données.

(i) Ce problème est un cas particulier de celui* ci : Étant données deux droites, et les angles ^*elles forment avec une troisième droite qui les coupe, déterminer la direction et la position de cette troisième droite?

Pour le résoudre, on mène par un point quelconque de l'espace deux droites respectiTcment paraDèles aux deux dr^oites données, et on regarde ce point comme le sommet commun à deux cônes droits , dont les côtés font avec les droites données des angles égaux aux angles donnés. La droite demandée est parallèle k Tune ou l'autre des deux droites suivant lesquelles les cônes se coupent; sa direction est donc connue. Pour trouver sa position sur les droites données, on mène par chacune de ces droites un plan parallèle à la droite dont on a déterminé la direction; les deux plans paraUèles à cette droite se coupent , et la droite d'intersection satis&it aux conditions du proUème proposé.

GiOMiXRIE DESCRIPTIVE. H

ExpUcadon de lafig. i^^ pL 5. Soient AB , CD les projections horizontales des deux ^droites données; ab^ cd leurs projections verticales. Par le point (B, d) où la première droite (AB, o^) coupe le plan vertical, on mène une parallèle ( BE , ^ ) à la seconde droite donnée ( CD ^cd)\ cette parallèle rencontre le plan horizontal au point E; la droite donnée (AB, ^) le rencontre au point A; la droite AEF, qui joint les points A et £ , est la trace horizontale d'un plan mené par la première droite donnée , parallèlement à la seconde. La trace verticale de ce plan est Yb; le point F de cette trace est sur la commune intersection XY des plans de projections, et sur le prolongement de la droite AE. Le plan (AF^) étant déterminé par ses deux traces AF, F^, on projette la seconde droite donnée sur ce plan, et on remarque que la droite et sa projection sont parallèles, parce que le plan ( AF^) sur lequel on projette , est , par hypothèse , parallèle à la droite projetée ( art. 1 4-)

Par le point G , où la seconde droite donnée (DC , de) rencontre le plan horizontal, on abaisse la perpendiculaire (CG, ck) sur le plan (AF3), et on cons-> trait (art 17) le point (I, i) où cette perpendiculaire rencontre le plan. Menant par ce point la parallèle (IN, Ârz) à la droite (CD, cd)j cette parallèle est la projection de la droite (CD, cd) sur le plan (AF3).

Deux droites situées sur le même plan se rencontrent : or, les droites ( AB, ah) et (IN, in) sont sur le même plan ( AF3) ; donc elles se coupent au point (N, n) déterminé par les intersections de leurs projections horizontales et verticales. Ce point étant trouvé, le problème est résolu.: en effet, un plan mené par la seconde droite, perpendiculairement au plan ( AF^) qui est parallèle aux deux droites données , coupe la première droite au point connu ( N , ;z ) ; d'où il suit que la perpendiculaire au plan ('AF3), élevée par ce point, est perpendiculaire aux deux droites données. Mais cette perpendiculaire a pour projections horizontale et verticale les droites NQ , nr respectivement perpendiculaires aux traces AF, F^ du plan (AF3); donc la portion (NP,/!/:?) de cette perpendiculaire, comprise entre les deux droites données, est la plus courte distance de ces deux droites. Cette construction détermine la direction et la grandeur absolue de la plus courte distance des deux droites ; si Ton ne demandait que la gra ndeur absolue , la construction deviendrait beaucoup plus simple. En e£fet, après avoir déterminé les traces AEF, F^ du plan (AF^) mené par la première droite donnée parallèlement à la seconde, on aurait pu mener par le point (C,c) de la seconde droite un plan vertical CG, perpendiculaire à la trace horizontale AEF du plan AF3. Ce plan vertical coupe le plan AF3, suivant unç droite (GH, gh) qui a pour longueur Thypothénuse d'un triangle rectangle GHA', dont le côté HA' est égal à HA. Abaissant du point C la perpendiculaire CI' sur Thypothénuse GA', cette hypothénuse est la longueur de la plus courte distance des deux droites.

22 GÉOUàrKJE DESCRIPTIVE.

37. Ajoutons k ce qui précède la construction suivante : Menons la perpendiculaire Il sur GCH , et la perpendiculaire 1/ sur Tintersection XY des. plans de projections ; cette droite 1/ coupe la droite gh au point i, ce qui détermine les deux projections du point (1, 1) par lequel on mène la parallèle (nTyin) à la seconde droite donnée (C3), cd). Cette parallèle rencontre la première droite donnée au point (K, n), qui détermine la perpendiculaire (NP, ap) aux deux droites données. Cette seconde construction du point (N, n) sert de véri« fication à la précédente, et paraît préférable, parce qu'elle donne directement la plus courte distance des deux droites (i)«

(x)Honge t GOBsidéré (voy. ta Géoméirie descriptive^ édit i8ii,p.43)]eplaii(AFi^) (/%.!, ^.5) mené par la première des deux droites données parallèlement à la seconde , comme le plan tan* gent d'an cylindre droit qui a pour axe la seconde droite donnée , et cpï ûût arec le plan horizontal l'angle CGA'. La perpendiculaire QV, abaissée da point C de la. seconde droite sur le c6té Gh' du triangle HG^V ^^ P^ pour le rayon de la base circulaire du cylindre droit. Le pied F de la perpendiculaire au plan tangent , appartient à la droite de contact de ce plan et du cylindre; mais cette droite de contact est parallèle à Taxe du cylindre : elle a donc pour projections 1^ droites IN y ûi respectiTement parallèles aux projections données CD, od.

Cette solution de Monge s'achère comme eeile que nous arons donnée ; quoicp&'Uk} se déduise de considérations étrangères à la ligne droite et au plaUf nous invitons nos lecteurs à IN aprèi aYoir la l'article relatif an plan tangent d'un cylindre^ dont il sera question ci-après.

GEOMBTAIE DBSCaiPTlVÇ. a3