CHAPITRE IL

5 P'. lOA TAVGEHTSS AUX COVBBES, ET DES VLXJXS TJUfGESS AUX SUHFACIÇS

COUEBE8.

38. On a vu (art. 6) qu*une courbe est la limite d'une infinité de polygones qui auraient pour côtés des cordes successives de la courbe. Lorsque Fun quel^ conque de ces polygones se confond avec la courbe, ses côtés deviennent les élémens de cette courbe , et leurs prolongemens en déterminent les iangenies.

On peut encore considérer une ligne courbe comme le lieu géométrique d'un point mobile soumis à une ou plusieurs forces qui sont constantes, ou qui varient pour chaque position du point; la loi du mouvement détermine la nature de la courbe. En supposant que toutes les forces constantes ou variables qui agissent sur le point mobile cessent leur action, le point continuera à se mouvoir suivant une droite qui sera tangente à la courbe.

Les anciens géomètres définissaient la tangente d'une courbe, une droite qui n'a qu'Un point commun avec cette courbe, et telle qu'on ne puisse mener aucune autre droite entre elle et la courbe.

De quelque manière qu'on définisse la tangente d'une courbe , que cette courbe soit plane ou à double courbure , les projections des tangentes de cette courbe sont tangentes aux projections de la cotahe.

39. Une surface étant décomposée en un assez grand nombre de parties pour que chaque partie puisse être considérée comme un élément plan , le plan de cet élément prolongé indéfiniment, est un plan tangent de la surface. L'élément réduit à un point physique, se norame point de contact; il est la limite des sections planes de la surface parallèles au plan tangent.

Le plan taisent contient les tangentes de toutes les lignes planes ou à double courbure , menées sur la surface par le point de contact ; deux quelconques de ces tangentes déterminent la direction du plan tangent La perpendiculaire à ce plan est une normale de la surface ; en coupant la surCaice par une suite de plans qui passent par une normale , les sections faites sur la sur&ce par ces plans se nomment sections normales.

40. Toute ligne à simple et à double courbure peut être considérée comme résultant ou de l'intersection d'une surface courbe par un plan , ou de Tinter*

a4 GiOMiTAIS DESCRIPTIVE.

section de deux sur&ces courbes. La tangente en un point quelconque de la courbe plane est l'intersection du plan tangent à la surface en ce point , et du plan de la courbe ; la tangente en un point quelconque de la courbe à double courbure est la droite intersection des deux plans tangens menés par ce point aux deux surfaces dont la courbe est Tintersection : ces deux propositions sont des conséquences de la définition du plan tangent à une surface courbe.

4i* Il y ^ deux espèces de plans tangens; les uns n'ont de commun avec la surface que le point de contact , et toutes les sections normales qui passent par ce point sont placées du même côté par rapport au plan tangent. Lorsque les sections normales sont placées de côtés difFérens par rapport au plan tangent (i)^ ce plan appartiendra à la seconde espèce; il est en même temps tangent et sécant* I^ous donnerons des exemples des deux espèces de plans tangens.

§ U. De la génération des surfaces et de leur définition*

4^1* Les géomètres expriment la nature d'une surface par une relation entre les trois distances d'un point quelconque de cette surface à trois plans rectangulaires fixes , et cette même relation détermine la position de la surface par rapport à ces plans. En géométrie descriptive, on considère une surface comme le lieu d'une courbe mobile dont la forme constante ou variable est donnée à chaque instant ; la loi du mouvement de cette courbe détermine la forme et la position de la sur&ce : on nomme la courbe mobile la génératrice de la surface.

En faisant mouvoir une surface d'une forme constante ou variable , Fenveloppe de l'espace qu'elle parcourt est une autre surface qu'on appelle surface enveloppe^ et qui est le lieu des lignes d'intersections successives de la surface mobile. Chacune de ces lignes, que Monge a nommée la caractéristique de la surface enveloppe, peut être considérée comme la génératrice de cette siu*face. Les quantités qui déterminent une position particulière de la surface mobile, et les dimensions de la surface correspondantes à cette position , se nomment les paramètres de la surface. Les paramètres, constans pour une posi-

(i) Monge a démontre oette belle propriété des surfaces , qu'une normale en un point quelconque d'une surface ne ^ent être rencontrée que par deux autres normales menées à une distance infiniment petite du point de la surface. Les parties de la normale comprises entre la surface et les points où cette normale est coupée par deux autres normales infiniment voisines, se nomment les rayonf de courbure principaux de la surface. Le plan tangent en un point quelconque d'une surface est de première ou de seconde espèce «. selon que les rayons de 'courbure en ce point sont dirigés dans le même sens ou en sens contraire,

Gl^OMl^TltlS DESCRIPTIVE. ^5

tion déterminée , changent eh général de valeurs , lorsque la surface prend les diverses positions assignées par la loi du mouvement. Cependant il y a des cas où les paramètres qni fixent les dimensions de la sur^ee, sont invariables.

Une surface est définie , lorsque pour chacun de ses points , on peut assigner la ligne génératrice , constante ou variable de forme , qui passe par ce point ; cette génératrice peut être donnée en relief ou par ses projections.

43. Les smfaces qu'on emplcnf le plus fréquemment dans les arts, sdiit celles

qui ont pour génératrices mobiles le cercle et la ligne droite. Parmi les surfaces

qui ont pour génératrice le cercle, on doit distinguer celles qu'on appelle sur'

Jàces de révolution , et qui s'exécutent sur la machine connue sous le nom de tour.

II y a deux espèces de surfaces engendrées par une droite : les unes qii^on nomme surfaces dêvéloppcAIes ; les autres qu'on appelle surfcêces gauches ^ et que j'ai proposé de nommer surfaces régulées , parce qu'on peut appliquer l'arête d'und règle sur les droites de ces surfeces.

Des surfaces de révolution , et en général des surfaces engendrées par un. cercle

mohUe.

44* Lorsqu'un cercle se meut , son centre décrit une courbe ; son rayon varie^ suivant une certaine loi; les intersections successives du plan du cercle forment une sur£ice. L'enveloppe de Fespace qu'un cercle parcourt , n'est donc déterminée que lorsqu'on donne ces trois choses : i^ la loi suivant laquelle le rayon du cercle varie ; a^ la courbe décrite par son centre ; 3® la surface lieu géométrique ( i ) des intersections successives du plan mobile qui contient le cercle.

Qnd que soit le mouvement d'une sphère d'un rayon constant ou variable , r enveloppe de l'espace qu'elle parcourt , est le Keo des cercles intersections successives de la sphère mobile. Si Fon remarque que deux sphères qui se pénètrent , ont pour intersection un cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite qui joint leurs centres, on verra facifénient que la courbe décrite par le centre d'ime sphère mobile, est Paxe curviligne d\m canal dont lés sections perpendictdaire^ à cet axe , sont des cercles.

Lorsqu'on substitue à cet axe courbe , mie ligne droite, ht surface canal devient une surface de révolution. On appelle ainsi la surface engendrée par une ligncf

(i) On entend par £i?ii géométrique d^xm point , la ligne on la surface <pii contient ce point; par Geu géométrique d'one ligue , la surface qni contient cette ligne. C'est dans ce sens qu'on a employé I précédemment le mot ^eu^ sans y ajouter géométrique.

2|8 aÈOUiTKlE BUCBIPTIYf.

trice de la surÊice par d'autres conditions; par ezeniple celle-ci : de passer par deux comités, et de toucher un cylindre sur lequel Tune des deux courfats est donnée.

Dans le paragraphe suivant, on donnera des exemples de plans tangens aax trois espèces de sur£aK:es ifu'on vient de définir, et qui sont désignées par lea noms de jw/àces dévdoffpables y ^urfkces de révolulionj sur/aces réglée^.

% UL EXXMFLSS »X 9iaL»% TAX«nS ÀVX S&BFAG3ES.

Premier Exempte. — .Mener wi pUn: langent à Me surface €yiimlnque : i^par un point pris sur la si^rface; o!^ par unpeùUprij hors ia swfiice; 3^ paral&Ument à une droite dotunie ? {Vh ^.^

• » • On entend par surface cjrlifdrifuey une uxrbce dévieloppahie engendeée par une droite ittoUle ^ coQStaflSBUSDt pardièle à une droite donnée^ et dirigée dbns son mouvement par une courbe aussi donnée t ipi'on appelle ia directrice.

48. Solution. — Premier eas^ — Lepointdecontactestdannésurla surface. On mène par ce point la droite génératrice de la suifice; cette droite rencontre la directrice en un point » par lequel on mène une tangente à cette couii>e.: la tangente et la droite de la sor&ce déterminent le plan tangei^ demandé. Ce plan ne touche pas seulattent la surfiuce au point donné.; il contient (art 46) Vêlement cylindrique qui est eomplisentne deux droites parallèles eoMéeutives « et dont il est le prolongement; ce contaa du pkn et de la sur&ce a lieu pour tous les points de la droite généiatrîeey menée par Jk point donné. »

DeusDÙsm cas. -^Le point donaé est hors la surfsee. On mène par le point donné, une tangente k une Hgne de la sorfiMe cylindrique dont le plan passe par oe point; oette tan^raie , et la droite de la audhce menée par le point de ^eontact ^ déterminent le plan demandé.

Troismme cas. -^^ Le plan tangent est paraUèle h Moe droite dtmnée.QvL mène par un point quelconque de Tespace deux droites , Vune parallèle à la droite donnée , et Tautre parallèle à la droite générstrioe de la sur&oe cyttndnqne ; <m joint ces deux droites par une troisième, telle ^'on pniase meoerune tangente à la surface cfiîndhvfue, qni loi soit parallèle. Cette taugenteet la droite de b sur&ce menée parle poiol: de contact , déterminent le plan «angtna; ce plan acra pandit ii k droke donnée, pm^e <|a*d passe par des droites paisâMâk^ droites qui coopcnt cette droite donnée.

49. Sspàcationiks^.i^ a, 3,/?^ 6» relatives aux trois cds du prob&me proposé. Pout ces trois cas, la 8ur£aice est un cylindre à base circulaire, c'est-à-dire qu'elle est engendrée par une droite mobile qui a pour directrice un cercle, et on suppose dans les trois figures que le cercle , base d'un cylindre oblique , est donné $ur le plan horiafionlal ; XY est sur chaque figure, Tintersection du plan horizoKitd et du plan Terl

(Fig. I, pi 6.) Premier cas. -^ Le point de contact de la surface cylindrique et du plan tangent, n*est donné que par Vune de ses projections.

Soit AfiCD b section cîrailaira du cylindre, donnée sur leplan jbori^ntal de profectioos; la génératrice du cjHi^UeestparaUèle à tme droite donnée (GZ^G'z). Ayant mené les diamètres AB, CD, Tun parallèle à l'intersection XY des plans de jn»^oâons^ l'autre perpendioilaireà la projection borieontale GZ d'une parallèle à ia génécalnce du cyfindre^ on tirera par les points C, D les droites CE, U^, parallèles à GZ , et par les points a, h^ projections verticale! des exU^mités A, B du dîamètte AB, les paralléks ag^M kU projection verticale G's de la droite donnée (GZ, G'z.) Les deux premières parallèles CE, ÏX sont les limites de la inrojectîon faorisontale àm cylindre , ou , plus cKactement, de toutes les lignes appartenantes k ce c^lîadre ; ks deux dernières agf M fi>rment les limites de la projection vertîcaie.

Le point de contact de la sur£aice cylindrique est donné par uneseule projection. Soit & ia projection horiaontale donnée ; on construira d'abord la seconde projectiom A fm J(,

Tontes les droiim de la sufÊM>e cyliadri<pie étant parallèles entre elles , celle qui passe par le point de oootaet, â pour projection horizontale une droite K.L pa» rallèle à ÔS ou DF; aws cette droite coupe le eerde donné aux points L, M, quiontponr profedions verticales les points /, m; donc la droite U ou mo\ parallèle à «Y ou fi&, contiendra la projection verticale du point de contact. Cette projection doit aussi se trouver sur la perpendiculaire Hâ k XY, qui coupe les droites lo, ma' aux points A:, ^; d'où i^suit que le point de contact, est (K, k) on(K,*').

liCs plans tangent à la surfiuse cylindrique , menés par ces points ne diffèrent pas {art. 4^) des plans tngens, conduits par les droites de la sur£sK:e (LMO, lo)^ MO, mû'); or ces droites de contact rencontrent le cercle ABCD aux pointa L, M; 1rs plans tao^ens en ces points auront donc pour traces sur le plan horizontal, les tan^Mtoa au cercle LP, MQ« Les mêmes droitieis de contact rencontrent le plan vertieal aaa points o, o'; joignant ces points et ceux où les tangentes LP, MQ coupent la droite XY, on aura les traces verticales Vo, Qd des plans tangena aux points ( K, A) , ( K/if) du cylindre.

3o GJÉOMIKTRIE DESCRIPTIVE.

On vérifiera Texactitude des opérations précédantes par les considérations suivantes.

Les deux plans tangens , passant par des droites de la sur&ce qui sont parai-» lèles entre elles , se coupent suivant une parallèle à ces droites : or cette parallèle (RV, rv) coupe le plan vertical au point (V, c^); donc les deux traces Pc?, Mo^ prolongées ; passent par le point i^. Les horizontales des plans tangens menées par les points de contact (K, A) » (K, A') , coupent le plan vertical aux points Sf t; donc ces points doivent se trouver Tun sur la trace Pf^, et l'autre sur^

la trace Qt».

Les^. a et 3 , que nous allons expliquer, se rapportent aux deux autres cas ; les points et lignes analogues sont marqués des mêmes lettres dans les trois figurea»

50. (Fig. a , pi. 6.) Deuxième cas. — Le point donné est hors la surface. Soit (N, ri) le point donné hors la surface; la parallèle à la génératrice du cylindre , menée par ce point, coupe le plan vertical au point ( V,c) et le plan ducercle ÂBCD au point R, par lequel on mène les tangentes RL,.RM à ce cercle. Ces tangentes sont les traces horizontales des deux plans tangens au cylindre qu'on peut mener par le point donné; les points P et Q de ces traces prolongées jusqu'à ce qu'elles coupent la droite XY, appartiennent aux traces verticales des mêmes plans tangens. On aura ces traces en joignant le point v et les points.P et Q par

les droites Pf', Qi'.

Les plans tangens (RP^^) , (RQ*') touchent le cylindre suivant les droites (LO, la) et ( Ma>, md ) : or ces droites coupent le plan vertical aux points ( O , o ) , ( o^, «' ) ; donc ces points doivent se trouver l'un sur la trace verticale V9 du premierplan tangent, et l'autre sur la trace Qf' du second plan.

' L'horizontale (NN', nri) du premier plan rencontre le plan vertical au point ri de la trace P^; une horizontale du second plan, menée par le même point donné (N , n) , coupe aussi le plan vertical en un point de la trace verticale Q^ de ce second plati,

5 1 . (Fig. 3, pi. 6.) Troisième cas.— Le plan tangent est parallèle à une droite donnée. Soit (UZ, uz) la droite donnée; par un point {z,z) de cette droite, on

tirt? une droite (GZ , G'^) , parallèle à la génératrice du cylindre dont la direction est copnue. Les deux droites (UZ, uz), (GZ^ Gz) déterminent un plan dont la trace sur le plan du cercle ABCD est GU : on mène deux droites RP, R'Q, tangentes à ce cercle et parallèles à GU; ces droites sont les traces horizontales des deux plans tangens qu'on peut mener parallèlement à la droite donnée. Ces plans touchent le cylindre suivant les droites (LO, fo), (Ma, meJ) qui coupent le plan vertical aux points (O, o), (a, a')i d'où il suit que les

GiOUÉT^lE BESGRIPTIVS.s 3j[

traces verticales des plans tangens sont Foi^ y Qû»V. Ces traces sont parallèles entre elles, et parallèles aune droite telle que (Ga» G'ol') intersection du plan vertical de projections et du plan conduit parles deux droites (ZG, jzG' ) (ZU, zu\ On obtient cette droite (G0I9 G'^^') en menant parle point G de la droite donnée (GZ, G' z), la parallèle G a à XY, qui coupe l'autre droite donnée (UZ, wz) au point («, a'); ce qui détermine la droite GV, parallèle aux traces P^, Qi/.

Sa. Quoique nous n'ayons considéré qu'un cylindre particulier, celui dont la base ou l'intersection par l'un des plans de projection est un cercle, on résoudrait de la même manière les trois derniers problèmes pour tout autre cylindre. Le nombre de solutions pour chaque problème dépend de la àase du cylindre , c'est-à-dire de la section du cylindre, donnée sur le plan horizontal. Lorsque cette base est un cercle, une droite ne peut couper la surÊice du cylindre ^u'én deux points; et, par im point pris en dehors de cette surface, on ne peut lui mener que deux plans tangens. On conçoit facilement une surface cylindrique qui serait coupée par une-droite en un plus grand nombre de points , et à laquelle Dn mènerait par un point pris en dehors, autant de plans tangens qu*on pourrait mener de tangentes à une section plane du cylindre, par un point pris en dehors de cette section.

Deuxième exemple de plan tangent. — Mener un plan tangent à une surface conique: i^par unpomtpris sur la surface ; a® par un point pris hors la surface; y paraiïelementà une droite donnée? ( PL 7. )

, On entend par surface conique ^ une surface développable, engendrée par une droite mobile, assujettie à passer constamment par un point donné, et par une courbe , qu'on appelle la directrice de la droite génératrice.

53. Solution. — Premier cas. — Le point de contact est donne sur la surface. On mène par ce point, la droite génératrice de la surface; cette droite rencontre la directrice en un point, par leguel on mène une tangente à cette coiu^be. La tangente et la droite de la surface déterminent le plan tangent (art. 46) demandé. Ce plan ne touche pas seulement la surface au point donné, il contient l'élément qui est compris entre deux droites concourantes vers le sommet du c6ne , et dont il est le prolongement : le contact du plan et de la surface a lieu pour tous les points de la droite menée par le point donné.

Deuxième cas. — Le point est donné hors la surface. On mène par le point donné une tangente à une courbe de la surface conique, dont le plan passe par ce point.

3a GiOM^TAIE BESCRIFTIVK.

La droite de la surfiice conique menée {>ar le point de contact de la coniiie et (je la tangente, et la tangente dle-même, déterminent le plttu demandé.

Troisième cas. — Le plan tangent est parallèle a une droite donnée. On mène par Is sommet de la surface conique une parallèle à la droite donnée , et on prend sur cette parallèle un point par lequel on puisse mener une tangente à une ligne connue de la surface conique. Cette tangente et la parallèle à la droite donnée 9 fixent la position du plan tangent La droite de contact du plan et du cône , est déterminée par le point de contact de la tangente à la ligne connue de la surface conique.

54. Expliceuion desjî^. jy^y^^pL'j^ relatives aux trois cas du problème proposée On suppose que pour ces trois cas, la surface est un cône à base circulaire^ c'est* à-dire qu'elle est engendrée par une droite mol»le qui s'appuie sur un cercle comme directrice. Le cercle , base du cône , est donné sur le plan horizontal ; la droite XY est sur chaque figure , l'intersection du plan horizontal et du plau vertical de projectionB.

( Fig. i'% pi. 7.) Premier cas. — Le point de contact de la surface conique et du plan tangent^ n^est donné que par Vune de ses projections. Soit ABCD l'intersection du cône par le plan horizontal ; on prend cette intersection pour la hase du

cône qui , dans ce cas particulier^ est un cercle du rayon ^A ; le sommet du cône est donné. Soient E, e ses projections horizontale et verticale; les tangentes EC, ED menées par le point E au. cercle ABCD, sont les limites de la projection horizontale du cône; elles peuvent être considérées comme les traces horizontales de deux plans tangens verticaux , qui touchent le cône suivant les droites ( EC , ^c ) , ( ED , ed). Ayant mené le diaitnètre AB parallèle à Fintersection X Y des deux plans de projection , les > droites du cône qui passent par les points A et B, ont pour projections verticales les droites ea^ eb qui sont les limites de la projection verticale du cônç*

Le point de contact de la surface, conique est donné par une seule projection. Soit K la projection horizontale donnée, on construira d'abord la seconde projection k ou K.

Toutes les droites de la surface conique devant passer par le sommet du cône , celle qui passé par le point (K, A) ou (K, A^ ^ a pour projection horizontale la droite EKML, qui coupe le cercle donné ABCD aux points L,M; mais les droites du cône qui passait par ces points, ont pour projections verticales les droites le^ me , et elles contiennent (art. 1 5) les points de contact ; donc ceS' points se trouvent en projection verticale et sur la perpendiculaire KA à l'intersection commune X Y

QiOUiTuiE DESCRIPTIVS. 33

des plaiift.de projections, et sur les droites le, me, par conséquent aux inter«- ^ddouskj k de ces droites et de la perpendiculaire KA; d'où il suit que le point de la surface conique , pour lequel on demande le plan tangent, est ou (K,A:), ou (K, A:'), et que les droites de contact «ont (EL,e/) pour le premier point, et ( EM, em) pour le second.

Ces droites de contact rencontrant le cercle donné aux poin^ts L et M, les plans tangens eu ces points, auront pour traces horizontales les tangentes LP, MQ du cercle ABCD. Les mêmes droites de contact rencontrent le plan vertical aux points 0,0'; joignant ces points et ceux où les tanguâtes LP, MQ coupent la droite XY, on a^ra les traces verticales Po^ Qp des plans tangens aux ][>oiuts ( K, ^) , (K, A') de la surface conique.

On vérifiera, comme pour le cylindre (art. 49)9 les opérations {^phiques par lesquelles on yient de trouver les traces dés pians >(W*^)> (RÇ^') tangens aux cônes.

Les deux plans tangens se coupent suivant la droite (ER, er) : or cette droite coupe le plan vertical au pmnt v; donc les traces Po, Qo' passent par ce point p.

Les horizontales des plans tangens menées par les points de contact ( K, A: ) , (K, A:') coupent le plan vertical aux points s et i; donc ces points doivent se trouver Fun sur la trace verticale Vw^ et Tautre sur Ja trace verticaleQt^^'.

55. Les^^. s et 3 que nous allons expliquer se rapportent aux deux autres cas; les points et lignes analogues sont marqués des mêmes lettres dans les .trois figures^

(Fîg. a ,pl.7.) — Déux&me cas. — Le point donné est hors la surface. Soit (N, n) le point donné hors la surface , par lequel il s'agit de mener un plan tangent à cette surface. Puisque tous les plans tangens d*un cône passent par le sommet du cône, le plan demandé passwa parla droite (£K, eri) qui joint ce sommet et le point donné : or cette droite coupe le plan du cercle donné ABCD au point R, par lequel on peut mener les tangentes RL ,RM k ce cercle; donc ces tangentes sont les traces horizontales des plans tangens au cône , qu'on peut mener par le point donné. D'ailleurs ces plans sont conduits par la droite ( EN , en) qui coupe le plan vertical au point ç; donc ils ont pour traces verticales les droites P(/, Q*'.

Les plans tangens ( RPf' ) ^ ( ViQy ) touchent le cône suivant les droites ( EL , el) , (£M,^/n) qui coupent le plan vertical de projections aux points o et à; donc ces points doivent se trouver l'un sur la trace verticale Pw, l'autre sur la trace Qvcê. L'horizontale (NN', nri) du premier plan tangent (RPt^) ren* contre le plan vertical au point ri de la trace P^; Vhoriaôntale (NT, nt) le

rencontre au point t qui se trouve sur la trace Q9 du second plan tangent (RQ^-)

34 GéOK]£TRIB DÊSCRIPTIVB.

(Fig. 3, ^^^^^Troîsièmeçcu. — Le plan tangent est parallèle a une droite donnée^ Soit (UZ, uz) la droite donnée. Les parallèles à celte droite ,- menées par le sommet du cône, ayant pour projections les droites £R, er^ elles coupent le» plans de projections aux points R et f^ par lesquels les traces .des plans tangent doivent passer; d'où il suit que les tangentes RL, RM menées par le point R au cercle ABCD, sont les traces horizontales de ces plans. Ces traces coupent la droite XY aux points P et Q; d'où il suit que les droites P^^ Qi^.sont les traces yerticales des plans tangens.

Les points (O, o) et ( Oy») du plan vertical de projection que Fon construit commo sur la figure précédente, appartiennent l'un à la trace Vyô, et l'autre à la trace

Eh substituant au cercle ABCD, intersection d'un cône par le plan horizontal, toute autre courbe, on résoudrait de la même manière les trois cas du plan tangent au cône proposé.

Troisième Exemple. — Plantangent a une sur/ace de réi^olutiàn. — Par im point donné sur une surface de révolution^ mener un plan tangent à cette surface? fPl, 8.)

56. Solution. On conçoit pajr le point donné et par Taxe de révolution , un plan qui contient une section méridienne (art! 44) ^^ 1^ surface. Le plan' tangent passe par une tangente à cette section menée par le point donné; mais la surface étant composée d'une suite de cercles dont les plans sont perpendiculaires à l'axe de révolution, le plan tangent au point donné passe aussi par la tan« gente au cercle de la surface auquel ce point appartient ; d'où il suit que le plan tangent d'une surfiaice de révolution est déterminé par les deux tangentes menées par le point donné à la section méridienne et au cercle , qui se croisent à angle droit en ce point.

La tangente au cercle étant perpendiculaire au plan de la section méridienne, le plan tangent en un point quelconque d'une surface de résolution est per* pendiculaire au plan méridien qui passe par ce point. La double condition de passer par une tangente à la section méridienne d'un point de la surface , et d'être perpendiculaire au plan de cette section , déterminent le plan tangent en ce point.

57. £xpiication de lafig. i, /r/. ^ y pour le cas particulier oà la surface de révo^ iutian est un ellipsoïde* On prend pour plan hori2sontal de projections , un plan perpendiculaire à Taxe de révolution ; le point de contact sur la surfece est donné par une seule projection.

3oit (A, alk^ Taxf de révolution, M la projection horizontaledu point de contact ;

GBOM^TRIB DESCftIPTIVS. 35

4e plan méridien mené par le point M, a pour traces sur les plans de projections les droites MAT et tTi. En ie Éaisaut tourner autour de Taxe (k.abc), il arrive dans la* position D£U parallèle à rintersection^Y des plans de projections. Considérant la droite DAE comme la trace d'un plan méridien paifailèle au plan vertical , ce plan coupe la surface sui vaut une section méridienne cbde divisée en deux parties égales par Taxe bc. Faisant AM = AAT, et élevant par le point M' la verticale tSnn'ri' qui coupe la section méridienne aux points f^^n'^les horizontales n'my r(ni contiennent les projections verticales des points de contact de la surface derévolution^ cor redondantes à laprojectionborûsontale domnéeM; d'où il suit que ces projections verticales sont déterminées piur la rencontre dés droites f2'/7i, y^'W et de la perpendiculaire Mi»'#» à Tintersection XY des plans de projections. Le point connu de la surface étant (M , /n) ou (M , /7t% il s'agit de trouver les traces du plan tangent mené par l'un et l'autre point , en observant que dans le cas particulier où la section méridienne est une ellipse bcde , les points m, /»' sont à égale distance du second axe de de l'ellipse, perpendiculaire au premier bc.

La tangente à l'ellipse au point ri^ coupe la droite XY au point l\ et cette tangente, considérée successivement dans les plans méridiens AL', AL, coupe le plan horisonlal aux points L, L ; d'où il suit que la tangente an point (M , m) de de la section méridienne AM; rencontre le plan borisontal au point L ; le plan . tangent au mené point (II, ni) passera donc asiasi par le point L, et comme il ' est perpendiculaire au plan méridien verticai AML, il a pour traee sur le plan horizontal la droite LQ perpendiculaîre à AL. D'ailleurs liiorizontaiê (MP, mp) du plan tangent coupe le plan vertical au point /?; donc le plan tangent (LQ/?) au point (M, i??) de la surface de révolution, a pour trace sur le plan vertical , la droite Qp.

On trouvera de la même manîèpe <|iie k plan tangent au point (11, ni) a pour traces sur les platts de projections les droites SJt et fa. Les deux traces horizontales LQ, Rft perpendiculaîres k la même éttiàt AM, sont parallèles, et les deux traces vertîcaks Qo^ Rj se coupenten un point ^, qui est «tué sur le prolongement de Taxe horironlal de l'dlipse, par la même raison que les tan* gentes aux points /»', d' de cette ellipse , se rencontrent au point / du même axe. Les deux plans tangens à l'ellipsoïde de révolution ayant leurs points de contact sur le même méridien, et à même distance du centre de l'ellipsoïde, ils se coupent suivant une horizontale située sur le plan du plus grand cercle de la surface dont le diamètre est de; cette horizontale se projette donc sur le plan -vertical suivant la droite de : d'où il suit que cette droite de prolongée, doit passer par le point ^ de l'intersection des deux plans tangens.

On s'assurerait de l'exactitude des traces verticales Rs, Qs des plans tangens,

36 Cl^OMJÉTRIE DESCRIPTIVE.

en. cherchant les points de rencontre du plan vertical eï des tangentes à là section méridienne menées par les points donnés. Ces tangentes ont pour projections verticales les droites Im, km\ et pour projections sur le plan horizontal, la droite unique ALMT. Considérant cette droite comme la trace horî- Eontale d'un plan vertical qui coupe le plan vertical de projections suivant la verticale /TV, les points d'intersection r, ^ de cette verticale et des droites Inty hri prolongées, se trouvent nécessairement Tun sur la direction de la trace Qpy et l'autre sur la direction de la trace Vis.

De ce que la tangente Inl coupe Taxe abc au point o, il s'ensuit que la droite bn prolongée doit passer par le même point; car on peut considérer le point o de l'axe de révolution comme le sommet d'un cdne droit, circonscrit à la surface de révolution suivant le cercle du diamètre /l'^r; or les droites de ce cône droit sont des tangentes aux sections méridiennes, menées par les points du cercle ; donc la tangente qui passe par le point (M, ni) a pour projection verticale la droite Imo^ qui passe par le point o de Taxe abc. On prouverait de la même manière que les droites h'K^ nik prolongées doivent passer par le point o' du même axe ahc.

Ayant prolongé le plan méridien DAE parallèle au plan vertical de projec-' tions, jusqu'à ce qu'il rencontre en Q" la trace horizontale LQ du plan tangent (LQ/?), le plan méridien et le plan tangent se coupent suivant la droite ( AQ', o(jl); d'où il suit que la projection verticale o<^ de cette droite est parallèle à la trace verticale Q/ du plan tangent (LQ'Q^). On trouverait de la même manière la parallèle à la trace verticale Kf du plan tangent ( RRj) , passant par le point o' de l'axe de révolution oo'.

58. Le chapitre suivant, qui traitera des intersections de surfaces par des plans et par d'autres surfaces courbes, des tangentes aux courbes qui résultent de la pénétration des surfaces, contiendra de nouveaux exemples de plans tangens. On y considérera les plans tangens de la seconde espèce qui sont à la fois tangens et sécans, et on donnera quelques exemples des lignes suivant lesquelles ces plans prolongés au delà du point de contact, coupent les surfaces.

GÉOMiTRIE DESCRIPTIVE. $7

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