MODES DE PKOJECTIOICS. {PU

\ 191. On a déjà reconnu l'importance du choix des plans de projections pour

la solution des problèmes relatifs aux intersections de surfaces par des plans, ou par d'autres surfaces. Des deux projections qui sont nécessaires pour déterminer la ligne d'intersection d'une surface par un plan , l'une se réduit à une ligne droite, lorsque le plan de projections est perpendiculaire au plan coupant. Dans le cas où une surface de révolution est coupée par un plan ou par une autre surface, du choisit pour Tun des plans de projections un plan perpendiculaire à l'axe de révolution ; alors tous les cercles de la surface s'y projettent suivant d'autres cercles. Lorsque les axes de deux surfaces de révolution se rencontrent, on prend le plan de ces axes pour le plan vertical par exemple, et le plan perpendiculaire à l'un des axes pour plan horizontal. Si Ton propose de trouver l'intersection de deux cônes {pL 10 ), il y a quelque avantage à mettre les sommets de ces cônes sur l'un des plans de projections. Lorsque deux cylindres se pénètrent, on simplifie les opérations qui donnent leur ligne dlntersection, en rapportant cette ligne à deux plans, le premier parallèle aux droites génér ratrices des cylindres, et le second perpendiculaire à l'une de ces génératrices; la Jig. I , pL 22 offre un exemple de ce choix de plans de projections. Deux

IfO niùUÈTXin DESCRIPTITE,

cylindres droits horixontauit se coupent à angle droit ; leurs axes se rencontrent « et la projection de leur ligne d'intersection se compose de deux branches d^une hyperbole.

Intersection de deux cylindres.

' 193. Soient EGF, IGK {J^^iffl^ aa ) les axes horizontaux de deux cyUndm droits qui se pénètrent; le plan de ces axes qu'on prend pour plan horizontal de (>rojections , coupe les deux cylindres , Tun suiyant les parallèles AB , CD , l'autre suÎTant les parallèles ÂG, BD, quiforment avec les premiers le parallé^ logramme rectangle ABCD. I^e plan Tertical XY de projections est perpendicu* laire à la génératrice AC ou BD du petit cylindre , et coupé ce cylindre suivant lé cercle e/^^ projection verticale de toutes les lignes de cette smàce. Un autre plan vertical BD coupe le grand cylindre suivant un cèrde du rayon DF^ qu'om transporte sur le plan vertical XY, en décrivant du point H', avec le rayoo H/== DF, le cercle ^/%<i. On va voir le motif de cette transposition.

Un plan horizontal quelconque fini ciMipe les deux cylindres suivant des droites horizontales qui se rencontrent en des points de leur ligne d'interseo* tion. Les droites du petit cylindre se projetant sur le plan horizontal suivant les parallèles Ç(p\ NN', les projections des droites du grand cylindre couperaient ces parallèles en quatre points M , M', /»', fi" de la projection horizontale de Fin* tersection des cylindres. La construction graphique de ces points s'obtient plus simplement, et avec des lignes moins longues, en faisant usage du cercle transposé en/km. Ayant élevé la verticale^, on probuge Thorisontale /âm jusqu'à sa rencontre avec la verticale^' en m\ et avec le cercle du rayon 11/ en n. Là. partie ain de i'faonzontatè se porte en KM, 9^", N'AT, ^V ; ce qui détermine les qmtre points M, M', fA\ fi". On concevra la raison <le cette construction, en regardant h droite NM comme la projection d'un triangle mixtiligneégal k^'n, et comme là trace honaontale d'un plan vertical qui coupe le petit (^liiidre sui«vant one droite égale en iongneur au coté m' m du triangle, et le grand cylindre suivant un arc égal à Y^rc/h^ auire coté du même triangle.

194. On déterminerxxt la tangente an point (M^ m) de l'intersectioii des deux cylindres , comme dans le cas général (art 1 56); mais cette méthode des tangeotes est en défaut poor les points A , B, C, D de l'intersection, puisque les plans tancens pour Vuu quelconque de «es points , C par exemple, sont verticaux, et se coupent suivant une verticale; ce <pii réduit la tangente au point G projection ile cette verticale. Il faut pour ce point avoir recours au plan des deux normales (art. i^S). Les normales en C du peut et du grand cylindre coupent ht plan horixontal . fune en L. l'autre en £: tirant la droâte£L trace Imiûontale du i>lan des

CKOMKTAIE DESCRIPTIVE. I|f

deux nonnales, la perpendiculaire GP à £L est la tangente au point C. Les courbes GKD9 AlB sont les deux branches d'une hyperbole (i) qui a pour axe réel la droite IK; elles eorrespondent à la courbe d entrée dans le grand cy-* lindre, et à la courbe de sortie; l'intersection totale se projette sur le plan verti-» cal XT suitant le cercle ç^.

Intersection d^un cylindre et dune sphère.

195. La^. a,/?/, aa représente l'intersection d'un cylindre et d'une sphère. Le plan horizontal de projections passe par le centre de la sphère et par l'axe d*un c}'lindre droit à base circulaire; le plan vertical est perpendiculaire à cet axe : la projection verticale de la courbe d'intersection est un cercle , et la pro» jection honzontale une parabole.

Le plan horizontal de projections contient le centre 0 de la sphère, le grand cercle de cette sphère du rayon OD , l'axe GG' du cylindre et les deux arêtes AC, BD du cylindre droit, qui a pour base le cercle efg. Le plan vertical OD coupe la sphère suivant un grand cercle qu'on transporte sur le plan du petit cercle e^ par un motif semblable à celui qu'on a exposé dans l'exemple précédent. On porte le rayon OD de^ en H*, et du point H' comme centre , on décrit le grand cercle de la sphère, transposé en/^Asur le plan vertical XY.Un plan hori« 2ontal quelconque mii coupe le cylindre suivant des droites qui $e projettent sur le plan horizontal en NN' et ^'; rhorizontale mju coupe la verticale^' att point m\ le ctt<AeJnk au point n. Portant la distance m'n de la verticale^/T au cerde,/?rA, de Den ^sur le rayon OD, et décrivant du point O comme centre avec le rayon O^ une circonftrence qui coupe les droites KK', ff' aux points M, M*, jtc", /if , ces quatre points appartiennent à la projection horizontale de la courbe d'intersection de la sphère et du cylindre. Cette projection se compose de deux branches CMD, ÂlirB, qui appartiennent k une parabole (a) dont le sommet ett en S, sur la perpendiculaire 06 qu'on abaisse du point O^ centre de la sphère, ^ur Taxe GG' du cylindre. *

(i) On démontre cette proposition par l'analyse , en prenant pour axes de coordonnées leS ^hrokes rcctaBfiiilMreft £F, IK, qui se coupent au poiat G origine des coordonnées. L'équation da petit cylindre est 4r* + «» = r» ; celle du grand : j» + ** =r R». Éliminant 2% on a pour l'équation de la projection sur le plan des jj*:

équation de l'hyperbole équilatère.

(%) On démontre cette proposition par l'analyse , en prenant le centre O de la sphère pour l'ori-» ^■n* des coerdoonées, la perpendiculaire OS an* TaM CL àa cylindre, pour Taxe des jt, et la parallèle k cet axe pour Taxe des^. L'équation de la sphère est : jr> + >-* + ^' = ^^^ Appdant a la distance OO, réquatioa du cylindre est (o; — a)*-f-z'=:/^> R et r sont les rayons 4e la sphère et ^ie

111 Cl!OM^TRIE DESCaiFTIVE.

1 96. La tangente CP en C , se détermine comme dans l'exemple précédent ,' par la condition d^étre perpendiculaire à la trace horizontale OL du plan des deux droites CL, CO, Tune normale au cylindre , et l'autre normale à la sphère; elle rencontre la droite^ OG au point P, en sorte que la sous*tangente est CP. Divisant CP en deux parties égales au point S , ce point est le sommet de la parabole. ( Voyez la note a , art précédent).

Des projections obliques.

197. Un mode de projection, quel qu'il soit, a pour objet de déterminer la position respective des points situés dana l'espace. La définition d'un mode de projection est complète , lorsqu'on donne la surface sur laquelle on projette, et la loi d'après laquelle on mène par chaque point de l'espace , la droite qui pro« jette ce point.

Le mode de projection le plus simple , et le seul dont nous ayons fait usage jusqu'à présent,se noxamt projection orthogonale. Il consiste à projeter les points de l'espace sur un plan , par des droites perpendiculaires à ce plan. Lorsque les lignes de projection sont constamment parallèles à une droite donnée, et obliques par rapport au plan de projections, ce mode de projection se nomme projection oblique. Yol projection perspective désigne le mode pour lequel les lignes de projection concourent vers un point fixe et déterminé.

1 98. Ces trois projections , ordiogonale , oblique , perspective , se font sur des surfaces planes. La proposition suivante s'applique aux trois modes de projection. • « Lorsque deux droites se coupent dans l'espace et comprennent entre elles a un angle, le sommet de cet angle a pour projection sur un plan le point d'in*^ « tersection des projections des deux droites sur le même plan. ».

La proposition est vraie pour deux lignes quelconques, planes ou à double courbure, qui se coupent ou se touchent. Si elles se touchent, la projection de leur point de contact est le point de contact des lignes qui en sont les pro* jections.

la base du cylindre. Éliminant i^^ on a pour l'équation de la projecUon de Tintersection da cylindra et de la sphère snr le plan des xy :

Cette équation appartient à une parabole dont le sommet S est à une distance OS du centre Q , égale à

.tîliOMSTRrE DESCRIPTIVE.^ I l3

Cette seconde proposition, <r Des :droiies paraUeles ont pour projections de^ droites paralCèles j » est applicable aux deux modes de projections orthogonale et oblique, pour lesquels les lignes de projection sont parallèles; elle n*a pas lieu pour la projection perspective.

On a fait voir ( art. 7 ) que dans la projection orthogonale, les deux projections d'un point sont placées sur une droite perpendiculaire à Tintersection commune des deux plans de projections, en supposant que ces deux plans se confondent en un seul , après avoir tourné autour de la droite suivant laquelle ils se coupent. Cette proposition n'est pas applicable aux projections oblique et perspective. La suivante (art. ai) n'est encore vraie que pour la projection orthogonale : oc Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan P, la projection de «c la droite sur un plan quelconque F, est perpendiculaire à la droite intera section des deux plans P et F. » Les deux modes de projection oblique et perspectiue ont pour bases , les deux propositions suivantes :

L a Toutes les lignes tracées sur un cylindre étant projetées sur un plan pu m toute autre surface , par des droites parallèles aux arêtes du cylindre , la ligne € d'interseotion du cylindre et de la surface de projections, ainsi que toutes les « lignes du cylindre projetées sur cette surface, coïncident en totalité ou en f partie. 9

IL <c Toutes les lignes tracées sur un cône étant projetées sur un plan ou toute « autre siuface^ par des lignes concourantes vers le sommet du cône, la ligne « d'intersection du cône et de la surface de projection, ainsi que toutes les lignes « du cône-projetées , coïncident en totalité ou en partie. »

L'emploi des projections, oblique et perspective, conduit dans quelques cas particuliers à des solutions plus élégantes que celles qu'on obtiendrait par la méthode des projections orthogonales ; en voici quelques exemples.

De r intersection de deux cylindres. (PL afi, fig. 3.)

199. Lorsqu'un cylindre et une autse sur&ce quelconque définie se pénètrent, on trouve leur ligne d'intersection en coupant les deux sur&ces par une suite de plans parallèles , et les points où les sections contenues dans un mémç plan se rencontrent , appartiennent à la ligne suivant laquelle les deux surfaces se pénètrent. En projetant les sections sur un plan fixe , par des droîtçs parallèles à la génératrice du cylindre, la projection de la section du cylindre sera constante; celle de la section de la surface qui pénètre le cylindre, sera variable pour chaque plan coupant; mais les parallèles aux arêtes du cylindre, menées par les points où ces projections se couperont, contiendront les points de la ligne d'in* tersection des deux surfaces ; et comme ces points se trouveront aussi sur le plan coupant^ ils seront déterminés. Supposons qu'un cylindre dont la généra-

Il4 GÈOmiLTlELlE descIiiptiVe.

trice. est horizontale,. soil pénétré par un autre cylindre incliné; nous allons construire leur ligne d'intersection , et la section du second cylindre par un plan perpendiculaire à sa génératrice.

aoo. Soit CD Taxe horizontal d^iin cylindre à base circulaire; AB la (racé horizontale d'un plan vertical qui coupe ce cylindre suivant un cerclé du rayon AC ou BC. Le cylindre horizoîital est pénétré par un cylindre oblique dont la base circuIairey'g'A' est dans un plan verticaiyi^; le dîàmètrey 'A' de cette base est distant du plan horizontal de projection dé la hauteur verticale fjf' ou hK. Les projections horizontales et orthogonales des arêtes du cylindre oblique, qui passent par les points^ ', h\ sont les droites /P, AH. Ces arêtes sont dans un plan incliné qui coupe le |>Iaii' horizontal de projections suivant la droite FH. Un plan verticaiyTF tourne autour' de^'sa trace horizontale y F comme charnière , pour s'abattre siii' le plan horizontal'; c'est à ce premier plan qu'on rapporte les points de l'espacé par âès lignes obliques. On prend pour lignes de projection des horizontales patallèleâ à la génératrice du grand cylindre horizontal ; toutes les lignes dé ce grand cylindre se projettent siùvant la courbe FLF, qui résulte de son intersection parle plan vertical de projections /FF. La hàse/''gh' de ce cylindre se projette sur le plan y^FF,' suivant la droite^g' perpendiculaire àyi '; en sorte que le diamètre horizontal /%' a pour projection oblique le pointy de la droite^, qu'on détermine en faisant^" =^''

L'hypothénuse Ff" on triangle rectangle Fj^" est la projection oblique du parallélogramme, qui a pour côtés opposés les horizontales FK, y A'. Portant e'g tnf^^y et menant la parallèle ^h à/T, la projection oblique de Tintersection du demi-cytin(h*e khdise/*'gk\ est la portion FA de la courbe FLF; cette intersection a de plus pour projection horizontale orthogonale ^ la courbe FKH que nous allons construire. Les points F et H de cette courbe sont déterminés sur l'horizontale AA', par la rencontre de cette horizontale et des droitesy*F, AH. Pour avoir un point intermédiaire M sur la droite MN parallèle à F/j on considère cette droite MN comme la trace horizontale d'un plan vertical , qui coupe suivant Nm le plan du cercley gh\ Portant la verticale N/w sur^ de^en m\ et menant la parallèle wW à F/*", qui rencontre la courbe FA en m\ on abaissera de ce point m" la verticale m'^fi, et par le pomt /a dé la droite F/^ on mènera la jparallèle /iM à FH, qui coupera la droite NM au point M. Un autre plan coupant MTÏ', paraUèle au plan vertical MN, donnerait un autre point M' de la courbe FMM'H. , . -

aoi. I^ projection oblique de la section droite ou arc droit du petit cylindre

BxacAiPTitcw Ii5

à h2Lse/^gh\ est sur le plan- de projections/FF, une courbe pqr qu'il s'agit de construûrei Le plan de cette section droite a pour trace sur le plan horizontal de projections, la droite PQ perpendiculsrâe aux parallèles^ H&, At'IT.tJn pian vertical quelconque WJf' coupe le cylindre et te plan de Tare droit suivant deux droites qui sont perpendiculaires entre elles dans Tespace, et dont les -projectioïis obliques sur lé plan vertical/T se coupent aussi à angle droit : or la pro* jecûon oblique de la droite du cylindre sur le plan vertical /*F est mW; celle du point R est R' ; donc si du point R' on abaisse la peipendiculaire RV sur m'm'\ le pied / de cette perpendiculaire appartient à. la projection oblique grp de Tare droit. r

La projection oblique du point Q est Q'; les projections obliques de$ d^ux arêtes du cylindre contenues dans les plans verticaux^F, AH se confondent en une seule droitey "F ; d*où il suit que le$pe^p^dicùlâires Q'^, ¥p abaissées des points Q' et P sur Ff% déterminant ^les points ^^ q àe la courbe prç.

C'est au moyen de Tare droit, du petit ^cylindre pblique , qu*on obtiendrait lé développement de ce cylindre^ ft qu'on y |rappprteraj|t (es lignes déteirminées par les deux {Mx>jection$,rune verticale obj|ique| et Vautre horizontale orthogonale. L'épure relative J| la voûte <j|;u'oii nomme 'décente biaisa rachetant un betcehu^ et que nous avon^ ex^pliqu^edaiis uùti^e^^^rsde,S/éiéotomie k l'École Polytechnique< se construit de deux, .m^ni^re^ ; Tunexi^ la ^rojectiou^ orthogonale, et l'autre par \à projectiej} oifigM^;. Ij'intérieur dp^ççtte^ formé de deux cylindres

il bases circulaires, et on ti?<^uve^i;<^|es les^ lignes nécetssaires pour le tracé de la voûte , par la n^élhode que nous, vcjiions d'exposer.

- De hprq/ectiohperspecHvfyr^Exémp kypl- aa* .

. âoa. Un^cône et uhié '^iMâ^ce de révblùiibh se pënètrént ; on propose de construire léiir'R^iiè 'k\Àkiimo\ii '^^'^^^^-^-^^ ^'^^ 'f\' . Les deux ixàîïéei liMii (ciôùjïêefe^j)^? li/iif *èhïté de plans perpendiculaires à Taxe de révôlûtiôii ; on • considère laf ieiîtioii^^^ faite par un plan quel-

conque de cette série comtore ta Wâ^e du cône ^ *fet on projette sur ce plan les sections circulaires de ta suif ace de révocation par des Trgnes concourantes vers le sommet du cône. Les projections Ati sectioi^ circulaires sont évidemment d'autres cercles parini lesquels 6^' distingue ^ceux qui' rencontrent la base du cône, par le point où'l|un dié ces éèrttes bôii^^ base dû cône, on mène une * arête de cône, qui renbonbe là section ^cifbùlâîi^ d là surface de révolution dont ce cercle est la projectioli perspective, et le point (ïe rencontre appartient à l'intersection de cette sur&ce et du cône.

Jl6 CiOMliTBtE bBSCaiPTITE.

Explication de la Jig. 4> pi- aa.

fio3. Le plan horizontal de projections , perpendicakûre à Taxe de la sur£u:e de révolution, coupe le cône suivant ia lign^ BCO. Prenant la droite XY pour Tintersection. des deux pians de projections horizontal et vertical, le soœinot du cône est donné pour ses deux projections olrthogonaies K et a. On mène par Taxe de l'évolution (F,^) un plan méridien parallèle au plan vertical de pzQjections » dont la trace ^YH est parallèle à la droite XY. Ce plan méridien coupe la surface de révolution suivant la ligue^'^ , génératrice de la sur£aicé ; cette génératrice est, par exemple, une ellipse qui tourne autour de son grand axe^. Un plan horizontal quelconque, dont la trace sur le plan vertical de projections est ghy coupe L'elUpsoide de révolution suivant un cercle du diamètre gh ^ dont la projection hori^oontale est un autre cercle ^o'K du di£^mètre^/f'=^>i, qui a pour centre le point F. Le plan de \tToytcXigya& perspective étant celui de la base BCD du cône, on projette le cercle {^ghy ^oh) par des droites coucou* rantes vers le sommet (A, a) du cône; la projection perspective de çè cercle est un. autre cercle du diamètre GH == G'H', dont le centre K est TinterseçtiQ^i di} plan- horizontal de projectioos, et de la droite (AFR, €to!^) qui joint le sommet flu cône et le centre du cercle à projeter. Le cercle GHMN coupe la. base BCD du cône aux points M, N; les droites menées de ces points M, N au sommet (A, a) du cône, rencontre le cercle {gohy ^o'h) de la surface de révolution wx deux points (M',/n'), (N', ri)^ qui appartiennent à la ligue d'interseçtÎQn du cône et de l'ellipsoide de révolution.

Considérant d'autres plans parallèles à ^A, et perpendiculaires à Taxe derévo* lution, on trouverait tant d^autres points qu'on voudrait de Tintersection des deux surfaces données.

S'il s'agissait de trouver Tintersection d'un cylindre et d'une surface de révolution, on substituerait à la projection perspective la projection oblique, en prenant pour lignes de projections des droites parallèles aux arêtes du cylindre. On trouverait par les mêmes considérations, l'intersection d'un cône ou d'un cylindre par une sur&ce qui aurait pour génératrice une courbe plane de forme constante ou variable, dont le plan se mouverait parallèlement à luiméhie.On prendrait pour base du cône , la section de ce cône par un plan parairallèle à celui de la couii>e mobile. Dans le cas le plus général, où la surface serait engendrée par une ligne quelconque variable de forme et de. position, on couperait cette surface et le cône par une suite de plans parallèles à un plan fixe pris arbitrairement , et laprojeetion perspective de chaque couple de sections déterminerait des pçints de la ligne d'intersection du cône et de la surface.

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