EST UNE COURBE PLANE DU MÊME DEGRÉ

i85. On appelle surface du second degré celle qui jouit de la propriété d'être coupée par un plan quelconque suivant une courbe du second degré, c'est-àdire suivant une ellipse, une parabole ou une hyperbole. {Voyez note i, p. 44)- J'ai fait voir que les surfaces du second degré se divisaient en cinq espèces que j*ai nommées : eUipsoide^ hyperboloide à une nappe ^ hjrperboloide a deux nappes ^ paraboloide elliptique^ paraboloide hjperboUque.Ces espèces comprennent, comme cas particulier, la sphère, les cônes et les cylindres à bases circulaires, droits ou obliques , Thyperboloide de révolution. On a considéré ces dernières surfaces-dans les chapitres de ce Traité, relatif aux plans tangens et aux intersectionsde surfaces par des plans. Maintenant nous allons examiner quelques cas particu% liers dans lesquels deux surfaces du second degré se pénètrent suivs^nt une ou deux courbes pLines.

On a déjà vu (art i8i) que deux ellipsoïdes de révolution se pénétraient suivant deux ellipses , lorsqu'ils avaient même centre , et lorsque des plans menés par ce centre perpendiculairement aux deux axes de révolution, les coupaient suivant des cercles égaux.

On conçoit facilement deux cylindres, Fun droit, qui a pour base un cercle^ Fautre oblique, qui a pour base une section elliptique du premier cylindre; cette ellipse est évidemment la ligne d'intersection des deux cyUndres i^g. a^pL 19, art. 161). D'autres exemples, que nous allons rapporter, se présentent fréquemment dans les applications de la géométrie descriptive.

De la pénétration de deux sphères.

186. Deux sphères de rayons quelconques qui se pénètrent, se coupent suivant un cercle. En effet, chaque point de la courbe d'intersection est le sommet d'un triangle qui a pour base la distance des centres des deux sphères, et pour côtés les rayons de ces sphères : or ce sommet, en tournant autour de la droite des centres , passe successivement par tous les points de l'intersection des deux sphères; donc cette intersection est un cercle dont le plan est perpendiculaire

k la éioitt Aeb tmXHB » et dont le ràjùtt Mt la tMifeur da trîâtigie fx>tts(atit, fdtmé pat U droite des centre» pritfe pôw boto) et pw les rayons des deuk sphères.

Un plan est une sphère d'un rayon infini ; donc une sphère et un plan se coupent toujours suivant un cercle. Un démontre cette proposition directement en supposant qu'on ait mené par le centre delà sphère, et par une perpendiculaire abaissée de ce centra sur le plan donné, une suite de plans qui coupent la sphère suivant un grand cercle , et le plan donné suivant une droite ; en ne ]0oMÎdéraïit de<:ette droite que la portion qui jert de coxde à ce grand cercle, Iesde4x.ex4r4iniités de cette corde appartiennent ii la ligne d'intei;âection de 1^ sphèrç e^ du plan : or, dans tous les plans ançans y les cordes du grand cercle de la sphère situées dans le plan donné, sont de même langueur; donc ces cardes sont les diamètres du petit cercle d'intersection de la sphère et, du plan*

Ainsi, lorsqu'un plan coupe une sphère, la section est un cercle qui a pour centre le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère sur cç plaiL Réciproquement» la droite qui joiut le centre d'une sphère et le centrç d!un petit cercle de cette sphère, est perpendiculaire au plan de ce petit cercle.

Lorsque deux plans coupent une sphère suivant deux petits cercles » les centres dô ces cercles et le centre de la sphère déterminent la position d'un troisième plan perpendiculaire aux deux premiers. Cette proposition est une conséquence d^ la précédente, puisque les droites menées par le centre de la sphère. et par les centres des petits cercles de la sphère, sont perpendiculaires au plan de ce$ petits cercles*

. De la fiinétr^uion d*une sphère et d^ua cône oblique* (Jîg, j, s'^pL i8).

187. Le somniet du cône oblique étant donné hors ou dans l'intérieur de I9

sphère, et supposant qu'il a pour base un petit cercle de cette sphère, la péné*

tration totale sera composée de deux cercles , dont l'un est par hypothèse la base

du cône. Nous allons d'abord démontrer que par deux cercles quelconques d'une

sphère, on peut faire passer deux cônes obliques.

Qu'on imagine par le centre O de la sphère et par les cen très E, Fdes deux cercles

donnés , un plan qui coupe la sphère suivant un grand cercle ABCD {pL 1 8,y^. s)j

et les plans des cercles donnés, suivant les droites AB, CD; les cordes AB et CD

du grand cercle ABCD étant les diamètres dès cercles donnés , on joindra les

extrémités de ces cordes par deux droites AD, BC, qui se rencontrent en G, ee

par deax autres droites AC, Bp, qui se croisent au point O'. Les point G et 6^

seront les sommets de deux cônes obliques menés par deux cercles qui ont

pour diamètres les droites AB, CD^ et dont les plans sont perpendiculaires au

plan des trois ôehtres O, £, F. Pour démontrer cette proposition, adm^tton^ ecmune une propriété comUe du cax^e, qu'une qorde et un diamètre étant per^ pendiculaires entre eux, la corde divise le diamètre en deux partie»! telles cjue Ja nieatié de la corde eat moyenne proportionnelle centre les deux parties du diamètre. Ajrant inen4 la droite GIK. qui cbnpe les tmim AB et 'CD ^ux ponitf I et K, et regardant eette dro^ comme la projection d'une aréto du Pon« oblique dont le sommet est en G ^ il s'agit de &ire voir que cette arête s'appuie à la fois sur les deux cercles qui ont pour diiimetres les oordes A9 et Cl).

Supposons qu'elle passe par le point du cercle du diamètre CD, qui se projette en I star le plan des Uois e^^tres £» O, F; la demi^^orde de ce cercle, œnée parce même point perpendiculairement au diamètre BD, e«t moyenne proportionnelle entre les deux partie C{ , pi de ce diamètre. Ayant mep^ par le point I la droite UM pamllèle à AB« les deux triangles pil^; WC sont senw blâmes ; car les angles BAJ> et [)CG ou DÇM , qui ont chacun pour mesure U demi*somme des arcs BC> CI> sont égaux i mais langle BAD est égal à l'angle MLD; donc les deux triangles DUL, MIC ont trois angles /égaux* L^r similitude donne la proportion ]>I;IL :: IM : IC; d'où il suit que JH kIC ;=p III x IM- Ainsi la demi-corde au point 1 est moyenne proportipunelle non-seulement entre le^

droites DI et 10 , mais encore entre les parties IL et IM de la droite LM ; donc elle est ansst la corde du cercle qui a pour dîainètre la droite IM9 et dont le plan-est perpendieidaîre k edut des leois eenlres E^ O, F; mais dans un eone wmfM dans ooe pyramide , toutes lt& seettons parallèlias sont semblablci t donc le plan mené par AB perpendicubirement au pian des trois centres Ë.9 0« F» eoupe Je cône dont le sommet est en G, suivant le cercle du diamètm AB. On démon-* trerait de la même manière que la droite ^icpii a pour projection sur le plan des trois centres E, O, F, lajdroite TG'K', s'appuie sur les deux cerdks des dia-r ittètres AB et CD; donc par deux cercles quelconques donnés sur une sphère , on peot mener deux cônes obliques, dont les sommets sont sur le plan cpû pasie par le centra de la sphère et par les centre» des cercles donnés.

f 88. Réciproquement étant donnés^ un cercle d$ la sphère, et un point au ddbom de. cette sphère, ie cône oblique qui a pour base le cercle «t pour sommet ie poîm:, passe par un socomi eerde de la spbère dont le plan serait peiyendiridaire à œini qu'on mènerait par le sommet du cône , le centre de U sphère et le oBsotre dm oéncile doimé^ Ce plan eoupe Je oône suivant deux arêtes^ et l'angle compris entre ces deux antes est ce qu'o^ nomme Ja si^donprinci^ paie du cône oblique. Cette section jouit de la propriété que l'une des deux

arêtes qui la formant, £iit arec tel fJam à^ deux settî^ns circulaires du cône, des an^ qui ^m ^éral dîffînent nntre euXf et qw» dans U>w lei qas? wnt

égaux aux angles inverses de Tautre arête de la section principale avec les deiix mêmes plans. Dans hjig' s , l'arête AG fait avec les plans des cercles ÂB , CD , des angles égaux à ceux que Taréte BG fait avec les mêmes plans CD , AB ; ainsi étant donné un cône oblique du second degré, on voit d'après ce qui précède qu'il peut être engendré par un cercle de deux manières différentes , et qu'il n'y a aucun point par lequel on ne puisse mener deux cercles situés dans des plans perpendiculaires au plan de la section principale du cône y et diversement inclinés par rapport à chaque droite de cette section.

1 89. Les plans de deux cercles d'une sphère létant parallèles , le cme qui jpasse par ces deux cercles, d'oblique qu'il eût été avant le parallélisme, de* vient un cône droit. Lorsque les deux cercles sont de même rayon et dans des plans parallèles , le cône droit se transforme en un cylindre droit. Une sphère étant traversée par un cylindre à base quelconque , la courbe de pénétration est composée de deux branches égales et symétriquement placées par rapport au plan mené par le centre de la sphère perpendiculairement aux arêtes du cylindre ; car il est évident que ce plan divise en deux parties égales toutes les cordes de la sphère dirigées suivant les arêtes du cylindre.

190. La proposition qui vient d'être démontrée (art. 187), est une conséquence d'une autre plus générale. En effet, l'intersection de deux surfaces quelconques du second degré qui se pénètrent, est en général composée de deux branches ; en supposant que l'une de ces branches soit une courbe plane, l'autre branche est encore nécessairement plane. On démontre cette proposition par l'analyse , et on en veiTa des applications dans la théorie des ombres (livre a, chap. a).

L'intersection d'une surface quelconque du second degré par un plan , est une courbe du second degré qui jouit de la propriété de ne pouvoir être coupée par une droite qu'en deux points. £h admettant cette propriété , on voit que tout plan qui coupera une surface du second degré suivant une droite, passera par une autre droite de cette surface , de sorte que le système de ces deux droites sera la section totale de la sur£aice par le plan. C'est par* cette raison que Thyperboloide à une nappe et le parabolqïde hyperbc^ique peuvent être engendrés par une droite de deux manières différentes. Le plan qui passe par une droite du premier système de génération , contient nécessairement une seconde droite appartenant au second système.

191. Il peut arriver que le cône oblique qui coupe une sphère, ait pour sommet un point de cette sphère; alors l'un des cercles d'intetsecticn de ces deux

GiOM^TEIE DESCRIPTIVE. IO9

surfaces est réduit au point qui est le sommet du cône. Supposons que la droite AB {pi i8 ,^g^. j) et le point O restant les mêmes , la droite DC diminue de grandeur en restant parallèle à elle-même , elle se réduira au point H qu*on prend pour sommet du cône , et qui appartient à la circonférence ABCD : or dans cette hypothèse , Tes droites OH , OF se confondront ; donc tout plan perpendiculaire au rayon de la sphère mené par le sommet du cône, coupera ce cône suivant un cercle; ce qui peut encore être démontré de la manière suivante. Soit âCQ {pL iS^./^'. /) la section principale du cône oblique, qui a son sommet au point C de la surface de la sphère, et pour base le petit cercle du diamètre AB ; le plan PQ perpendiculaire au rayon OC de la surface de la sphère , coupe le cône suivant un cercle du diamètre RS, car les angles des arêtes AC , BG avec le plan AB, sont évidemment égaux aux angles de Ces mêmes arêtes BC, AG avec le plan PQ ou RS (art. 187) ; donc AB et RS sont les traces des plans perpendiculaires à la section principale du cône, qui coupent ce cône suivant des cercles. C'est sur cette propriété du cône qu*est fondée la construction des cartes {géographiques, dites stéréographiques ^ que nous expliquerons liv. 11, chap. m, iie la Perspective.

%. Vf* DU CHOIX DES PLA.irS DE PROJECTIONS; DISFIirmON Et USAGE DE DIVERS