CHAPITRE PREMIER
Des lieux géométriques et de leur usage vour résoudre diverses questions.
1. La Gëemétrie élémentaire offre plusieurs exemples de lieux géométriques. Lorsqu'on demande un point situé à des distances connues de deux droites, données sur un plan, on trouve ce point par l'intersection de deux droites, dont chacune est un lieu géométrique du point demandé. La parallèlp à une: droite donnée, menée à la distance connue de cette droite à un point inconnu, contient évidemment ce points et par cette raison en est le lieu; une autre parallèle à la seconde droite dojmée, est encore le lieu déterminé du |>oint demandé ; d'où il suit que ce point est à l'intersection des deux parallèles. Connaissant les distances d'un point à deux points fixes et donnés, ce point a pour Ueux géométriques deux circonférences^ décrites de» points fixe& comme centres, avec des rayons égdux aux distances données. Ces cir^cmférenjces se coupent en deux points, dont chacun satisfait à la condition d'être aux distances connues des points donnés. Dans un triangle dont les côtés et Fangle opposé à ce coté sont constans , le sommet de cet angle peut prendre diverses positions , et le lieu géométrique de ce sommet est un arc de cercle, qu!on nomme \arc capable de Fangle opposé au côté donné du triang}e^
Il8 oiOMÉTRIE DESCEIPTITE.
Enfin la solution de cette question si intéressante pour les commençans ^ faire passer un cetxle par trois points y est fondée sur cette considération, que le centre du cercle demandé est l'intersection de trois perpendiculaires, élevées sur les milieux des trois droites qui joi^ent deux à deux les trois points donnés. Chacune de ces perpendiculaires est un lieu géoméirique du centre.
En général , on appelle lieux géométriques d*un point, les lignes ou les surCsices qui contiennent ce point , et lieux géométriques' ^unt ligne, les surfaces assujetties à la condition de passer par cette ligne. Lorsque les lieux géométriques d'un point sont des lignes, deux de ces lignes déterminent le point ; lorsque le point a pour lieux géométriques des sur&ces , trois de ces surfaces sont nécessaires pour le déterminer. Les exemples suiyans feront voir de quelle manière on doit procéder pour résoudre les problèmes de géométrie à trois dimensions, par la considération des lieux géométriques.
PROBLiMB I*'. {PL a3.)
Construire le point dont on cormaît les distances 2i trois points donnés ? ( PL nS , fig. i«)
a. Solution. Tous les points également distans d'un point donné, appartiennent à la surface d'une sphère qui a ce point pour centre. Considérant les trois points donnés comme les centres de trois sphères qui ont pour rayons les distances connues de ces trois points au point inconnu , chaque sphère sera le lieu ^géométrique de ce dernier point. Deux sphères se coupent suivant un cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite qui joint les. deux centnes; d'où il suit que les trois sphères se couperont deux à deux, suivant trois cercles. LestjJa^S. de ces trois cercles passant par une dioite perpendiculaire }auplan;des centres des trois sphères, cette droite coupe obaotm des 4l:aisi cercles aus deuK mêmes points, qui satisfont l'un et Vautrera kcaiidj^ndrétreà'desdislanoMisQonues des len^ points donnés. .'i.,. ;•>•. -,? w:n y . t'^-o-. • •' -^*\\t " ■
Explication é^xio^^lk/ ï{^ pùriÂ^é /.:.^.A>n '
3. Soient A, B , C les trois points akAmés; D^ Bf^ Hf' ies/distâneesioonnoes d'un quatrième- point aux trois premiers; on prend pour plan horizontal de projections le plan des trois points donnéà^ .et ponwplaii^yettical un plan XY perpendiculaire à la droite BC , qui joint deux des points donnés B et C. Des points À^ B, C
comme oenTres, avec dés. rayo«»3<éga<ixlatiE'^^lwtanoeSrCOunqes D, DVD^^ on décrit trois cercles qui se' coupeut . deu^ >ti iteitft^sruivaqt les trois cordes £F, GH , IK, lesquelles se coupent au>méiiieiprâit.M. Ges/ÇODâesisoirt aussi les traces horizontales des plans verticaux qui .^xmttetuient les* oerclès d'iatenec*
GIÊOMETRIB DESCHIPTIVS. UU
tian <]ied spbères; dV>à il :&uit qae ces plans se coupent suivant la droite verticale (M, mm') ; ot cette droite coupe en deux points le cercle du diamètre IK, intersection des sphères qui ont pour centres les points B et C; donc les points (M, /7i), (M, 77/) seront aux distiatfices données des trois points A, B, C.
Pour constrùil^ les projections «verticales 7», wl^ des deux points qui satisfont aux conditions du .problèr»'e:, pu décrit du point c de la droite XY, qui est sur le prolongement dèJa dmite BC, la circonférence du diamètre A = IK; cette circonférence est rencontpée par la perpendiculaire lAm à XY, aux points m et ni.
PROBLiME a.
Déterminer le centre et te rayori^d^un*- spHere qui passe par quatre points donnés?
(PI: a3, fig. a.)
4« SobiUon. On joint les quatre poihts donnés deux à deux par six droites, et on conçoit six plans perpendiculaires à ces droites, élevés par leurs milieux. Chacun de cets plans aûra^ous ses points à égale distance des deux points de la •droite à laquelle il est perpendiculaire; il sera donc un lieu géométrique du centre de la sphère demandée , puisque ce centre doit être à égale distance des quatK points donnés. Trois des six plans qui déterminent par leurs intersections le centre de la sphère , sont perpendiculaires à trois des six droites qui joignent les quatre points donnés ; mais il faut remarquer que ces trois droites ne peuvent pas être prises arbitrairement. Lorsqu'elles sont dans le même plan, ou, autrement, lorsqu'elles comprennent une face de la pyramide triangulaire formée par les six droites, les trois plans perpendiculaires aux trois cotés d'une iace passent par la même droite ; cette droite contient le point, mais sa position sur cette droite reste indéterminée. EUe sera au contraire déterminée , si les trois droites appartiennent à deux ou trois faces de la pyramide ; alors le plan perpendiculaire à l'une des droites , coupera nécessairement la ligne d'intersection ^es plans perpendiculaires aux deux autres droites, et le point d'intersection sera -le centre de la sphère demandée. La droite qui joint ce centre et un quelconque des quatre points donnés , est évidemment le rayon de la sphère^^
Explication de lajig. !à,/>/. 23.
5. On prend pour plan horizontal de projections trois des quatre points <kmnés^ et, pour plan vertical de projections, un plan parallèle à l'une des droites menées du quatrième point donné aux trois autres. Soient A, B, C tpois points donnés sur le plan horizoutaUie quatl*ième poiiat (D, d) est projeté en^
sur un plan vertical XYc. parallèle à la dnnte BD. En joignant les trois pofU|s A, B, C par trois droite», et prenant leurs mibeux £, F, G, les trois plans perpendiculatres à ces droites menés par les points £, F, G , se coupent suivant une verticale M, qui est un lieu géométrique du centre de la sphère demandée.
Le plan mené parle milieu (K j k) de la droite (BD, èd)^ perpendiculairement à cette droite, étant perpendiculaire au plan vertics^l de projections, la trace verticale k/i du premier plan sur le second, est perpendiculaire à la. droite bd. De plus , cette trace passe par le milieu ^^ de .la droite àd; sa position est donc déterminée. La projection verticale du centre de la sphère se trouve sur la droite hh', puisque ce centre est dans un pljui perpendiculaire au plan vertical , qui a pour trace cette droite hh'; mais le centre de la sphère est aussi sur la verticale M, dont la projection verticale est. mm'; donc le point -^ intersection des deux, droites kh' , mm' est la projection verticale du centre de la sphère. Le rayon de cette sphère sera égal à la droite (MBymb) qui joint le centre (M, m) et un point (B , 6) donné. Portant MB en m'6' sur !2(.Y, l'hypothénuse mb' du triangle rectangle mm'b' sera la longueur dti rayon de la sphère. Des points M et m comme centres, avec le rayon MB :==:mb\ pp d^qril deux, cycles, qui sont les projections des deux gnuni^s cer^l^çs de Jbi^ sphè^^^ l!iw, horiwntal et Tautre vertical , et sont aussi les limites des pro))M:^qi^s. de cetf^ sphère.
PROBLÈME .3*t • i r<
Trouer k centre et le rayon d une. ififùay^in^çr^ A^^/SP^WI^ tnangulmte
6. Solution. La sphère inscrite à une pyramide triangulaire est tangente aui: quatre plans qui comprennent cette pyramide : or le centre d'une sphère tai^ gente à deux plans , a pour lieu géométrique un. troisième plan qui cbidse. en deux parties égales Tangle formé par les deux premiers ; car ce troisième plan contient tous les points à égales distances de» deux autres; donc si Ton divise en deux parties égales chacun des six angles dièdres intérieurs de la pyramide. trianguilaire, ou aur%.six plans dont trcns détermineront le centre de la sphère, pourvu que ces trois plans ne passent pas par Tun des quatre sommets de la pyramide triangulaire donnée. ,
Considérant une face quelconque de la pyramide, et les trois angles dièdres adjacens au plan de cette &çe, les trois plans qui divisent ces angles en deux parties égales forment une secpnde pyramide dont le sommet €»t le centre de la sphère insci*ite à la première pyramide^ Si les trois angles dièdres divisés eh parties égales avaient un sommet commun, dans ce cas les plans de division
liiasseraienfc par 'une même droite^.ae formeraient pas une nouvelle pyramide, et la po«iltQn du ceiilane dié la sphère aur la droite interoecttoQ des trois plans , TCiteiait iad^eribinée*
• 7. On prétid pour pîan horizontal de projections celui du triangle ABC, base de la pyramide donnée, et pour Tintersection des deux plans de projections^ une droite quelconque XY. Soit (D ,^ le sommet de la pyramide; les trois faces adjacentes à la base ABC , font avec le plan de cette base des angles qui se me<surent danâ lés plans verticaux DE,'DF, DG respectivement perpendiculaires aux côtés AB, BC, AC du triangle ABC. Portant ces droites DE, DF, DG en Vfe\ Vlf*^ IXg', et menant les droites de\ df, d^^ les trois angles dièdres adjacens à la base ABC, seront égaux aux angles dé t)', djTO^ dg'Vl\ divisant chacun de ceux*ci en parties égales par les dtoites éé*, /y% ^g'*\ on aura les trois angles dièdTes'd'ûne nouvelle pyranlide qui a même base ABC que là pyramide donnée, et dont le sommet (^9 â»') est le centre de la sphère demandée. Pour construire ce sommet; on coupe les trois plans qui comprennent la seconde pyramide par iinpian horizontal quelconque^ dont la trace sur le plan vertical de projections est la droite ^r^.Cette droite coupe les lignes e'é'j/'f^ ^^ en trois points ^',/^'g^i dont les distances à la droite lYâf sont connues. Portant ces distances ^d^J^'d^^d sur les droites DE, DF,, DG de D en f ,. ^9 7, et menant par ces derniers points des droites fB'9 ^C, 7 A' respectivement parallèles aux côtés AB, BC, CA, du triangle base des deux pyramides, ces droites se couperont en trois points A^ Ht C, qui déterminent le triangle A'BC, projection horizontale d'une section horizontale. d^. la seconde pyramide. Joignant les sommets des angles égaux des deux triangles semblables ABC , A'B'C par les droites A A', BB', CC', ces droites seront les projections horizontales des trois arêtes de la seconde pyramide , qui se coupent au point tè projection horizontale du centre de la sphère inscrite à la première pyramide. L'une des trois arêtes de la seconde étant projetée sur le phm vertical , en cd par exemple, IHntersection de cette droite td et de la perpendiculaire mul à XY, détermine là projection verticale a' du centre de la sphère. Quant au point c', on l'obtient en menant la perpendiculaire CV à X Y, qui coupe l'horizontale ^^ en c . ».
Connaissant le centre (û>9 »') de la sphère, le rayon de cette sphère sera égale à la perpendiculaire abaissée du centre, sur Tune des quatre faces de la pyramide donnée, par exemple, sur. la base horizontale ABC. Cette perpendiculaire est une verticale égale à »> rayon de la sphère. Les cercles décrits des points û>, » comme centres avec ce rayon tsio^ sont les limites des projection? horizontale et - ▼erti^t^ de la sphère inscrite à la pyramide donnée. Des quatre points de
coDtict de la spbcM et dei frcw de la pyramide, on coniiAit celui (ml) qm est ^ur le plan horiziKitad de profecàona; pour obtenir les IMÎS aittres, on Mtfiar* quera qu'ils sont les pieds des perpendiculaires abaissées do centré (a», s^) sur les trois latces de la. pyramide dont les plans ont pour traces borisontales les droites ÂB, BC, CD. Abaissant, du point mies perjpendiculaires s»H, «I, «J sur les c6tés AB9 BC, CA, ces droites contiendront les projections horizontales K , M, N des trois points de contact* Pour construire les projections verticales A, m^ n^ h par exejnple, on conçoit le plan vertical â»H ramené en i»lS parallèle à la trace XY des deux plans de projections* Ce plan vertical coupe la face de la pyramide adjacente au côté AC de la ba^e, suivant une droite Kk. parallèle kgd^ Abaissant du point V la perpendiculaire juIU sur dh!% et portant la distance kl du point kk la verticale oA^'^de a» en &, le point K projection horizontale de Tun des points de contact sera déterminé. La perpendiculaire Kâ à XY et l'horizontale kl se coupent au point k pojection verticale du même point de contact. On construira de la même manière les deux autres points de eon* tact (M, ot), (N, »).
Les perpendiculaires abaissées du centre de la sphère sur les faces de la pyra^. mide donnée, sont égales comme rayons de la même sphère; ainsi la droite m'k =^mo, et la droite^'^ qu'on a menée parallèlen^ent k.^d est tangent^ au cercle décrit da point cà' comme centre, avec le rayon ùê'o.
PROBLÈME 4- ^£ l'A PYRAMIDE TRI AKCtTt AIRE. (PL ^4.)
Enneœnsidérantdcms une pyramide triangulaire que six angîesy sawir^les caigïeà des trois arêtes qui ont pour sommet commun le sommet de la pyramide ^ et les tmgïes^ dâdres formés par lès trois plans des arêtes^ on propose^ troisdessix angles etani donnés y de trouver les ifois autres ?
8. Solution. On distingue les angles formés par les arêtes , des angles dièdres, en nommant les pvemiersjjaces de la pyramide, et les seconds angles de la pyra* mide. Les combinaisons trois à trois des six angles d^une pyramide , abstractiooi £iite de labase, sont au nombre de six, savoir :
1^ Trois faces;
^^ Deux (aces et un angle compris entre cea deux faœsf
3^ Deux Ëices et. un angle opposé à Fune de ces &ces;
4^ Une face et deux angles adjacens à cette face;
5^ Une face et deux angles , dont un^seulement est adjacent à la face;
6^ TrcMS angles^
En supposani; qu'on ait donné les trois angles désignés dans Tune quelconque des, six combinaisons précédentes ^ il s'agit de trouver les trois autres «nglea
jaécesss^i^ po«ir compléter la p^nmidej «e ijui piésti^be six qvMliDM qe'oii peut réâoudK dûeune 9épacém&eA^ mais <{«fc'oii> peut iiéditire à faraîft par U coûstdération <le la pyramide rapplémenlaire* JSmm aUawi d'abord expliquer comment 4m fotme ^tte pyramide; eosmCe nousf dbnnepoBS pour chaque question une ;iolutioti ^directe et indépead^ate de la pjriiamide suppiémetitaîre. .w * >
9^/GQQSÎdérant dans, une {pyramide lès tapais, arétea qui se réotitssent à soh tommet, on forme une seconde pyramide, eu menaat trob pians respective* mept'peiqpeiidifiulaires aux th>is wétes de la première. Les angles et les &ces de cette nouvelle pyramide ont pour supplémens les feces et les angles de la pyramide doot elle ^t dérivée» et par cette raison, on la nomme supplément tcUre. Les plans des faces de la seconde pyramide étant perpendiculaires auK arêtes de la première, les plans des faces de la première sont nécessairement perpendiculaires aux arêtes de la seconde; d'où il suit que les deux pyramides :sont réciproquement supplémentaires Tune de Tautre. Avant de démontrer qu'un angle ou une fiice de chacune d'elles , a pour supplément une face ou un angle <le l'autre, nous ferons remarquer qu'en faisant varier les points de l'espace par lesquels on mène, les plans qui comprennent la pyramide supplémentaire , on lait varier la position du sommet de cette pyramide^ mais que les valeurs de ses angles ne changent pas^
10. Soient {pL a4, ^* i) SA, SB deux des trois arêtes d'une pyramide, A et B deux points pris i volonté, l'un sur l'arête SA, et l'autre sur Taréte SB. Les pians menés par les points A et B perpendiculairement aux arêtes SA, SB, ont évidemment pour traces sur le plan des deux aréte^ SA , SB , les deux droites AX, BX. perpendiculaires Tûne à' ta droite SA, et l'autre à la droite SB; or dans le quadrilatère ASBX, les angles A et B sont droits, donc l'angle X est supplément de l'angle S; mais l'angle S est une face de la première pyramide; l'angle X est un angle dé la pyramide supplémentaire; donc ces deux angles S et X sont supplémens l'un de l'autre. Par la même raison, le plan d'une face quelconque de la pyramide supplémentaire est perpendiculaire aux plans de deux faces de la pyramide primitive, et l'angle de ces deux |)lans est supplément de ia face de la pyramide supplémentaire* ) • • •
11. En admettant que tle deux pyramides,. 4oiit la :premîèM est formée par des plans p^endiculaires aux arêtes de la seconde^ l'une quelconque soit supplémentaire de l'autre , il est iacile de voir que les six questions (art. 8) se réduisent à trois. En effet, lorsqu'on donne les trois angles A, B, C d'une pyramide, les supplémens de ces angles sont les trois Êices de la pyramide supplémentaire; or, comuisasMît les jtrôis Êices, on pousra, en supposaiit la pr^^ .des «ix questions (art 8) résolue^ déterminer les trois angtes dièdres^,
opposés aux &MS coimUes; mpisxM angles dièdres sont l«s siipptémeiis des Ùces de là pyramide' dont on a donné les angles A, B^ C ; donc les six angles de cette dernière pyramide seront déterminés^ Ainsi l'on voit que la première et la sixième question se réduisent à une seule; on démontrera de la même manière que la deuxième et la qttatriènie, la troisième* €t la cinquième, se réduisent à deux autres questions ^ donc la solution complète de la pyramide triangulaire ne comprend que les trois problèmes suivans :
i^ Étant données les trois faces d'une pyramideiriangulaire, détermineriez trois angles; v
a^ Etant données deux fiices et un angle £cirmé pM^es plans de ces faces, déterminer les deux autres angles ;
• 3^ Étant données deux faces et un angle opposé à Tune die^ces faces , déterminer les deux autres angles.
Question I'^ — Étant données les trois Jaces (Tune pj/r^mide, détennùier.les .
trois angles,
12. Solution. Les trois faces données étant développées sur un même planv soient (/?/. !i4> jftg- 2.) SA ou SF, SB, SE les arêtes d'une pyramide dont il faut déterminer les angles. Ou suppose les deux arêtes SB, SE fixes dans te plan dé la face BSE, et on fait tournei: les droites SA et SF^ Tune autour de la dieoite SB, et Tautre autour de la droite SE; par ce mouvement 01^ engendre deuxsur&ces coniques droites qui ont même sommet ; la droite intersection de ces deux cônes est la troisième arête de la pyramide* Pour déterminer cette droite, on imagine une sphère d'un rayon quelconque SA ou SF , dont le centre est au poiot S, sommet commun des deux cônes droits; cette sphère coupe le premier cône suivant un cercle du rayon AB, dont le centre est en* B 9 et le second cône suU vaut un cercle du rayon EF dont le centre est en E. Les plans de ces cercles étant perpendiculaires , Vun àla<lroiteSB, etl'autreà la droite SE, ils se coupent suivant une droite perpei^idiculaire au plan de la fjEice BSE; or cette droite .contient les points d'intersection des deux cercles; donc si d^ point B comme. cçntre, avec le rayon AB, oh décrit le cercle AC qui coupe la droite CD perpendicu«laire à ABD au point C, ce point appartient à la troisième arête; d'où il suit que dans le triangle CBD rectangle en D, râhgle.CBDest é^l à i'àïig[Ie cotnpriseritre les faces BSE et BSA. Décrivant dû* p'ôiVit E comme centre avec le rayon EF,* lé cercle FC, et élevant la perpendiculaire DC' à* ÉD, l'angle XsEÙ est égal à l'angle des faces BSE et ESF.
]^3. Att lieu^de développer la pyramide 'SUr ie plan de la fistcè BSE, on aurait pu prendre pour plan de développem^iit celui de la fiice Al^B , où "eelui de la
fi^ce £SF ; el on aurait construit par la méthode exposée dans l'article précédent, Fangle des deux faces ASB et FSE; mais il sera plus simple de concevoir un plan perpendiculaire à Faréte SA ou SF (/%..a), eu un point A ou F. Ce plan coupera les faces ASB et £SF, l'une suivant AG, perpendiculaire à SA, et l'autre suivant FH perpendiculaire à SF. Le plan mftnépar Us deux droites AG,FH coupe la pyramide suivant le triangle.GHK> dans lequel les dotés GR, HK sont égaux aux droites GA^ HF, et dont l'angle R opposé au coté GH est égal à l'angle formé par les deux faces ASS^ ESF.. ., . . » .i - ,
Les droites AB, BI, IF sont les trois côtés d'un autre triangle CBI, dans lecjudl Tangle B opposé au co|é:€r,.est égal à l'aogle déjà trouvé (art. ia)des deux' faces ASB, BSE. - : ,
Les Êtces données de ta pyjpaniide , au lieu d'être des angles aigus, pourraient être des angles obtus; alors lay^. a deviendrait la^^. a {bis) dans laquelle les mêmes points sont marqués des mêmes lettres. ^ ' . '
14. Si d'un point de l'espace on dirige deux rayons visuels vers deux objets ckHerminés, ces deux rayons et la verticale passant par le même points forment une pyramide triangulaire ; l'angle compris entre les deux faces dont les plans se coupent suivant la verticaleV est ce qu'on niïnme l'angle réduii à rhorizon. Connaissant les angles de la verticale avec les rayons visuels, et l'angle des deux rayons visuels entre eux; il est évidetat que la recherche de l'angle réduit à l'horizon, dépend Je la solution d'une pyramide triangulaire dont on connaît les trois faces. ' . '
i5. On trouve encore ï angle rçdidta Vhorizon de la manière suivante {Jig»a\ pi a/i.) ^ ^ ,. • ;
Soit ASB l'angle de la verticale SA et d'un rayon visuel SB, AB l'intersection du plan de cet angle et d'un plan horizontal; on trace sur ce plan les deux autres angles connus, savoir i® Ta^gle ASC de la verticale SA et du second rayôii visuel SC; a** l'angle BS<r des.d^ux rayons visuels. JLe plan de ces deux rayons coupe le plan horizontal suivant une droite, dont la partie comprise entre les deux rayons visuels , est le côté Bc du triangle BSc, dans lequel on a Sc=SC.
Considérant le rayon visuel SB* comme fixe, on fait mouvoir le rayon SC autour de la verticale SA, jusqu'à ce que les deux rayons fassent entre eux l'angle donné BSc. Le point C, dans ce mouvement, décrit la circonférence CCc dont le centre est en A, et qui a pour rayon la droite AC ; il doit s'anêter lorsque sa distance C'B au point B est égale à Br; donc si l'on décrit du point B comme centre, avec Bc pour rayon, un cercle qui coupe la circonférence CC'è au point C, l'angle CAC sera la projection horizontale de l'angle observé BSc , et par conséquent cet angle réduit a Vhorizon. -
1^6 fiiOUÉTAIE DBSCIIIPTI^E*
Que^iwi %^. -^ Comaissant dans une pyramide iriangukUre deux faces et Pangle Jomté par les plans de cesfaces^ deternùner les deux ajutres aitgks etlatroùieme J^ice de la pyramide.
r6. Solution. \a questâon jMroposée se réduit à trouver la troisième £aice de la pyramide; car.akMrson connaîtra les trois Êices de cette pyramide, et par la solur tioQ du problème précédent, on construira les deux angles inconnus. Pour déterminer la £aice inconnue, soient {pi. ^k\fis- 3) ASB, BSE les deux faces données, développées sur le plan de la seconde BSE. Soit CDD l'angle de ces deux faces , donné dans un plan ABCD perpendiculaire à la droite SB ; le ptaa SBC contenant la £ace donnée ASB, le point A de l'arête SA est élevé au-dessus du plan horizontal d'une hauteur égale à la droite CD perpendiculaire à la droite ABD ; donc si par la droite CD on mène un plan CD£ perpendiculaire à Taréte SEI , ce plan contiendra le triangle CED, dans lequel l'angle £ opposé au côté CD = CD, sera Fangle du plan de la troisième £sice cherchée et du plan de la face BSI ; prolongeant la droite DE d'une quantité EF= ÉC, et menant la droite SF, l'angle ESF sera évidemment la troisième face cherchée.
Construisant la pyramide avec les trois Êices ASB, BSE et ESF, les points A , C , F se réuniront en un seul ; d^où il suit que les droites SA et SF sont les rayons d'un même cercle décrit du point S comme centre.
Le plan ABCD coupe la pyramide suivant un triangle CBI, dans lequel le côté GB = AB, et le côté CI =IF; donc les deux droites IF, EF et les deux arcs de cercle AF, CT, décrits des points S et E comme centres , concourent au même point F de l'arête SF; d'où il suit que deux quelconques de ces lignes déterminent par leur intersection le côté SF de la face cherchée ISF.
Si au lieu de l'angle CBD compris entre les deux faces ASB, BSE, on eût pris le supplément ABC , on aurait trouvé par la même construction la troisième face ISF de la pyramide.
Question 3^. — Connaissant dans une pyramide deux faces et un angle oppose a
l'une de ces faces ^ déterminer la troisièmeface ?
17. Solution. Soient (pL ^k^fis- 4) BSE et ESF les deux&ces données, dévelof^es sur le plan de la première BSE; soit E^H' l'angle formé par le plan qui contient la £ice B^ et par le plan de la face qu'il s'agit de trouver; les drcntes SAB et ^H' détâ:tninent la position du plan qui contient la face cherchée. Jj'aréte SF, en tournant autour de l'arête SE comme charnière, engendré un cône droit dont la base circulsùre^ est dans un plan FEDG perpendiculaire à
CiOXiTRIB BSSCRIPTIVE^ ^aj
la charnière SE : or ce plan coupe le plan SàBW de la face cherchée, suivant Isc droite 6H; ikmc lorsque Tarête SP est dans le plan de la (ace cherchée ^ le ])oint P de cette arête est .enyooy*, intersection de la circonférence;^ et de k droite GH. Supposons-le eny*: en faisant tourner le plan S^BH' sur SB6 comme char-^ lùère j pour Fabattre sur le plan de la face connue B^ , les distances du poînty* ânx points G et S de la charnière né varient pas ; donc le point A intersection des^ Àrcs'dé cercle^A , Fa A décrits des points G et S comme centres avec des rayon» égaux à Gfet SF, est de que devient le pointyÇ lorsqu'il est abattu sm* te pla» de 1% face BSE;.donc ASB e^t la trcHsième face de la pyramide, civrespondAnI au point yr On trouverait de la même manière Tangle A'SB pour la troisîènié face de la pyramide , qui correspond au point /\ Connaissant les trois faces de la pyramide, les trois angles seront déterminés (art ra).
iB. On a déjà démontré (art. 1 1) que les trois dernières questions (art. 8) sur les angles de la pyramide triangulaire, se ramenaient aux trois premières; ce qu'on peut encore faire voir avec plus de développement, de la manière suivante. Désignons par A, B, C les angles dièdres de la pyramide, et par a, 6, c les Ëices opposées à ces angles. On vient de résoudre les trois questions suivantes : i^ Connaissant les faces a, by c, trouver les trois angles A, B, C? a^ Connaissant deux faices a^ h et Tangle compris C , trouver ]es trois angles ^,A,B?
3^ Connaissant deux faces iar, by Tangle non compris A ou B, trouver les trois •^^lesr, C,BouA.
^ià. -pposons maintenant qu*on donne les trois angles A, B, C d'une pyramide t 'il faille trouver les trois faces a, by Cy on connaîtra dans la pyramide supntaire les trois faces a\ b\ d respectivement égales à :
aoo«'*^" — A , aoo« — B , aoo« — C.
On ^^:am déduit trois angles A', B', C, respectivement opposés aux trois faces d', S^:^ d; mais on a par la propriété de la pyramide supplémentaire :
A' = aoo» — flî ; B' = aoo» — b; G = aoo« — • c;
^ou ^^2 suit que les faces cherchées ay by c sont les supptémens des angles
^t)r^^«jâ.s A, F,. C ; ce qui donne la solution de la sixième question (art. 8.)
\^* -KHassons à la cinquième question. On donne deux angles A , B et une face c
^îjj^o^^îte à ces angles; il s'agit de trouver l'angle inconnu C et les deux faces
l^cX €M : la pyramide supplémentaire sera f<MTOée de deux faces (aoo«— -A),
\^^ B), et d'un angle (.aoo« — c) compris entre les plans de ces deux feces*
^o^ks venons de désigner (art. i8) ces trois angles connus, respectivement
par les teUretf d^ lfi<ï. OdhtetraîsaBt U pyràtm(k}Sil)ipléi»9iiUiire, opauia la lace d et les deteanglte BV Al Mafc é:'i=»^oa*-t-:Gî V^ tt*o«-^*, A'i=: aoo»— €z; d*où il suit que les aDgfosncàtftfciiéalii^ ^et^a^^sofils les. suppMmens d'aogles ■connus c,B', A'-" ^ :i. . ^ • ' >i Jt* USUI .hjc- M i^r-- .■'••'^' • * •
La dernière questtoncocisiste fr'trèli^iQr deuxéioes a\ h^t l'acif^ kiCfn éompris A, en connaissantia faice^c, étles dettï angles C, BuiLâ pyramide supplémentaire aura pour faces* c', b\ les ;deuxi sopffUmens (àoé»^»— G)^ (toa« — B), et pour :^gle C opposé à la première 'd&cepfdeiix&oes^ (ttoo^^<^c). Construisant cette pyramide, on connaittà la'tflice'ai)»<et:.ifs deu» angles AVB', qui auront pour, valeurs • •» . . . , i ô • o - l>Vi(l '%t'^ sv .^ i' S ■ •
. . (i»qqÎTtA)4c{W9P.-7l«)»^aaft* — *)f .
c'est-à-dire les siipplémens des trois angles demandés k^a^h.
]!7oUs allons maintenant donner une 'solution des trois clernières questions, qui sera indépendante de là! considération de la pyramide sùpplémentaure.
, ao. Solution. ^Soienf; A, ,Ç.„C ^ tjrçi^ ^glf 4 4^2^^^^ ayant mené de.ux plans ijpclinés l'un par rappprt ^ f'^utrç ,aj(^ijj;i,^çg^ç,^|;»l ^.IV^ des ;ipgles,donnés, à A par exemple^ la quest^Of^.qqpa^e!^ <)j^^n9inw W9<P^n,qui passepar un point quelconque .pris d^u^s Tesp^pf;^ ctr^ul â|s^ %yep les dçux premiers des angles égaux à B et^,^; (^Q jÇj^ofpièjpfi ,pl^^^i f «uipçjra I^. drpftç^.iotçrsection dics deux premiers plaps,en,jifn pft^qf^^p^#^|psowW?î^ Ips troiç plans. -, ,^, ^ ^^j^ im u^ ol hm; * . <:î 'Jm »v .^i ;:; ^it^-o . i » ui,
La condition de mei^ MP^fi4?ft/Ç«tf^?^ ^n angle
déterminé, équivaut à la condition de mener un plan tangep^t; àxun cône droit,
même ide
cherchée, doit feii^^ayec^^^^u^^B^^^^^q^^p^^^ cpnnus;
donc il doit toucher deux cônes dtroits qui ont même sommet Poiu* construire le plan qui toucbe pes^^6ux.cpA^s,,(ppi^9^fg)f-l^ i^ çt Ç')),^ ^n^n'employant que la ligne droite et le cercle, on observera a^f n^, pUn.JU^uchis ei| même temps toutes les sphères inf»cr^tè9 ajifc pônet^.ef J[)'^ et tous les cônes circonscrits aux •sphères prises deuxAde\ix , ^ônt Tune^^^t ipsctite au cône Cejirautf&au cône C:
ft '
ai. Soient {pL a4 ?,/%• "S'Y ÂjB,' C les trois angles donnés, et cbE (fig. 5), un
^ngle égala Tun desahgle^ aohnéà , à A par exemple. ATajp;t.mé|;ié par un point p
pris à volonté dans lé ^lan dfè Fangle cbE , deux'^&>ii:es DE ,'d/ perpendiculaires ,
l'une à ^E et l'âmtre à bcj, on regardé ces droites comme les axes de deux cônes
droits, doBt tes dtoés D(ï, Bc ^nt a¥64î les plans ^Ë6.i$C^& de kovs bases cir- ^nilaîres, des ai»^te-f>6£» Dclf fnà égal j( B et Tauta^e^al^à G, et il s'agit' dfe »ener par le point .I> on plan, qui couche à la fois ms deux cènes. - Soit B le point de rencontre de l'axe MSH et de la droite GH perpendiculaire à DG; une sphéie dont le centre est tm H, et quf a? pour rayon GH; est inscrite au premier cône , et le touche suivant le cercle du rayon EG; une seconde spfaèrc d'un rayon CM égal à iselui de ta première spkcore , est inscrite au sebond Jiîbne^ et le -touche suivant le cerde du ragron CL» Podr construire le centre M de la seccmde sphère^ otvélève uàa perpendiseuLaire DK*:= HG au côté De du second cône; la parallèle KC à l'axe DL/de ce cèm, coupe le côté De au pailltG^ et la droite CM égale^et parallèle à DK, dëtèrmiile là posSdjîoD du centre M. Ayaiit mené la droite CE paral|^e k ct^et ^.perpendtcùlaire à BE, on peut, prendre k droite BS pour l'intersection des deux p^ns'qui font entre eux Tangle donné A i et considérer cette droite comme um arête, de la pyramide cherchée.
Les deux sphères de rayons égaux y dont l'une est inscrite au premier cône et l'autre <au second eôiie^ Mut touchées- par ^tiatl cylindre. droit dont l'axe est paraHèle à la droite ${M , sijiivatf t |des ^^aànfds' cenelès de ces sphères, dont les plans HO , MP sont perpendiculaires à la droite HM , qui joint les centres H et M des sphères"; donc Wpïah tab'^efit À ce ^c^ Ktidiie mené par le point D*touchera> les deux cônes, et Fa^étë de'oontà'ét'shftlâiqfUi^ tàde passera par le point d'in«> terse<î6on du cercle base de ce cdhis,*et.diir cerclé commun au cylindre et À la sphère qui est inscrite à- ce inétAe' Ichnëi Mais té' plM' de. ce dernier cercle coupé fe plan de la basé du côhé suîfvsÉnt la droite (^perpendiculaire à, EOG; donc le plan tangent atnî deu^ cônes ^oUcfhe le* premier suivant une arété qui passé par le point F; donc la tangente FS au cercle décrit du point E comme centre avec lerayoh E6, forme aVeb la droite !BS, un angle B^, qui est une face de la: pyramide cherchée. <
. Ayant décrit du poitît B comme centre kvec un rayon BL» Tare LL', et du point. U comme centre, il Vecnn rayon lLàC'=^ IX^ le carcle C'A, la tangente SA à" ce dernier cercle et la droite SB , comprennent entre elles la face ASB de la py-« ramide cherchée.
Connaissant deux faces ASV, BSF et l'angle des' plans de ces faces , Itf trôi-^ sième &ce sera déterminée (art. ii6^). > -
Si par le point O on mène la drbife OP parallèle à HM, qui coupe la droite BC au point P, ce point sera la projection dti point de contact A, sur le plan G'BE perpendiculaire à l'arête SB. Donc après avoir décrit du point B comme centre, avec un rayon BP, Tare Vp qui coupe la droite BC au point/;, la perpendiculaire/^A à BC contient encore le point A de l'arete SA^ tangente an cercle <7A. . • - . . . . >
l30 ' ^tOVlÎTllIE ^«ESCRIFVfTjL
da. La drotle OF coupe le ceiicie décrit du point E counae cenliire ayea im rayon égal à £G, eH deux points F et F. La tangonte àce cercle menée pat le point F transporterait le somiBiet !S'. de k pyniinîde en un point S' de la droite SBSff tel que rB$ ==:;BSt; la p^traonide qui aurait pour arête cette drokeFS'» serait âymétnque par rapport à la pyramide qui a pour arête la droîie £&
• 2à3. Les qf^llères inscrites aux deuxioônes ne sont pas seulement touchées par un cylindre dont l'axe «st parallèle à la droite qui joint leurs ceÉtrea; on conçoit encore le cane qui a soit sommet au milieu ^^ de cette droite, et qœ eat circona* prit aux deux spbèreb ; les deux plans tangens à ce cÔne menés par le point D, forment arec le» deux jptans inclinés Tun par rapport àTiaïutre d'un angle GBE^ deux pyramides qui sont symétriques; chacu&ede ces pyramides ne diffère de celle qu'on a déterminée en disant usage du cylindre circonscrit, que par un seul angle. Le plan tangent au cylindre donne une pyramide dont les angles A, B, G sont aigus; le plan tangent au cène dont le sommet est en d^ détermine une pyramide dans laquelle deux de oes angles sont égaux aux angles A et B et le troisième angle est supplément de l'angle C. La./%; 5 (àis) est relative à cette dernière pyramide; l'explication de la^/%^. 5 s'y applique, parce que les points analogues y sont marqués des méines lettres. Ces deux figures ne diâerent qne par les droites perpendiculaires à la ligne des Centres M et H, sur lesquelles se trouvent les points P et O. Dans la^. 5^ ces droites sont MP, HQ, et dans la /Sg. 5(Ai>)R'P'FetROT.
Les trois plans qui forment la pyramide dont les angles sont A, B^ C , divisent l'espace en huit pyramides, dont quatre symétriques deux à deux, sont déterminées par les constructions précédentes* Deux des quatre autres, symétriques l'une par rapport à l'autre, ont pour angles A, C. et le supplément de B;enfia les deux dernières ont pour angles B, C et lé supplément de A.
£û excluant lès sujptplémens des angles donnés À, B, C, les deux pyramides symétriques construites (art., a let oa), sont) les seules, dont Les-laces couqurennent. entre elles ks angles donnés. ...
Question 5^--^ Ékml donnés (buis une pyramidi^ deo» angles etkkjkc^à laqudle ces -angles sont adjatens , construiff les deux an^s Jases ?
a4* Solution. Soient (j)L ^^:,fig. 6) BSE la face donnée, CM et Cdd* les deux
angjLes connus, adjacens l'un à l'arête SB et l'autre à L'arête SE; il s'agit de déjter-
Qiiner les deux autres faces.
. Ayant mené la. parallèle quelconque CD à SB , et la parallèle C ûT' à SE , ces
deux droites, projections de deux autres droites qu'on suppose dans un plan
.|>ardlèle au plan de la &cé BSE, à la distance-Gflf tmCif de Ce plan, se
coupent en un point D , qui est la projection d'ua point de la troisième aréle de
la pyramide sur le plan de la faceBSE. Faisant mouvoir les deux plan4 SB^ et.
S3ÙC9 TuD autour de SB, Fautre autour de SE, le point de Taréte* doàtD^sCla
projection, viendra se pladerdatis-le plan de la &ce BSE ditt^ les droites DBA et
I£F, perpendiculaires, la première à SB et la seccMide k SE; de plus ce point
est à une distance du «otamet S de là pyramide, égale à rhypothéiiuse du
triangle rectangle qui a pour côtés adjaeens à Tangle droite DS et dC ou dCi
donc dans le développement, ce point est sut ie cercle décrit du point S comme
centre, avec cette liypothénuse pour rayon, et par conséquent il est à -la ren-
contre de ce cercle et des droites DA et DF; donc les angles fiSF et à$i sont les
deux faces eherchées.
' On aurait encore pu coustraire les poiatt' A et F, en observatit que BA ta^bCf et que )EF—dC\
QtêesiioM 6^ 7— Jêiont donnés deux angles et la face cfsptmieà l*un dèces angles^
• on defhaatk les deux euarss ^ces?
: oSL Scùuion. Soient (pi. ^i^^Jig* 7)>.BSD la fàoé doirmée» CBD T^ngle du plan
4e celte £u3e atvec le plan SBC c^ cootieut la seconde bx^% iSCJ>' Taugle de ce
dernier phn avec cdui qui contient la troî$ièmé face; lit quep^a consiste à
mener par la droite SD un plan qui fasse avec le plan CBS uu ajigle égal k BCD'«
Ayant pris le point D pour le sommet d'un cône droit, dont DL perpendiculaire
à BG' est Taxe, et dont le côté DC Êdt avec BC un angle BCD égal à BCD , on abat
le plan. SBC' sur le plan de la face BSD , et la base du cône du rayon LC, contenue
dans ce plan , vient se placer suivant le cercle CAA", qui a pour rayon la droite
CX' =±= CL, et dont le centre est uxn point \1 d^ la droite BD, tel que BU.==BL*
Si du point S , on mk\^ à ce qercle la tangente ^ ou SAV l>ngle ASB ou A'SB ;ser%
4a face adjacente à BSD; car |p plan.q^i passe par SD et sX ou par SD et SA', est
évidemment tangent au côpe (k)at JUD est Taxe; donc il fait avec le plan CBSua
laigle ég?a à l'angle dponéflÇ'Pfv . ;
Ayanjt dfux f^ces BSD.et 4Sp.ou A'SB,|çl;i!angIe ÇBD compris ex^fxft el|e^ on achèvera la.so))Uiûp cçimmeâl ^étÇr^t (ar^ 16.) .
!i6. Les six questions relatives à la pyramide triangulaire, que nous venons de ré9ôitc|ie» . Ç0m|ireof3^|a|; toi^ti^ la tr^qocon^liTie sp(i^nqaeu Le centrç de la spbère Sttflr Jaiqiii^Ue on a tracé un triangle isphériq<;vc > peut être cowid^é comme lesom^ met d'une" pyramide triangulaire, qui a pour «retes le$ trois rayons de la sphère menés par les sommets du triangle ^phéri^ojs. LesangL^ qui; cçs rayons, font
eptre tiux» et qui ont pour mMwes lies côt^ç.dtt ^^apgtef.spntl^&faces <{e fa pyrafxiide. Ce qiiVm nomme Xangjés^ du triangle, eat uq angle dièdre de U
pyramide. ., ':...»;: .-i ;• - .
' Soit O (/%. ^, j»£ 34);le «moltre ^^«isp|ièv«i \e^^\^\^ ^yons^OAnOB, OC déterminent le triangle spi^iqae ^Gfi, .^i^tpo|i«ii0(p<éa \fA ar€8 de grands: oercles AB, ÂG, CB, Coq^porU eQ|re)e3.raypifk9»..:^n»|x^flil^tf^ 0 de W
aphère trois aigres t^^9(^ Ç^^OB', ÇC» ^it^sf^ct^t^^pt^i perfiendiculaires: aux plans des côtés CB, AÇ > A3 4i» p^im^p ftifm^ft^ W forp^ un aeçon4
triangle A'B'Ç' supplém€^.t^)m4u.|>c*^^DQ|^ fffotn^^^gppns i^omme préoé-i demment par A, B, C,4«sMigîf^%4i«4Ma 4iA Vf^vg^ 4pbé|^au€;«>mesurés d^p^ des pjans perpendiculaires aux rayons OA, OB, (XI, et par a^ by c les CQté& CB, AC, AB, respectivement oppcis^ 9<^x j^iiigles A^ B^ C; les angles dièdres^ J^y B'^C du triangle A-B'C sont les supf^émens des cotés a^ b, c du triangle ABC^ et en nommant a\ ^, c Us côté^!4^xtV^PgIff»4'B'C!»><^po^^9 au^^glf s A'jXy Ç\ ces côtés sont respectivemeyàt les^i^u|>pl^in/E;ns ff^^qi^l^^^JS, CU Ainsi le côté a' qppojBé à Taqgle A' étant c^mpf^p^/^î^ Içs 4(;V3c»i>ayoi^.OB'^CK!I'lperpendiculaîreB aux plans des côtés.^, c du triangle primitif ABC, |e pl^ de ce çpté.a' est perpendiculaire au rayon OAinter^Ptip^..4fi9-Pl4M1^^es^CQ(és.^ ^\ di on a donc dans ce pian, comme '^ai^ ç^i^^ 4t i^Jv l'fifW^ .^Ufdntajtère-vA^QK à deux angles droits A et B^et ^dw» wïg^^,Ç|,.J^,^)!^ft,éff^)LaUiCn(^é/r' dutri^wgle sphéif rique A'KC, et rautreégâ*,à^>çgle|<H^d^e|A du^n^i^iW^ 8p^\^q^e ABC^d'ou il suit que les angles a' et A scfnt suppl^menf riin;de Tautrê. > '
Mener par une dràtièdoH)t(k\mptâri^Ntngmià'W d^ne sphère"? (VV^^.J
27. Solution. Le planitdngon^^i b3i:^^&cê^f|^ne]SpI|èfi),>mené^ tiroiter r donnée, est aussi tang^nA «à| toytjes^ {cji»; 0ur&^ Iq^rs^^ommet» ^
sur là dt^oîte, et sont circonipitfSiàila spbcve; m \»k)i^^4^ tentuel deêkiKiue surËice*con1qae et de lii,spl^ène^' eftt tm pletît.percfo d^ettosjpfevèrevqut est un lieu géométrique du point de eontMt<le>)a* splpière €!tfd«f yfrfàn tanga:itrdâmandé) donc ce point sera détenniné^ f)^^{th^|Qi^sè^3|iiQ^^ 4fi.ifsi^Tc\m^ de^eebtaet de J» . sphère et de deux surf^es conîqn0S'quelc6pqiies9iqui tuî^sonticirobnsefVles) ce point et la droite donnéeifixent la,poi$itîoni4u)ptont;«ngent & U sptiere, mené* > par cette droite. ., • ..: .*.;,; -îjtKîS r "-r • :; L. ir î :v n • - *• ^' ♦'-'
Le point de contact étant, llniersciction de dMik petifb cercles de la sphàre; il suitqne par une droite idk>nnée^ od petit InuènerdecÉx ]^aii»* tongensi iKe • spbère, puisque les deul cercleslieux gébthétiri^pzeédes deux points de^ contact^ se coupent nécessairement en deux points^^ * r. . ' ; . ) . n
I*! V , î • •' -.> I» ■ ♦ i. il
GiÔir^ïi^iE DE^idifiVrîVE. i33
) >^P&tir*^nè la solution g^pa^biqne soit la phi» sfinj^le possible, il faudrait prendre pou^ i'uti^dès plans dé pi^djection , pour ritoriïontal par exemple, cdui qu'on meoerait par lé centré de la sphère et par la droite donnée; l'autre plan de projectiori passerait anSâA ^kt le cent^e^dé là sphèj^e, mais siérait perpendiculaire à la droite donnée/ ÎLeê^Senjc^ûgatei^(pL à5)que noistsàlidnié expliquer, ne sont pas coiiâtrmteà sur' dés plans dè^rojeotions aiilst détermitiés; Ôna euprincipa* lémebt pour^dbjelid'ejiercer aux consfrutkions de )a géométrie descriptive, et dé présenter un ^stètiie d'opéraf i<ms grapMqoeS qui se Vérifient râiitùellemén t. Les deuxplan^de prejectwns deia figures (pi. i&)p«ssent p» lé centre de la^ sphère; mais la droite^ «donnée est silUé^ d'iMe'fldafiière^aelcétiqife par rapport à ces '
::-, i < * . ..iw' \\\ i^r^V f.'y l|.. ,/t- J'I A
28/5dit XY(/%. i) riàtérsectiôndes deux plans de proj qui passent
par le neutre O d^ là^splièrê dont le^rayèn ett? OO'. La droite par laquelle il s'a- ^t de^nener un jJlail^tatt^éht à'&^pHèf^j éàtdofttléê'pai^ëes deux projections horiiontaleet verticale, 'ABl rffe. ''' ''*'î ^i-' ^
On prend pour sommets des deux stirfaces codiques circonscrites à la sphère , les pdints^4'ét^;\yii!i là'droîte^donnée tôupé les {Hkns de' jirûjections ; le cône dii sominet A «diMUë la spkêté^siuvlififtdnf etît ce#è1e €u dlatilèfre CD, situé dans u«t>lan vèi^ical qtA'a'p<>ut^'trâbë4iu^^ le cône du
sommet b touche la siAèrè^fenlVîJril/ttll'péia-éefcnë*rfh^^^ ef, qui est situé
dans un plan perpendiculaire au pl^ vertical, et a pour trace sur le plan vertical, la droite ef. Ces delix petits cercles des dianiètres CD, efsont les lieux géon^élriques de^^oin^ 4ç çpnt9Çts]ie(Js(.spIijèi;evi^;flu p)^,c^ et par coiv
séqnentles droites CD , ^sontles projections horizontale et verticale de la droite qui joîitt IeB<pt>î«ti dé^oûtadt;'^ilkjti« ûâfle'c&^cÂtë'éSt ddns^ lels plans des cercles qirisepr<^ettentVfti<i sirt-^éîpèiâ hi^l'ikbtitârrbii CD, Taùtré sur le plan vertical •en ç^'AIais la' droii» des p^'kkter de comitaty dont la position est déterminée par ' se» denx projeetkAqs^ CD, ç^ cobpe la s{>hfèt^ eta deux pointa ; donc, si Ton cons- ' truit ces ÂeuxpQiuDsy )è {M^bbtèmé proposé sera riamené à c^iti-ci : « Trousser les éraceséPïmplmiqtUpaisêpcu^tinpoifketpelrt^
Sur CD eonmiè^Ââtiifètl^, on décrit un dercler^ton construit sur le plan à^ ce cerdé, la^ drôîftë Atn p^inls^de contact ;'eette droite pcFce le plan horizontal au point K y et le plan vertical au point / situé au-dessous de la trace XY; donc ' si l'on |>orte la distance S/ en LPl' sub tmé )pérpiendi6«ilaire LA à CD, la droite menée par les {)0ints IL etjAiseraila dfoite des p0int8r4e contact, construite sur ' le plan dapttit cercle du^âiflibètce^CD. En »ipposbn€ que ce plan ait tourné au- * tour de sa trace horizontale CD, pour venir ^s'jappliquerfstiï) le plan horizontal , '
|34 «£OMiTRIE DESCRIPTITC*
le point / où la droite des points de contact perce le plan vertical , a pris la position A , qui détermine la droite KA.
Cette droite KA coupe le cercle du diamètre CD en deux points 9, 4> ^'^^^ en dessous et l'autre au-dessusde l'horizontal CD; ces deux points sont ceux où les plans tangens à la sphère, menés par la droite donnée (AB , o^), touchent la sphère. Us ont pour projections horizontales les points H, H' intersections de la droite CD et des perpendiculaires f H , 4^' abaissées des points p , 4 ^^^^ cette droite. Mais les projections verticales des points de contact sont sur la droite ef; elles ne trouvent aussi sur les perpendiculaires H'A', HA à XY ; donc les points de contact sont déterminés de position par rapport aux plans de projections* Celui qui est au-dessus du plan horizontal a pour projections les points H", k\ et celui qui est au-dessous a pour projections les points H, h. Les rayons de la sphère menés par les points de contact, ont pour projections l'un (OH, oh), l'autre (OH', oh*) : or les plans tangens à la sphère sont perpendiculaires aux rayons menés par les points de contact; donc (art. ai, liv« i^**) les droites AR, bs^ respectivement perpendiculaires aux projections (OH^ oh) , sont les traces du plan qui est tangent à la sphère au point (H , A) , et qui passe par la droite xionnée {ABjob). Ces deux traces doivent se couper en un point T de la droite XY. De même les deux traces ART, à// respectivement perpendiculaires aux projections OH', ohl du rayon mené par le second point de contact (If, A^), concourent vers un point de la droite XY : ie problème proposé est coomplétement résolu.
ag. Pour trouver Vintersection de la sphère et de la droite des peints de contact, on pourrait mener par cette droite et par le centre de la sphère nn plan ; ce plan aui*ait pour trace horizontale la droite OK , et ferait avec le plan horizontal l'angle LMK, opposé au coté LN = L/ du triangle rectangle LMlff. Le point (I^, /) de la droite des points de contact, tournant autour 41e ia trace OK comme charnière, s'appliquerait sur le plan horizontal en X', sur la perpern diculaire h^ à OK. Le point R de la droite des points de contact est sur la char* qièreOK, par conséquent la droite A'K joint les deux points de contact Cette droite coupe le grand cercle de la sphère décrit du point O comme centre, avec £Ky pour rayon, aux points P et Q, qui sont les points de contact de la sphère et du plan tangent mené par la droite donnée. Les projections horizontales H • HT de ces points P et Q, sont sur les perpendiculaires PH, -QH' à la charnière OK. , et sur la droite KL , qui coupe ces perpendiculaires aux pcnnts H , H', déjà trouvés par la première construction. Les perpendiculaires HA, H'A' i XY, ont rencontré la droite efsnix points h, h' projections verticales des points de contact ; on trou«rerait directement ces points h, h\ en remarquant que les points de
GiOMKTEIE DESCRIPTIVE* l35
contact sont sur le petit cercle du diamètre ef, dont le plan est perpendiculairû au plaù vertical de projections, La droite donnée. (AB, ai>) coupe le plan de ce petit cercle au point («, a" j, et faisant tourner ce plan autour de sa trace verti«* cale efy le point (a^ à") appliqué sur le plan vertical de projections, prend la; position j9. Menant les tangentes /3^', j34' au cercle du diamètre ç/Ç les points der contact f'y 4 ^^^ ^ cercle seront aussi les points de contact de la sphère et du plan mené par la droite donnée* Les perpendiculaires ç'A', 4^ ^ ^^ droite ef^ déterminent les points hy h. -
On peut aussi remarquer que la tangente Qy. au grand cercle du rayon 00' et la droite OK prolongées, concourent vers le point y de la trace AR' ; la tangente <pu au petit cercle du diamètre CD et ce diamètre, concourent vers. le point u de la trace AR. La position de ces points f^ et v sert de vérification aux opérations qui ont déterminé les traces AR , AR' des plans tangens à là sphère.
Zo. Deuxième solution. (^Fig. OL^pL 25.) I^ droite par laquelle il faut mener un plan tangent à la sphère étant donnée , on conçoit un cylindre cirjconscrit. à la sphère , dont la droite génératrice est parallèle à la droite donnée. Ce cylindre touche la sphère suivant un grand cercle , dont le plan est perpendiculaire à la dioite donnée , et coupe cette droite en un point Menant par ce point deui; tangentes au grand cercle , les plans menés par ces tangentes et par la droite donnée , sont tangens à la sphère.
Bans la sohition précédente , on aurait pu ne considérer qu'une seule surface conique circonscrite à là sphère , dont le sommet serait un point quelconque de la droite donnée. Le cône circonscrit toucherait la sphère snirant un petit cercle, dont le plan couperait la droite donnée en im point» Les tangentes ati petit cercle menées par tt point et la droite donnée , détermineraient les deux plans tangens à la sphère. C'est d'après cette considération qu'on a mené \Jîg. lypl. a5) les tangentes j3(p', ^4 ^^^ P^^^^ cercle de la sphère du diamètre efy pour trouver les points de contact ^\ 4' ^^^ plans tangens à la sphère, menés par la droite donnée. Lorsque le sommet du cône circonscrit à la sphère est à l'infini sur la droite donnée , ce cône devient un cylindre dont la génératrice est parallèle à la droite donnée ; ainsi la seconde solution à laquelle se rapporte la ^. % que nous allons expliquer^ est un cas particulier de celle qui a été coils* truite^. I (art. ag.)
Explication de lajtg. ù, , pi. aS.
3i. On mène par le centre 0 de la sphère, un plan (L0M) perpendiculaire à la droite donnée (AB, a*), dont les traces OL, OM, sont respectivement perpendiculaires aux projections AB , o^ de cette droite. Ce plan rencontre la droite
l36 CiOMÉTRIK DESCRIPTIVE.
donnée au point (N , /i), et coupe la sphère suivant le grand cercle du rayon OOf. Les tangentes au grand cercle, menées par le point (N, n) , touchent la sphère au point de contact de cette sphère et du plan cherché. Le plan (LX>M) ayant tourné sur sa trace horizontaleOLcommè charnière, le point (N, n) de ce plan s'applique sur le plan horizontal en N', par lequel on mène les tangentes ITP, N'Q au grand cercle CXPQ. La tangente N'Q qui coupe le plan horizontal au point I de là droite OL, a pour projection horizontale Wllf ; d'ailleurs le point Q se projette sur le plan horizontal en un point de la droite QIT, perpendiculaire à OL ; donc le point de contact Q se projette sur le plan horizontal en IT. Mais la droite PQ coupe le plan horizontal au point K de la trace OL ; donc cette droite se projette sur le plan horizontal en H'KH. Abaissant du point P la perpendiculaire PH sur OL, le point H intersection de cette perpendiculaire et de la droite ITEJf, est la projection horizontale du second point de contact P.
Pour construire les projections verticales des points de contact P et Q, on remarque que la tangente N'Q a pour projection verticale la droite niK. L'intersection de cette droite et de la perpendiculaire Wh' k la commune intersection XY des plans de projections, détermine le point U projection verticale du point Q ; d'ailleurs le point K de la droite PQ se projette verticalement en K'; donc cette droite PQ se projette sur le plan vertical en h'K'k. Le point A, inter* section de cette projection et de la perpendiculaire HA à la commune intersection XY, est la projection verticale du point de contact P.
On peut encore remarquer que la droite PQ étant perpendiculaire au plan mené par le centre O de la sphère et par la droite donnée (AB , alf) , les projections HIT, hh' de la droite qui joint les points de contact de la sphère et da plan , sont respectivement perpendiculaires aux traces OA , Ob du plan mené par le centre de la sphère, et par la droite donnée.
Les pomts de contact (H, A), (H', A'), et la droite donnée (AB, a3), déterminent les traces horizontales. ART, A'R'T et les traces verticales dTs, bst des deux plans tangens à la sphère , menés par les droites données. Ces traces sont, comme pour la première solution , perpendiculaires aux projections des rayons de la sphère menés par les points de contact, et se croisent comme stir là^. I en deux points (T et.... ) de la commune intersection XY des plans de projection.
3a. Les deux solutions du problème. Mener un plan tangent à une sphère par une droite donnée ^ sont fondées sur cette considération, que le plan tangent à la sphère est aussi tangent à toutes les surfaces coniques circonscrites à la sphère, dont les sommets sont situés sur la droite donnée. Ija même considération donne la solution du problème plus général ; Mener un plan tangent à une surface queU
définie, pWHf^df^i^ donnée hors là surface, Deifx doues circonscrits à ù surface piropobéei^ <{ui^to|i^leua^dmmets sur la droite donnée, touchent cha** ciiu la surfacf :$»mnt une ligne ^ Q^ les points d'intersection des deux lignes die oqntact , déjterpttiii|enl^fc^$<piaiis,t?rtihgeHfr à la surface qu'on peut mener par la droite 4oBnfAe/l4a coqs^cûmI gé^aiéèvique dfes ligtie» de contact appartiént^a U théorie 4f)Soa)b4M^idij9il^per9{lef»tive,^que nous exposerons dans le second cbapitre deSïappl^àliQiWf'CteiOta^W contiendra la solution du problème ^énér^l qui adiisiale'à'ittefiepp»r:i|m dw plan tangent à une surface
qoielcoi^uiei .défipi%| (m2(mt«fi^ttt(«¥KÎ9( ne traiterons cette question que dan^ Thypot^èse oàiiawîr&ee<prp|^é6cQ9t d^^
\ ; jNous aUdne)faîrq Q(}n«attw f QUr oe^oas* p^tidriier une solution fort élégante, quimmfaelai ^ups|ÎAS^d^f gféoil^tfî^ à tfois dimensions à ce problème dé géoïâétrie plane : « Men^uf^{^ife^q¥i[soU h la /où tangente à unf hyperbole 'eï à Mme çovfrhe^ <fiii^'d^rm\4^kf^ deceite hyperbole. »
4f^^r p^ ffne drff(te^nflép^^^ à^u^ ffi^ffce de réyobuion? ( PL a6.}
> 33^. ^lufiiçf^^éf^ ;Mf{nge^J^ 4r€Âte4wi3i^ ep^iournwt autour de Taxe de révokition de la surface pro{)qs49,/çugç9^(}ce ,^qi)byp/erjl>9lQide 4^ révolution (art. 1 1 o , Uv. i*^"^)» et le p)9A taa§^«^^.4 l|i>4ur^çf})Pfpp^^e9,meaéi,p^^ droite donnée, est aussi tangent ;àiCethyperbot9Âd^»|>Hi£^)i»'^^^ (artiag, liv. i^) par une
diroite decettesqrface^MVOPvyn^Vl^ff l3iîgejt,à»wpQ.fi!Urfece de révolution estperpendicubireaù.p^ 1|léT^^e^.<}{^i.p^ poin,tde contact; donc le plan
tangent à deux surfaces de révolution qui w^t^èto^ a^oe, est perpendiculaire au plaûrméf^^^eir qi^i^fisf^e^pa]? liiH ou l'autre po^nt; de R^ntact; d'où il suit que les* deuf ji.oint^de icontact sont d^ns le mén^niéiridien^ etcpie la droite qui les unit résulte de riutersection de ce méridien et du plan^t^ngeni: Mais cette droite est 4ussi la tangente commune des deu^ sections méridiennes de la surface, dont Tune est une hyperbole, et l'autre la courbe génératrice de la surface; donc en coupant l^s deuic siufaces de révolution pa' un plan^ i|)éridien quelconque, et menant la tangente commune aux deux sections, le point de contact sur l'hy« perbole déterminera le cercle de cet hyperboloide , qui est le lieu géométrique du .point de contact du même hyperboloide et 4ti plaii tangent demandé : la droite donnée est aussi le lieu géométrique de ce point de contact; donc la position de ce point sera connue; conduisant par ce pditit et par l'axe de révolution op plan méridien , le plan tangent déhiandé sera déterminé par la condition d!éf;re perpendiculaire à ce plan méridien et de passer par la droite donnée.
t$9 friqMETAIE DEfCRIPTlVEr
Explication des figures^ pL a6«
34- On prend pour plan horizontal de projections, un plan perpendiculaire à Vaxe de révolution (A, oa') de la surface proposée; le plan vertical de projections a pour trace sur le plan horizontal » une droite quelconque XY.La courbe génératrice de. la surface de révolution est une ^XWipst. aodd^ dont le grand axe ad^esX. la projection verticale de Taxe de révolution; cette courbe a pour projection horizontale, la droite OÂO' parallèle à XY.
La droite donnée (BC, bc\ en tournant autour de Taxe {k^ad)y engendre un hyperboloide de révolution , dont le cercle de gorge a pour rayon la perpendi-* culaire AD, abaissée du point A sur la projection horizontale BC de la droite donnée. Ce cercle, dont le plan coupe la droite donnée au point (D, d), a pour projection verticale, Thorizontale xjr menée par le point J, et pour projection horizontale, le cercle DDT; le plan méridien OAO' parallèle au plan vertical de projections , coupe la droite donnée au point (£, e), le cercle de gorge aux points (D',</),(F,y); les deux points e,^ appartiennent à la branche d'hyberbole,crf'g^, section de Thyperboloide de révolution par le plan méridien OAO'. Un point quelconque (G, g") de la droite donnée ^ décrit en tournant autour de Taxe (A,aà') un cercle du rayon AG, dont la projection verticale est^^; mais ce cercle a pour projection horizontale un cercle GG' du même rayon AG, qui est qoupé par le plan méridien OAO' au point G'. Élevant la perpendiculaire G'^' à XY, qui coupe Fhorizontale gg' au point g', ce point ^ appartient à l'hyperbole edgf.On trouverait de la même manière d'autres points de la section méridienne de Thyberboloide.
Supposons maintenant qu'on ail mené les droites ih, Ifc tangentes à la fois aux sections méridiennes des deux surfaces de révolution, et qu'on ait déterminé les points de contact i, / sur la première section, fi^ sur la seconde; les plans horizontaux hm, kn coupent la droite donnée aux points (M, m), (N, //), qui sont les points de contact de Thyperboloide de révolution et des plans demandés s or les plans méridiens qui passent par ces points, ont pour traces horizontales les droites AM, AN; d'ailleurs ils sont verticaux; donc les plans demandés qui leur sont perpendiculaires, et passent par la droite donnée (BC, Ac), ont pour traces horizontales les droites BP, BQ, qu'on mène par le point B où cette droite donnée perce le plan horizontal, perpendiculairement aux droites AM AN, traces des plans méridiens.
I^es points de contact dé la surface de révolution proposée et des plans tangens demandés, sont situés dans les plans méridiens AM, AN des points de contact sur l'hyperboloide ; ils sont aussi sur les cercles des diamètres lï', //'
GiOMjÊTRIE DESCRIPTIVE .^3^
q^i cmt pour projections horizontales des cercles de même diamètre^ décrits du point  comme centre; donc ces derniers cercles sont coupés par les droites AM» AN aux points I, L projections horizontales des points de contact de la surface de révolution proposée et des plans demandés. Ces points ont évidem** inent pour projections verticales les points ^u, \ des h(mzontales u\ W. .
35. Addition a la solution précédente. Nous avons supposé que chacune des tangentes ihy kl était déterminée par leurs points de contact sur les sections méridiennes de la sur&ce proposée et de Thypêrboloide de révolution. Dans k pra* tique du dessin, on mènerait les tangentes en appliquant une règle tangentielle^ ment aux deux courbes données. La première tangente ih ainsi tracée y rencontré Taxe de révolution des deux surfaces au point r; regardant ce point comme le sommet d'un cône droit engendré par la droite ih qui tourne autour de l'axé (A y aa')^ le plan tangent à ce cône mené par la droite donnée, est le plan demandé : or ce cône a pour base sur le plan horizontal le cercle PP', décrit du point A. comme centre, avec un rayon AF égal à la distance du centre A au point F, dans lequel la tangente (rihp\ AF) coupe le plan horizontal ; donc le plan tangent demandé a pour trace sur le plan horizontal, la droite BP tangente à la circonférence VP (i). Le second plan tangent demandé, a pour trace horizontale la droite BQ tangente à la circonférence QQ', décrite du point A comme centre , avec le rayon AQ' égal à. la distance du centre A au point Q", dans lequel la tangente (klq^, AQ') coupe le plan horizontal. Les deux plans menés par la droite donnée, tangentiellement aux deux cônes droits, les touchent suivant des droites qui ont pour projections horizontales AP et AQ. Ces droites AP, AQ 5ont aussi les traces des plans méridiens verticaux, qui contienhent les points de contact de la surface donnée et.des plans demandés. Connaissant ces plans méridiens, on construit les points (M, m), (N, /z), où ils coupent la droite donnée (BC, bc). Menant les horizontales mk, nA, elles rencontrent les tan^gentes ip\ kq' aux points A et ^ de la branche d'hyperbole l^d'g^.
Les plans tangens à la surface proposée , dont on connaît les traces horizontales BP, BQ, touchent cette surface en deux points (I,ac),(L,A), qu'on déterminerait en menant par les points P et Q, des tangentes aux courbes méridiennes contenues dans les plans verticaux AP, AQ.
On remarquera qu'ayant projeté les points P et Q en /> et j^ sur la droite XY,
* (i) Par le point B où la droUe donnée coupe le pbn horiiontal, on peut mener deux tangentef AU cercle PF; mais la seconde tangente serait la trace d'an plan tangent à la surface proposée, qui passerait par la génératrice de l'hyperbolpide, dont la projection borizontale serait la tanr* ge»te Bjy i la circonférence DD^D"*
I^O GjSOMiXRIE DESCRIPTIVE.
les quatre points/', m^ fjt.^ r sont sur la même ligne droite. Il en est de méni^ des quatre points n, r^h^q^ qui sont aussi sur la même droite qru
Cette solution , quoique moins rigoureuse ique la précédente , est néanmoins très^admissible dans la pratique du dessin graphique.
On a trouvé , poiur les traces horizontales des plans tangens à Tellipsoide aus: points (I , ju) , (L , A) , les droites BP, BQ ; leurs traces sur le méridien vertical AE , parallèle .au plan vertical de projections , passeront par des points déjà construits. En effet , ce plan méridien coupe la droite donnée au point (£, e) ; là tangente à la section méridienne qui passe par le point de contact (I, iu), coupe Taxe de révolution au point (A , r) qui est dans le plan méridien AE ; donc fa droite er est sur ce plan, la trace du plan tangent au point (I, (i) de l'ellipsoide. Cette droite er prolongée, passe par le point s projection verticale du point S, où le plan méridien AE coupe la trace horizontale BP du plan tangent. De ces trois points r, e^ s, deux suffisent pour déterminer la trace du premier plan tangent sur le plan vertical AE parallèle au plan vertical de projections XY. Quant à la trace er'l du second plan tangent au point (L, A) de l'ellipsoide, elle est aussi déterminée par les projections e, r, t de trois points, dont le premier est sur la droite donnée, le second à l'intersection de Taxe de révolution et de la tangente à la section méridienne au point de contact (L, A), et le troisième à rinter&ection des traces horizontales BT et AT du plan tangent et du plan méridien AE.
PROBLÈME 7. LIEUX GÉOMÉTRIQUES. (Pi. ^7.)
Mener une tangente à une fiélice , \° par un point donné sur l'hélice; ^^ paraltèlement
a un plan donné.
36. Solution, Parmi les courbes tracées sur un cylindre, celk qui jouit de cette propriété, que ses tangentes fassent avec les droites du cylindre des angles égaux, se nomme hélice. Il suit de cette définition que l'hélice se transforme sur le développement du cylindre en une. ligne droite; et si Fon considère une partie quelconque de cette droite comme Thypothénuse d'un triangle rectangle qui a pour côté une droite du cylindre, l'autre côté sera la transformée d^une portion de la section droite du cylindre. Le rapport de ces deux côtés est cons** tant; la valeur de ce rapport détermine Tangle que la tangente à Thélice fait avec la droite du cylindre qui passe par le point de contact. Un fil plié librement sur un cylindre, forme une hélice. I^orsque le cylindre a pour base une bourbe fermée, l'hélice coupe une droite quelconque de ce cylindre en une suite de points équidistans; la distance de deux points consécutifs, se nomme pas de rhélice ; la portion d'hélice comprise entre ces deux points , forme un
GiOMlh'RIE DESCRII^TITIE. l4l
t6ur entier ; elle se projette sur un plan perpendiculaire aux droites du cylindre, suivant la base ou la section droite du cylindre. Le développement de cette base et le pas de Thélice sont dans un rapport constant. Le même rapport subsiste entre les fractions semblables du contour de la base et de la hauteur du pas. Cette propriété donne la construction suivante de l'hélice sur un cylindre droit à base circulaire.
Construction de Fhélice? (Pi. 27, fig. i.)
37. Soit oia3 8 la o la circonférence, base du cylindre droit; on la
divise en arcs égaux, à partir du point o, origine de Thélice. Le pas de l'hélice étant donné, on le partage dans le même nombre de parties égales, et on porte ces parties sur les droites du cylindre, qui passent par les points de division 1,2,3, etc. de la circonférence; savoir, une partie sur la droite du point r, deux parties sur la droite du point *x , et ainsi de suite. L'hélice passe par les extrémités de ces droites, et a son origine au point 0*
Pour construire la projection de l'hélice sur un plan vertical XY parallèle au rayon 0<?, on y projette les droites verticales du cylindre, et les distances des extrémités a, 3, c, rf, etc. de ces projections à la droite XY, sont respectivement égales aux droites du cylindre, comprises entré sa base et l'hélice. Si l'on a divisé la circonférence de la base en seize parties égales, la perpendiculaire 44'^ à la droite XY, coupe cette droite au point 4', et prenant [\d égal au quart du pas de l'hélice , le point d appartient à la projection verticale du point de Vhélice, dont la projection horizontale est le point 4« Menons d'abord la tangente à l'hélice par ce point; cette tangente est sur le plan tangent au cylindre, qui passe parle même point, et dont la trace sur le plan horizontal eàt la droite 4L. Cette droite parallèle à XY est évidemment la projection horizontale de la tangente. Développant le cylindre sur le plan tangent vertical 4L, le quart de circonférence 01234 deviendra sur le développement la droite 4L, et on aura sur le plan de développement un triangle rectangle /û?4'> dont le côté 4V=i4L, et l'hypothénuse dl sera la projection verticale de la tangente à l'hélice au point (4, d.) Cette tangente fait àveq. la droite du cylindre, qui passe par le pomt de contact (4, d)^ un angle constant ld[i\ elle coupe le plan horizontal au point L, dont la projection verticale est le point / de la droite XY.
On aura la tangente en un point quelconque de Thélice , autre que celui (4 > «Q , pour lequel cette tangente est parallèle' au plan vertical de projections, en menant par le point donné de l'hélice , et dans le plan tangent au cylindre. qui passe par ce point , une droite faisant avec l'arête du cylindre un angle
X4a GliOHlÎTRIE ]>BSCR»Tiyk.^
égal à Tangle connu ldl(. DVprès la définition de l'hélice , cet angle est constant pour tous les points de la courbe.
Seconde partie de la solution. — Mener une tangente a V hélice paraUkle a un
plan donné (i)? {V\. l 'j .) >
38. Les tangentes à Thélice font avec les arêtes du cylindre un angle constant; d'où il suit qu'elles sont parallèles aux arêtes "d'un cône droit, qui aurait pour axe une parallèle aux arêtes du cylindre. Ce cône étant construit , il n'y a aucune tangente à l'hélice qui n'ait sa parallèle sur la surface du-cône. Mais un plan mené par le sommet de ce cône parallèlement au plan donné » coupe en général le cône suivant deux droites , et les tangentes à^ces droites sont évidemment parallèles au plan donné; ainsi la question proposée est ramenée à celle-ci : , Mener une tangente à une hélice parallèle a une droite dont on a déterminé la. position ? Cette droite étant projetée sur le plan horizontal de la section droite , du cylindre, la tangente à cette section parallèle à la projection de la droite », est la projection horizontale de la tangente à l'hélice demandée. De cette projection, on déduit facilement le point de contact et la projection verticale de la
tangente.
Suite de C explication de lajîg. ijpL a 7.
39. Soit (O, d(f) l'aie du cylindre sur lequel l'hélice est tracée; on prend sur cet axe, un point (0,ûf) pour sommet du cône droit qui a pour côté, la droite dl faisant avec ^4' l'angle Id^ égal à celui que la tangente à l'hélice fait avec l'arête du cylindre. La base du cône droit est le cercle décrit du point O comme centre, avec OP = 4'^ pour rayon* Le plan mené par le sommet (O, d) de ce c5ne, parallèlement «au plan donné, le coupera suivant deux droites; et si l'on suppose le plan donné par ses deux traces ZZ', Z[z, dont l'une ZZ' est perpendiculaire à XY, le plan parallèle (TRSrf) coupera le cône suivant deux arêtes qui se projettent sur le plan horizontal en OR et OT, rayons du cercle décrit du point O comme centre. Les extrémités R, T de ces rayons sont déterminées par Tintersection de la droite ST, perpendiculaire à XY, et ducercle décrit du point O comme centre, avec OP = lîl pour rayon. Les tangentes QQ', W à la section droite du cylindre , respectivement parallèles aux droites OT, OR, sont les projections horizontales des tangentes à l'hélice parallèles au plan donné, et on a les points Y, Q pour les projections horizontales des points de contact
(i) J*al résolu cette question, pour expliquer 1« mouvement de Teau daps la vis d'Archimède. (Voyez le Traité des Machines, a* édition, 1813, page 140.)
Giouimii desckiptiVs. 143
Les perpendiculaire» Vt;, Qq à XY déterminent les projections verticales c^, q de ces points. Les parallèles i^^ , ^4 ^ ^^ ^^^^ verticale Zz du plan donné , sont les projections verticales des tangentes à rhélice aux points (V, ^j, (Q, g.)
Les droites Yi^, Qq prolongées , couperaient la projection verticale de l'hélice en une suite de points équidislans tels que v\ ^y pour lesquels les tangentes ^^y ^4' ^ ^^^^ projection verticale seraient parallèles à la trace Hz du plan donné (ZTIz^
Si Ton proposait de mener une tangente à la projection verticale abcd..... de rhélice, qui fut parallèle à une droite donnée, on .résoudrait ce problème de la même manière que le précédent , en regardant Ja droite donnée comme la trace d'un plan perpendiculaire au plan vertical de projections.
PROBLEME 8. LIEUX CtouiTElQUES.
- Mener un plan tangenê à une êpicjrclozde sphérique, , par un point donné sur cette
courbe? (PL ay.)
40. Définition de Vèpicycloide. De deux cônes droits qui se touchent et qui ont même sommet, Tun étant fixe et l'autre mobile, un point quelconque du cercle base du cône mobile, décrit une épicjcloidesphérique.
4 1 . Solution du problème. Pendant que le cône mobile roule sur le cône fixe , la distance du point générateur de Tépicycloide au sommet commun des deux cônes, ne varie pas; d'où il suit que Tépicycloide appartient à une sphère qui a pour rayon cette distance, et pour centre, le sommet eommun des deux cônes. Cette sphère coupe le cône fixe et le cône mobile suivant deux cercles, dont les plans font entre eux un angle égal à celui qui est compris entre les axes de ces cônes. Le cercle base àa cônemobile touche dans toutes ses positions le cercle base du cône fixe, et pour chaque position du premier cercle, un point de ce cercle appartient à l'épicycloide. I^ droite menée de ce point de l'épicycloide au point de contact du cercle fixe et du cercle mobile varie de grandeur; elle est d'abord uulle; elle croît jusqu'à ce qu'elle soit égale au diamètre du cercle mobile; ensuite elle décroît et redevient nulle; elle est à très-peu près constante , pendant que le point générateur passe d'une position à une autre qui en est infîniméni voisine; dans le même temps, le point de contact du cercle fixe et du cercle mobile^ ne change pas sensiblement; ce point peut donc être considéré comme le centre d'une splière sur laquell^e se trouve l'élément de courbe démt par le point générateur de l'épicycloide. Il suit de là que ce point, dans un instant queU conque de son mouvement, décrit un élément de courbe qui est.à la fois sur
deux sphères , Fune qai/a pour. rayon la distance caastaafté'de Ce point au sdm met commun des denx côi^s , l'autre qui a pour rayon tar distance .y àriable de point. à celui où le cercle mobile . touche- le cck*cle fixé; or un élément de courbe ne peut être à ila fois sur deux. sphères, quHl né soit sui^ rintersecdon de deux plans qui touchent ces sphères; dont tPka^tauigdnteen un point quelconque d'une épicycloide. sphérique , est une droite, intersection, de deux plans qui touchent deux sphères dont les centres et les rayons sont dbnnés; a^ Cette tangente est perpendiculaire au plan mené par le point de répicycloidé et par les centres des deux sphères. . i . . *
Explication de kt^figure ^^^pL a^. — Desaiplion de Uèpù^/xÀoide sphénqiie.
4a* L'axe du cône fixe étant supposé vertical , soit décrit sur le plan horizontal le cercle ABCD [pL '^')tjig* a) du cône fixe, qui est constamment touché par le. cercle du cône mobile , sur lequel se trouve le point générateur de répyclcioide.
Soit AB un arc quelconque du cercle ABCD compris entre Forigine A de l'épieyclôide et le point de contact de ce cerclé ABCD et du cercle mobile dans une {iosition quelconque. Lé plan vertical AB£' contient i^ les axes & ^ ss' des deux cônes; a® l'arête jB, suivait jlaquelle cesçdeqx cônes se touchent; 3^ l'angle E'B^ que font entre eux le^ pbin horizpnt^l 4u ce^rcle fixe et le plaui incliné (^BN/2) du fijernier cercle ; 4** le diamètre Bc cïu <jercl^ mobile. En supposant que le plan de ce cercle mobile tourne. f^utoijir.dç sa^tr^ce horizontale B/i comme charnière, pour s'appliquer sur le pl^p^u /cercle fixe, APÇI)^ et que l'arc ^f du cercle mobile soit de même longueur que l'arc .AB d,U cercje fiiie, le pointy^^sera la position du point générateur de l'épicycloide qui correspond au point de contact B, par lequel passe l'àrét&déeçntactvrB'ée^ deux cônes. La^ projection horizonr taie F du pointy ' est sur la droite f'Y perpendiculaire A la droite B/z. Ayant menéy^F perpendiculaire au'diaiâëtr^ BEVTâi^ d^ cètcle décrit du point B comitie centre avec un rayon 'é^al à BP, ctoupe laflrcjîtfe Be'au point/, projection du pointy^ sur le plan vertical sSBejrj La perperididulairey^F' abaissée du pointysur le diamètre BEV coupe la dik^ite/^F au point F, projection horizon* taie du pointy^ de l'épicycloide. Quant à ht hauteur de ce point/' au-dessus du plan horizontal, elle est évidemment' égale ày^.
.4)* Supposons maintenaht que lé point de contact dà cercle fixe et du cercle mobile, au lieu d'être enB, soit en R; on pourrait i** mener le plan vertical SK, qui contiendrait les axes des deux cônes; a® l'abattre sur le-plan horizontal , et Couver un point G de la projection horizontale de l'épicycloide, coA^me^D ^
trouvé le point F; mais il n'est pas nécesaftire d'employer un second plan vertical SK; le premier SBes suffît. En effet, soit B/'g' un arodu* cercle mobile d'une longueur égale k celle de l'arc ABK ; on pourrait tracer le cercle du diainètre Kl = Be, et opérer sur ce ârcië, cootime sur celui du diamètre. B£'^ qui touche le cercle fixe au point B. Regardant ce point B conkme le point de' iooa* tact K., la projection horizontale du poônt g^ serait en G', sur la droite gfG perpendiculaire à la tangente hn des deux cercles fixe et mobile. Menant les droites SG'y BG', on formera le triangle SBG\ qui étant transporté en SKG, déterminé le point G qui est la projection horizontale du point g' du cercle mobile , lorsque ce cercle touche le cercle fixe au point K. En supposant que le point de contact de ces deux cercles soit en G , extrémité d'un arc ABC du cercle fixe, égal en longueur à la demi-circonférence du cercle mobile , le point générateur de l'é* picycloide à pour projection horizontale un point E du rayon SC, tel que .CE est égal à la projection horizontale Bi du diamètre Be du cercle mobile.
44* L'arc ACD du cercle fixe étant égal en longueur à la circonférence entière du cercle mobile, le point D appartient à Tépicycloide sphérique, et peut être cou* sidéré comme l'origine d*une autre branche de répicycloide , égale à la première, et quiaurait pour projection horizontale une courbe qui ne différerait pas de AED.
45. Il suit de cette construction, i® que l'épicycloide sphérique est composée d^une infinité de branches égales, qui se projettent sur le plan perpendiculaire à l'axe du. cône fixe, suivant des courbes égales; a® que ces branches ont sur la base circulaire de ce cône, des points de rebroussement; 3® que l'arc de cette base., compris entre deux points consécutifs de rebroussement, est égal en longueur à la circonférence dû cercle mobile.
Construction de la tangente a répioycloidê sphérique.
46w Première solution. Le point de l'épicycloide sphérique pour lequel on
^demande la tangente, est en'j/[.sur le^rcle mobile du diamètre B£'; il a pour ]MrojeiCtion.hDrizoDtale le point F, etipour projeqtipn sur le plan vertical SBE', le point/CLa tangente demandée. est (art. 4i) perpendiculaire au plan des droites .menées du point (F,/} aux censés ^ et B des deux sphères dont chacune contient l'élément d'épicydoide ; or la première droi^ (SF, sf) rencontre le plan horizontal au point Y; la seconde droite passe, par le point B; donc les plans des deux droites (ST, jyf), (BF, Bf) a pour trace sur le plan horizontal la droite BV, et sur ie plan verticad^ la droite ^B; donc la tangente demandée a pour projec* tions horizontajie et verticale les droitesy^T,;/? respectivement perpendiculaires aux traces BY, jB? et elle rencontre le plan horizontal au point (T, /.)
47. Deuxême soùdêhn. Soit encofe/^ le point donné sur Tépicycloide , dooi U protection borizontaie ^t F* La tangente «n.ce point (art. 4i) est la droili^ intenection de deux plans tangens^ 1 un k la spluère qui à son centre au sommet (S^ j) An cône mobile et du cône fiice, Faistre à la sphère qui a pour rayon la <iroite//B, et dont ie centre eat le point de contact B du cercle fixe et du cercle moitié sur lequel se troure le pointy*' de Tépicydoide. Le rayon de la première sphère , mené par le pointy , ayant pour projection horizontale la droite SF ^ la trace du plaii qui tonehe cette sphère au point/^ est perpendiculaire à cette droit» SF ; de plus ce plan passe par la tangente /7 du cercle ^^E\ or cette langente coupe le plan horizontal au point / de la tangente hln du cercle fixe; donc le plan tangent à la première sphère, a pour trace sur le plan horizontal la droite bn perpendiculaire k ^F.
IjC plan tangent à la seconde ^hère au point/*' passe par la droite/" N tan<gente au^and cercle de cette sphère, décrit du point B comme centre avec un rayon égal à Jî/^; or cette tangente coupe le plan horizontal au point N de la droite B//2, qui touche le cercle fixe au point B; donc si de ce point N on abaisse une perpendic^ilaire N/? sur la projection horizontale BF du rayon ^, cette perpendiculaire sera la trace horizontale, du plan tangent à la seconde sphèreï elle coupe la trace Im du plan tangent à la première sphère en un point T de là tangente à Fépicycloide, Donc la droite menée par les points T et F, touche la projection horizontale de l'épicycloide au point F'.
48. Le plan tangent à la seconde sphère au point/', étant perpendkidaîre au rayon B/', et au plan du cercle mobile J^/^'g^E', il passe parla droite ^r menée perpendiculairement au plan Be du cercle mobile/ par le point F de ce cercle. Or cette droite ^r coupe le plan horizontal au point/? ; donc la droite ISp est la trace du plan tangent à la seconde sphère, et doit être pa*pendiciilaire à la projection horizontale BF du rayon qui passe par le point de contact F. Le plan tangent en
/' à la sphère du rayon Ç^' perpendicolaire au plan du cercle mobile, coupe ce second plan suivant la droite/'E", qui passe par 1 extrémités' du diamètre ^BE-; d'où il suit que cette droite est la projection de la tangente à Tépicycloide menée par le point/* sur le plan du cercle mobile.
Le plan tangent à la sphère du rayon B/" au point/' du cercle mobile 1|/'G', est aussi tangent au cône qui a pour base Tépicycloiée spbénque, et pour sommet le point r de la droite &r, où cdte droite est rencontrée par la perpendiculaire per à l'extrémité du diamètre Be; ce qui est évident, puisqu'il passe par une tangente à la ligne qui sert de base au cône. Mais il est important et remarquer que pour une position quelconque K-ly du cercle mobile, on a sur ce cercle un point ^ de l'épicycloide sph^que, tel que le (4an conduit par la
ijlroîte yl ^ iperpendiculaîreident k la droite yK^ qui -jointe pomt y de l'épicy-* -^ioide el le poiat de cootact K des cerctea fiiâo et moiatlepesl tamgcnt uù cônA qui a pour sommet le point r, et pour base répicyclptde sphërique. £n effets l'angle K>I étant droit 9.1e côlé >I de cet angte passe Décessairevent par lepoînt 1 1 extrémité du diamètre Kl du eercle ntobile ; le plan 7I perpemiiciilaire .k la droite Ky située dans le plan du cerele mobiie^ et par wnséqi,ieût perpendicalaîreà ce plau^ passe par la droite qu'on mènerait par le point I perpendiculai*» rement au plan du cercle mobile i or cette dernière droite coupe Taxe & au point r, puisque Qe point r est le sommet du' ccae . droit engendré par la droite er, qui tourne autour de la di»iteS^r; doqc le plan 7I) passant par le point y de répicycloide «sphérique, ainsi que le plan/^'Ë' passant par le point/*' de cette courbe, est tangent au côi;ie qui a son softimet au point r, et dont la base est Tépicycloide sphérique.
49. Conclusion. Quelle que soit la position du cercle inobile, on doit distingiier sur ce cercle trois points : 1** le point générateur de Tépicycloide; a** le point de contact du cercle fixe et du cercle mobile; 3* l'extrémité du diamètre qui passe pa^ ce point de contact. Ayant élevé par ce deinier point une perpendicniaire au plan du cercle ii^Qbile, cette perpendiculaire coupe Taxe du ù6ne fixe en un quatrième point, qui est invariable comme rinclinaison du plan du cercle mobile , par rapport au plan du cercle fixe ; le plan mené par cette perpendiculaire et par le point générateur de répicjcloide sphérique^ est tangent an cône qui a pour sommet le quatrième points et pour base Vépicytloide sphérique.
