PROBLÈME
Connaissant les distances dun point a trois droites^ construire ce point?
{VI (A.) in-folio.)
5o. Solution par ^intersection de trois cjrUndres. Nommotis A , B , C les trois droites données; a^ b^ c les dist^ces connues du point cherché à ces droites ; tous Les pointa qpi sont à la distance a d'une droite donnée A^ appartiennent à un cylindre droit dont Taxe est la droite donnée, et qui a pour base un cefcle du rayon a; la' surface de ce cylindre est donc un Heu géométrique du point demandé. Par la. même raison, les deux cylindres droits qui ont pour axes les droites B et C, et pour bases de^ cercles dont les rayons sont respectivement égaux aux distances connues b et c,.con,tîennent le point demandé; donc ce point est déterminé par TintersectiQu de trois cylin()res .droits dont on connaît les axes et les rayons. Les trois cylir^dres sç coupent deux à ^eux , suivant trois courbes ,à double doublure ; les points communs à ces trois courbes satisfont
aux trois condidons (Tétre aux distances connues a^A^cde trois droites donnée» A, B, G. On démontre par l'analyse que le nombre de ces points, toujours pair, est au plus huit, et au moins deux..
Les données du problème sont i^ les projections bocizontales et yerticales des trois droites données ; a^ les trois distances du point demandé aux droites données. Ces données déterminent les axes et les t*ayons des cylindres droits , lieux géométriques du point cherché. Pour trouver les lignes d'intersection de ces cylindres considérés deux à deux ^ par la méthode exposée (art. i55, li^\ i*^*"), oh cherche d'abord leurs traces sur le plan horizontal ; ces traces sont cks ellipses (A), (B), (C), (pi. A) , dont les demi-petits axes sont respectivement égaux aux distances a^ b^ c du point cbeirché aux trois droites données; on construit les^ grands axes des ellipses de la maiïrèpe suivante. *
Explication de la pL (A.) . .
5 1 . Soient (A) A', (B) B'^^ (Ç) C ^es projections horizontales des^ droites données ^ et (A), (B), (C) les poitits où elles coupent le plan horizontal; ces droites font avec leurs projections horizontales les àneles A (A) A', B (B) B', C (C) C. Élevant par les points (A), (B), (C) des perpendiculaires aux droites (A) A, (B)B, (C)C, et portant sur ces perpendicylaîres des^lônguéîirs (A) à, (B)è, (C) c, respective-^ ment égales aux distance^ d<}nnées a, ^, c/on mente par leurs extrémités a,b,c des droites aa, b^j,cy respectivement parallèles aux droites (A) A^ (B)B, (C)C. Ces parallèles coupent le plan horizontal aux points a, /?, 7, qui déterminent^ les demi-grands axes (A) a, (B)/3, (C)^ des èlÛpses aa a", jS/B'^", y)^V> ^aces des trois cylindres sur le plan horizontal.
Désignant par les lettres A , |) , C les trois cylindres qui ont respectivement pour bases les ellipses «aV, jÔj3'/3'^, yyV^ ^^ trouve r '
i^ Que les cylindres A et B se coupent suivant une ligne à deux branches ^ ' qui a pour projections horizontales les courbes iB:2E43i, 56iy78D5; les projections verticales de ces deux branches sont marquées d<es mêmes lettres et chiffres»
a^ Les cylindres A et C se coupent aussi suivant une Figne à deux branches, dont les projections marquées des mêmes lettres ou chiffres ^ sont 1 2G65G', 3478FF.
3^ Lies cylindres B et C se pénètrent suivant une courbe à une seule branche, marquée sur l'un et l'autre plan de projections par les lettres et chiffres iaK4H3To78iH'5Si. On remarquera qu'il y a deux points doubles sur la projection verticale , et un seul sur la projection horizontale.
Les trois courbes ont huit points communs , dont les projections sont marquées SUT les deux plans de projections des chiffres 1, a, 3, 4 9 5, 6, 7, '8. Chacun *
OionÉTJiJE DESCRIPT-iV£. I/Jq
de ces pointe satisfiiit à la condition d'être aux distances coriniiesdes trois droites données. » > ^ * » -;
On a choisi les données du problème, de< manière que le nombre de solu*. fions fut le plus grand possible;'en disant vstriôrles données^ ce nombre pourrait se réduire à 6, 4 ou 2. < . >
Eâuplication de lapLu^.
5a. On simplifierait la s<rfulion précédente par le choix des plans de projections. Supposons en effet le plan horizontal perpendiculaire à l'une des droites^ données; le premier cylindre (A) y sera projeté suivant le cercle de sa base; soit A {j^. I, pL a8) le centre de ce cercle du rayon donné AB (Jig. d)\ les, deux autres cylindres B et C ont respectivement pour rayons les drqites données^ AC, ADC/%.a).
La projection hori2ontale de Faxe du cylindre B étant BB' (Jig. i ) , le plan vertical: de projections {^. a) , dont la trace horizontale XY est parallèle à BB', sera parallèle aux axes des deux c} lindres A et B. Soient GC\ cd les projections (Jig. i et ik) de l'axe du troisième cylindre ; des deux projections des axes des cylindres B et C sur les plans (/%^. i et 2), on déduira les projections a!^\ 7" 7 (Jîg. 3) de ces mêmes axes sur un plan vertical X'Y' (/%. 3) parallèle à Taxe (CC, ce) du cylindre C. Supposons ce cylindre coupé par un plan (EFG) , dont les traces £F, FG {Jîg. i et 3) sont respectivement perpendiculaires aux droites CC, Y'yi" projections de son axe. La section sera un cercle du rayon donné AD (Jig. a). Faisant tourner ce plan autour de ^a trace horizontale EF , et le couchant sur le plan horizontal ^ le centre du cercle (d, /) (jlg. i et 3) s'applique sur le plan horizontal en D (^. 4).^ Ayant décrit de ce point D comme centre, un cercle du rayon DO ou DP == AD (jSg. a)y les. tangentes ON, PQ à ce cercle, parallèles à CC, sontleslimites.de la projection horizontale du eylindre C. Lesiimites de la projection verticale i^fig. a) du même cylindre sont les droites ui^^ i^V',. parallèles kcc\ Le cyKndre B a pour limites de sa projection verticale (j% 2) lés droites A "A"', II" parallèles à la droite blf et distantes de cette droite de la quantité bk ou bl\ égale à AC {fig. a). Les limites de la projection horizontale du 'même cylindre sont les parallèles HH', II' (Jig. i), à la droite BB', distantes de cette droite de la quantité BH ou BI égale an rayon AC {Jîg. a). Le cylindre A a pour limites de sa projection verticale les verticale /d , /8' qui sont parallèles à la droite aa' {Jig. a), et se projettent sur le plan horizontal {^fig* 1) aux points T et T'.
Ayant rapporté les trois cylindres A , B, C aux quatre plans./%, i, a, 3, 4^ on projette la courbe d'intersection des cylindres A et B sur le plan incliné ( fi^. 4) de la base du cylindre C; et pour obtenir la projection de cette couii>e à double* courbure, il est nécessaire de projeter une section circulaire du cylindre B, sur
l5o fiiOlféX'&IE PB8CRIP.TI,VE.
le plan vertical X'Y' (/^. 3). On prend pour cette «action le cerde du rayon Kt {fis- 2), qui se projette sur le plan horizontal {fig. i) suivant Tellipse KLIH , et sur le plan vertical (Jîg> 3) suivant Fellipse kUhj dont l'un des axai principaux est dirigé suivant la droite x'^\ projection de Taxe du çjrlindre B.
Une autre opération préliminaire qui n'est pas moins nécesaaitet consiste à projeter ce même axe du cylindre B sur le plan incliné de la figure 4 - on prend sur cet axe deux points (B, j3"), (N, w' ) (/%•. i et 3), et de chacun de ces points on abaisse une perpendiculaire sur le plan (EFG.) Lés pieds *de ces perpendiculaires /S"', ri' {Jig. 3), ramenés {fig. 4) en m et n sur les parall^es B/i», N/i (/%; i) à la droite CC, déterminent la projection mn de Taxe du cylindre B sur le plan de la fig. 4- Cela posé , on coupe les deux cylindres (A) et (B) plu* une suite de plans ver^ ticaux parallèles à leurs axes ou à la droite Bff {^fig. 1 ) , et on projette les droites contenues dans ces plans sur le plan de la^^. 4; leurs projections se coupent eii des points, et le lien de ces poihts forme {fig. 4)1^ coiirbe- i^S,... 8, qui coupe I« cercle du diamètre ODP en huit points , projections des huit points communs aul trois cylindres , sur le plan ( fig. 4) de la base du cylindre (C). Les prcjections des droites du cylindre Asttf^c^ plan» sont perpendiculaires à la droite £F| et Içs projections des droites du cylindre B sont parallèles à la droite mn\ ainsi la pro* jection ia..«.««.». 8 de la courbe d'intersection des deux Cylindres A^ B sur le plan incliné {fig. 4) se construira ^ la même méthode qu'on a suivie (art. 1 55, liv« i ^^^ pour trouver la projection de cette coniiie sur im plan horizontal ou vertical.
Les projections horizontales des pointa communs aux trois cylindres, siont nécessairement sur le cercle du diamètre TAT, {fig. i ) base du cylindre A» et sqr
des pe]:f>endiculaires abaissées des points i, a, 3, 8 {fig. 4») sur la droite £F^
lesquelles coupent le cercle TAT en huit points, marqués également des
chiffres 1 , 2 , 8. Les huit points de l'espace déterminés par leurs pn>jections
{fig^^ I et 4)9 satisfont aux conditions du problème, d'être à des distances données de trois droites dont la position est aussi donnée; et si Ton demande les projections de ces points sur l'un des plans verticaux {fig. 2 et 3) , on fera ppur chacun les opérations que nous allons indiquer pour le point (4 , 4)9 {fië^^ ^^ 40
On portera 4^ {fig* 4) 9 distance du point 4 ^ la trace horizontale £F du plan (EFG), sur FG {fig. 3) de F en 4. I^ parallèle 4'4'' à /8"i8' et la perpendiculaire 44'4'' à X'Y {fig. 3) se coupent au point 4" {fig. 3) , distant de l'horizontale XT'- de la hauteur verticale ^l\. Portant cette hauteur sur la perpendicu*laire 444" à XY {fig. a), de 4,en 4", les points 4'" et 4' sont {fig. a et 3) les projections verticales du point (4, 4)> {fiS* < et 40
Les arêtes des trois cylindres qui se rencontrent au point (4'» 4% •/%"• <et %) , ont pour projections verticales (J^. a) les droites Ik"\^ ^"r^ H'*it respectivement parallèles aux projections vtfticales ady bb\ ce des axes des trois cylindres. La
G^OHiTRIS DESCUlPTIVt. i$j
parallèle ^'"r à àb' coupe le cercle du diamètre ktnu point s, qui se projette sur Iç plan vertical (y^. a ) en r, et sur le plan horizontal (Jlg. i) en S ; la distance SR de ce pmnt S à la droite BF, est égaie à l'ordonnée rs du cercle.
53. Dans la première solution du problème pax* Tintersection de trois cylindres, on a construit les projectiox^s de deux courbes à double courbure; la solution que nous venons d^exposer est pi^3 simple, puisque la projection d'une seule de ces coturbes^ et un cercle d'un rayon donné, déterminent les points communs aux trois cylindres.
Ayant trouvé l'intersection des deux cylindres  et B , et l'ayant projetée sur le plan (Jig. 4) perpeniliculaire à l'axe du troisième cylindre, on peut disposer de la grondeur du rayon de ce dernier cylindre et de la position de son centre', pour obtenir le plus grand nombre de points communs aux trois surfaces cylindriques. Ces trois surfaces étant «de révolution, on pourrait encore trouver les poiodts qui leur sont communs , en cherchant les points de renccmtre de l'un des cylindres et de la ligne d'intersection des deux autres (art. i84^ liv- i^O* ^oui^ appliquerons cette méthode à la solution des detix problèmes suivans«
PROBLEME JO. (PL ag. )
On donne sur une carie tcpogrc^Juqm trois points d^ua terreau Un observateur sç transporte sucœsswement à ces trois points^ muni d^unJU à phnib et d'un instru^ menttelqu'un graphomè»^^ propre à meswerles angks. Il mesure les angles que les verticales menées par les trois points font an^ec les rayons visuels dirigé^ de chaam de ces points vers un quatrième; ces {mgles étant connus^ on propose dercfportér le quatrième point sur la cane, etde tromper %^ coXJt y c'est'hrdire sa hauteur au-dessus du pka% horizontul auquel on rapporte tous les points 4^ terrain?
54. Solution par Viniersection de trois cônes droits* Désignons par les lettres jà, A.', A" les trois points connus sur le terrain et sur la carte; Y, Y'^ Y' les trois verticales passant par ces points. Nommons a y a\ a" les angles , 1^ de la verticale Y et du rayon visuel dirigé vers A; a^ de la verticale Y' et du rayon visuel dirigé vers A'; 3^ de la verticale Y" et du rayon visuel dirigé versA". Maintenant, si l'on considère le cône droit dont le sommet est au point donné A , qui a pour axe la verticale Y^ et dont le coté fait avec l'axe l'angle a, tous les points de la surÊtce de ce cône satisfont à cette condition, que le rayon visuel dirigé de l'un qudconque de ces points vers le point A , fasse avec la verticale Y l'angle donné a; d'rà il suit que cette surface copique est un lieu géométrique dn point demandé. On démontre de la même manière que ce point a pour lieux
i;éométriques deux autres cônes droits, qui ont poiir axes les verticales menées par les points B et C , pour sommets ces points , et dont les côtés font respectivement avec les axes les angles donnés b etc. Le point demandé est donc Ttatersection de trois cônes droits , dont les axes sont verticaux , qui ont pour sommets trois points donnés , et dont les côtés font avec les axes des angles connus. Considérant ces cônes deux à deux, et les coupant par un système de plans horizontaux qui donnent pour sections de l'un et Tautre cône , des cercles, on trouvera par cette méthode ou par celle qui a été exposée (art. i6a , liv. i®''), la courbe d*intersection des deux cônes , tant en projection horizontale qu'en projection verticale. Les points communs aux trois courbes qui résultent de la pénétration des trois cônes , satisfont aux conditions du problème.
Explicaiion de la figure pL ag.
55. On prend pour plan horizontal de projections, le plan de la carte topographique, et pour plan vertical, un plan parallèle à la droite qui joint deux des trois points donnés. Soient A, B, C les projections horizontales de trois points connus sur le terrain; les cotes de ces points, ou leurs distances au plan horizontal étant données, leurs projections sur le plan vertical XY seront aussi données. Soient a^b^c ces projections; les cotes des points donnés sont, diaprés l'échelle de la carte, égales aux longueurs des verticales Moy B'^, Ce .
Un observateur placé au point (A, a) dirige un rayon visuel vers le point donné sur le terrain, point qu'il s'agit de rapporter sur la carie, et il mesure l'angle a {fig* 2), que la verticale dû point (A, a) fait avec le rayon visuel. Deux autres observations semblables donnent les angles è, c {fig. a), que les verticales des points (B, b) , (C, c) font respectivement avec les rayons visuels dirigés vers le point du terrain dont on demande la position sur la cartel- Ces trois observations déterminent les trois surfaces coniques droites, qui sont les lieux géométriques du point cherché. Ces cônes n'ont point d'arêtes parallèles ; d'où il suit Tart. 167, liv. i*') que leurs lignes d'intersections sont des courbes ferméeé: ^ees lignes se rencontrent en des points qui satisfont aux conditions du problème.
On construit la ligne d'intersection des deux surfaces coniques qui ont pour sommets les points (A, «) , (B, ^), en les coupant ou par un système de plans qui passent par la droite (AB , ab) qui joint les deux sommets, ou par des plans horizontaux qui rencontrent les deux surfaces suivant des cercles. Cette ligne d'intersection se compose de deux branches dont les projections sont DEFG et LMNO sur le plan horizontal, et de/g, Imno sur le plan vertical. La droite AB divise en deux parties égales les courbes fermées DEFG , LMNO ; chacune de ces courbes correspond sur le plan verticïil à une autre courbe defg ou Imnoj
G^ÔIiniTniX BBSGIItP.TIV'E. i53
^i n'est pks^èertiwhée, et dont un fioint quelconque/ tel que «, est la projec* tion verticale dè^deux points *de; là ligne d'ititet^ction des deux cônes, qui se projettent sur le plan horizontal en N et N'.
56. Secondé soliuioiu (^Héme plancka^k^) Des trois surfaces coniques qui se pénètrent y la ti^isième qui a pour sommet le point donné (C , c) , étant comme les deux premières « une sur£aice de révolution -, dont Taxe est la verticale (C, C, cc)^ on trouve (art. i84) le point commun aux trois surfaces, par la considération d'une qniatrième sur&ce de révolution , qui a pour génératrice la ligne d'intersection des deux premières surfaces, et pour axe la droite (C, Ccc). Le plan vertical PCQ mené ^ar «cet axe , parallèlement au plan vertical.de projections XY» coupe la quatrième surface de révolution, suivant les courbes d'e'f*g\ VniHdy et leurs égales d'é*f"g"y VnCr^o- placées symétriquement par rapport à l'axe Ccd : or la droite cp ou cq génératrice du troisième cône, qui fait avec la droite G ce y Vangle Gcp ^gal à l'angle donné c {Jig. îi), coupe la section méridienne de la surface de révolution auxiliaire , aux quatre points e', ^, dj ri ; donc si l'on mène par ces points quatre horizontales qui rencontrent les courbes de^, Imno aux quatre points e^g^o^ny ceux-ci seront las projections verticales des quatre points qui satisfont aux conditions du problème» Pour avoir les projections hori* zontales E , G , O, N cdrrespoiidantes^ on abaissera du point n , par exemple , la perpendiculaire: /zSTN' sur la droite XY interjection des deux plans de proj^sctions*
Cette perpendiculaire rencontre la courbe LMNO en deux points N, N', dont les distances an point C sont respectivement CITf CN'. Le premier IS' correspond à la projection verticale is de l'un ^ des points cherchés, parce que sa distance CN à Taxe (C, G'cc')«st >égale à la droite mn'j qui- mesure la distance du point n' à la droite Ccc* Le point N' ne peut pas être la projection horizontale du point cherché , dont n est la projection verticale , parce que la droite CN' est plus petite que la droite âi/ï'.
Le problème* proposé a au plfis q^atfe solutions, et d'après les données de la figure pi* oif^^ les quatre points qui satisfont au:i^ conditions de ce pro* blême, sont(E,«),.(G,^5, (O,o), (N,*.)
