II. DES VOUTES

39. La construction des grandes voûtes est soumise à certaines règles, dont on ne peut s'écarter que pour de petites voûtes telles que les portes , dont il a été question dans le paragraphe précédent. Lorsqne des voûtes sont destinées à couvrir de grands espaces, on les nomme maUrésses voûtes y ou simplement w>ûles. L'appareil et Tordonnance de ces voûtes doivent satis&ire à plusieurs conditions, d'où dépendent la stabilité et l'effet des décorations extérieures. On a déjà vift (chap. i ^'', % 3 , art) 1 5 de cet appendice) que la coupe des pierres a principalement pour objet la distribution des voûtes en voussoks, et la division des surfaces de voûtes en douelles. Les recherches sur le meilleur mode de division, ont conduit à ces résultats : i^ Le joint de deux voussoir» conséeutife doit être , pour chaque point de la ligne d^intersection de la sur&ce du joiat et de la douelle commune aux deux voussoirs, perpendiculaire à cette doueUe , afin que Fangle d'une douelle et du joint étant égal pour tous les* voussoirs, ces voussoirs résistent également aux pressions qu'ils supportent; ce: qui n'aurait pas lieu , si l'angle était obtus pour l'un des voussoirs, puisqu'il serait nécessairement aigu pour l'autre, a^ Il est nécessaire , par ta même raison, que les surfÎBK^es de joints* d'un voussoir et de tous ceux qui l'environnent, soient perpendiculaires entre elles. 3^ Ces sur&ces doivent être engendrées par le mouvement d^une ligne droite, parce qu'elles sonudans ce- cas sasoeptibles d'une exécntion plus parfaite, et qu'une légère incoireetion dans un joint, entraine la rupture de l'un des voussoirs* auquel ce joint appartient 4^ Il £aut que les joint» soûent fernïés par des surfaces d:éveloppables , afin* que les panneaux ou dëveloppemens et ces surfaces puissent être appliqués sur les faces des vous* soirs, et en donner exactement les contours.

AConge a fait voir qpie toutes ces conditions sont remplies, en divisant la sur- £ree d'une voûte e?» se^ lignes de^c&urbure. C'est à ce géomètre qu'cm doit la théorie de ces' l%aes», et kur appUcatiopi à la< division^ des voûtes en voussoirs*

i88 ciOMÊTRIE DESCRIPTIVE.

Exposé sommaire des propriétés des lignes de courbure (extrait du Journal de

l'Ecole polytechnique, second cahier, année 1796).

4o. Après avoir conçu par un point quelconque d'une surface courbe une normale à 'cette surface, si l'on' veut passer au point infiniment voisin pour lequel la nouvelle normale soit dans le même plan que la première , et la rencontre par conséquent en un point , on peut toujours le faire daus deux directions ; ces deux directions sont à angles droits sur la surface, et elles sont les seules qui donnent ce résultat, si l'on en excepte le cas particulier de la sphère pour toute la surface, et de quelques points remarquables pour d'autres, tels que les sommets des surfaces de révolution.

Les deux points dans lesquels chaque normale est rencontrée par les deux normales infiniment voisines, sont les centres des detjx courbures <Fe la surface dans le point que Ton considère ; les distances de ces deux ^ihts à celui de la surface, sont les rayons des deux courbures; et le^ directions rectangulaires dans lesquelles on pas(se de la normale aux deux normales consécutives qui la coupent, sont les directions de ces courbures.* '

Si l'on conçoit que le point deia surface se fnéuve de manière qu'à chaque instant, des directions des deux courbures-, il suive celle qui est dans un premier sens , et qu'il continué ainsi de se laouVoii* atitant qiiè le permettra l'étendue de la surface , la courbe qn^l parcourra , sera cetie de l'une des coâ!rburâ. En concevant pour chaque point une courbe paVcoimie*db cette manière,* oh aura la suite des lignes de la première courbure, qui diviseront Taire de la surface courbe en zones-, sttivant une première tliBecTidn. ^Si l'on conçoit que le point de la surface, au lieu de suivre dans son mouvement la direction de la première courbure, suive aucontràirê^céttstatnmetit'belte dé la' seconde, il parcourra une courbe de" la seconde courbure, et cette courbe coupera toutes celles de la première à angles «droits. En concevant pour chaque pdifit une courbe parcourue de cette seconde manière j on aura la suite de^ ^lignes de la^ seconde courbure, qui diviseront l'aire de la surface en d'attirés zones, suivant une nouvelle direction. ÊnAn chacune. des lignes de l'urie de* ces deux suites étant perpendiculaire «à toutes celles de l'autre suite et réciproquement, il s'ensuit que les deux suites de lignes de courbures diviseront l'airè de lia surface courbe en élémens, qui seront tous rectangulaires. Cela peat être rendu -sensible sur les surfaces de révolution prises pour exempte, j .

Sur les surfaces de révolution, on ne peut passer d'un point à un autre pour lequel les deux normales soient dans un même plan , k moins qu'on ne suive ou la direction du méridien, ou celle du parallèle qui passif par ce point; sûitttnt

toute autre direction, les deux normales ne se rencontreraient pas, puisqu'étant dans des méridiens différens, elles ne passeraient pas par le même point de Taxe. Les méridiens sont donc la suite des lignes d'une des courbures ^ et les parallèles la suite de celles de l'autre. Chaque courbe de l'une de ces suites est perpendiculaire à toutes celles de l'autre , et les deux suites divisent l'aire de la surface en élémens que l'on peut regarder comme rectangulaires.

Si la normale se meut de manière que, sans cesser d'être perpendiculaire à la surface , elle parcourre une ligne de courbure ; dans chaque instant de son mouvement, elle se portera sur une des deux normales infiniment voisines qui la coupent, et elle engendrera une surface qui sera développable, qui sera partout perpendiculaire à la surface courbe, et qui coupera celle-ci dans une de ses lignes de courbure. *

Sif pour le même point, la normale parcourt la ligne de Tautre courbure, elle engendrera de même une seconde surface développable normale à la surfoce courbe, et qui rencontrera la première en ligne droite et à angles droits. Si l'on conçoit donc une semblable surface pour chacune des lignes de courbures de l'une et de Tautre suite, on aura deux suittô de surfaces développables normales à la surface courbe , et telles que* chacune de celles d'une des suites rencontrera toutes celles de l'autre suite en Ughes droites et à angles droits. Toutes ces surfaces développables normales diviseront l'espace en élémens indéfinis dans le sens de la longueur de la normale, infiniment étroits dans les sens des deux courbures, et terminés par quatre plans rectangulaires entre eux, et par quatre arêtes indéfinies et en lignes droites.

De r usagé, des lignes de eourbure dans la dimion des voûtes au voussoirs.

4i- En divisant lasurfacede la voàte par les lignes des deux courbures, espacées entre elles d'une quantité dépendante de la nature des matériaux, les joints sœont formés par les sur&ces développables normales à la surface de la voûte. Si les joints sont apparens sur la surface dé la voûte, ils j traceront des courbes toutes rectangulaires entre elles, et qui, dépendant de la nature même de la surface, en rendront la génération plus prononcée. Enfin ces courbes diviseront la surface de la voûté en compairtimens rectangulaires , susceptibles d'une décoration propre à la surface. '

C'est vers cette solution générale que les artistes s'étaient toujours dirigés ;

ils ne l'avaient atteinte que pour les cas faciles des surfaces cylindriques , des

surÊlces coniques et de celles de révolution. Quant aux autres surfaces courbes

dont ils ne connaissaient pas les lignes de courbure, ils les excluaient presque

g^énéralement de la composition des voûtes , lors même que les circonstances

Us eMg^mnt îoip^lmi^emeac ; et c'eit à ceU iHtQcipaleneiit qu'oq doit attribuer la m^^uv^i^ effet que prcMJiui^^ent e» général d»n$ Tarcbitecture , les morceaux de traits de coupe de^ pierres, parce que pwir reudreuu trait exécutable, PU ne cboi&it p^s toujours U âurfeoe de la Yoùte U plud cottveoablev ^

N°* I et :>. Vouws TUMJjyibss i»ar ujtb sdbf^ce uriqi^e.

N" I . Voûte sphérique.

4^* Cette VQÙto est destinée à couvrir unesaUecirculaire^^le a pour piédroit, un mur eu tour ronde, termîtié inténeurement par un cylindre droit. La aectîoti de ce cylindre par le plan horizontal des naissances de la voûte, est un cercle^ qu'on prend pour le grand cercle de lu sur&ce sphénqiie de la voûte. Un plan vertical quelconque ; pa$aant par k oenti^ de cette surface y la coupe suivant un demi^-cercle, qu'on divise en parties égale» de nombre impair. La figure génératrice de la voûte oontenue da»s ce plan, ne diffère pus de la section droite de la porte droite n^. i. £lle tourae autour de l'axé vertical du mur en tour londe^ et ii résulte de ce moavementt i^ que les arêtes de douellea de la -voûte aoni: des cercles borizondaftix ; u^ que les joints iliorauMn suivant ces arêtes sont des oones droits qui ont leurs sommets sur Taxe du mur en tour ronde ; 3^ que chaque assise de la voûte à pour faces extérieures .un cylindre droit vertical 9 \xn plan horisonlal, et poor aretee, des ciroonCérences de ceroles.

Pour partager les assises de la voûte en.vouaaoirs, on divise le cercle de la naissance de la voûte en parties égales ; les plans menés par les points de division et par l'axe vertical du mur en tour ronde , partagent la première assise en voussoirs. Un second système de plans verticaux menés par le même axe , et qui piurtage en deux parties égales , les cingles des plans du premier sjrstème , divise la seconde assise en voussoirs.

Toutes les assises ont leurs joints verticaux dena Tun on Fautre de ces deux systèmes de plans ^ de manière que les joints de deux assises consécutives nQ soient pas dans le même pian vertical.

I^ cerde géBérateor de la voûte spbérique ayant été divisé en un nombre impair de parties égales, l'arec placé au milieu du demi*cercle, engetidre ht douelle du voussoir qu'on nomme la clefAe la voûte»

CoMStmeiiom de tépmpe^

43* On prend poiur plan horûsontal de projetions ^ te plan des naissances de k voûte spbérique. La projection horizontale d'un voussoir de la voûte spbé-r

rique, et la figure ^^ératrioe de ce voussoîT) donnée dam un pUn verticat, déterminent les dimensions du parallélipipède rectang;le capable de le contemn L'une des faces de ce parallélipipède coupe la surface de la voûte suivant un cercle, -ilonl on dét^fOÏAe le .c^nKr^ fit le rayon < Oa rapporte ce cercle ^\» la face, et au moyen d'Uixe ckerthe ou p$inneau découpé suivant le grand cercle de la sphère, on exécute Xécuellcj ou la surface intérieure du voussoir, sur laquelle on rapporte le contour de la douelle de ce vousacir. IjC» surfaces coniques, cylindriques, planes du'mérae voussoir, s exécutent par les procédés qu'on a déjà indiqués..

N^ a- VoiUe cUipsoide.

- . 44« La Toùte dlîpsaide est terminée par h surface du aecoml degré^ c^on à nommée ellipsoide {sM. lai, liv* j*'). Cette surface a pour Ugnes^de courbtnpe^ des courbes à dotible .courbure > dont ks projleclioM sur lès pbms de seê trois sections prîiKÂpales ^ simt des ceurbes du second detgré. Soit ÀBCD là ^etion principale i qui«{)asM.par le plus grand axeAfr et par le moyen axe CT>; ODË la denMeotinn prâncipale^ qm paséc par le attayein ai&^, et par le ptus pe^if aite , double delà dff<Mte»£K. La. prQroièrei)àérie de ligoes àei eourtnfifeK m praje^Xé sur le plan de l'èllips* ABCD, suivant lui système' f^Uipstf», dont les «dn^meu afkprocfaaÉl: iCoutitifueUeiifeal de d^ux pohita O^ C, satts pouvoir les àfteîndre*

La seeQode série se. p9Y>)etle sur le même |>l2tt^ smvadi:tin ^s^^e d*hyper^ boles, dont les sommets ont pour limites les mêmes points- O^ (X/

Les verticales élevées par ces points, coupent la surface de Tellipsoide en deux points , que 'Mûn^ a notinnéa ombibcs^

Les ellipses et les hyperboles, projections des deux séries de lignes de cour-^ bune, se. cominmèiit au moyisn d'im quart d'elKpse/Oi/iiel: d'une portion ÛHI d^hyperbcée^ qui omt tnèine ^qntee KL, et dcuK . axes commtui^ HO^ RG. • •

- 4^. L'ellfpscndB' ayant poov aqas pnbcipMsilesimit4)»>i«ÉS^Aâ*, CD, iSK, et pomî cenlcr le^ pdat K,. adcnt f , /^» f, hs ioyeta T«|)i«0tifo des^ Pr&m sec;^ lion» pvktcijpdtf», cmiadnistsft soir ka coi;qilâi' (d'axies (AÂ, CD)^ (GE), lyfiK),

Fbwr eoADti^uire le pàk^ O, on perte Kf et HF sttr ftae CIÛ) proftmgé , dk K enf *teftF; ^Hm ftedi^oké fir, et uà'^5«^fr<3fe FO, qtn cotrpcr r^e AB au

I%wcoti§thlfl^ë^èipoitt«G,M^JH)Ptfeste^^ ôirméne

la droite /»!), et aa pdfratlèle FG, q» eoirpe Taxe Kï^pràlbngé, au point G;

2921 GioXirmiB DESCftlPTITE.

ce qui détermine les droites rectangulaires KO, KG, distances des points O, G ail centre K de Tellipsoide.

Construction d'une ellipse telle que NMÎN', ou d'une hyperbole RPR', projection

d'une ligne de eourbuie de Vellipsoidè.

46. On trace sur les droites KG, KO comme axes principaux, l'ellipse OLG, et rhyperbote OIH. D'un point quelconque H dé l'hypertiore, on abaisse les perpendiculaires HM, HN sur les axes de Fellipsoidé Kî), KB; les pie^s M, N de ces perpendiculaires sont les sommets de rellipse NliflT. " '

LP, laires

Des trois points H, Af,'N, ou L, P,' Q, un étant donné, il est érident que les deux autres sont connus. Les points tels que M; pourraient être déterminés par la condition que les lignes de courbure diviseraient l'ellipse CDË en aFCS.soust tendant la même corde. On effectuerait d'abord cette di,vi5iôn sur l'ellipse , et on abaisserait par les points de division des perpendiculaires sur Taxe CD; les pieds de ces perpendiculaires seraient les sommets AT, M', ••• dés ellipses, projections d'un système de lignes de courbmre. A chaque point M ainsi déterminé, correspondraient deinc points H et N, l'un sur l'hyperbole auxiliaire OHI,et l'autre sur l'axe AD.

De la voûte ellipsoide , surmontée et surbaissée»

47. Les trois axes principaux de la surfaw de la voûte ellipsoide, étant inégaux , l'axe vertical peut être ou plus grand ou plus petit que 1^ deux autr^ • dans le premier cas, la voûte est surmontée; dans le second, elle est surbaissée.

La voûte surmontée (Mémoire xiitéde Monge^p9ige !i88) aui^ait en général plus de hardiesse et de dignité, et si la naissance était elle-même aune grande hautei:^, quelle que fût d'ailleurs la destination de l'emplacement^ cie serait la vofite surmontée qu'il faudrait employer, parce qye sagrande élévation, quifendt paraître ses dimensions verticales plus petites qu'elles ne seraient réellement , écraserait trop une voûte d'une autre espèce. La voûte surbaissée, en diminuant le volume de l'air compris dans l'emplacement , serait plus favoraUe à la voix d'un orateur. Si l'emplacement devait être éclairé par, deux lustres suspendus k Ei ixAlCy il faudrait que cette voûte fut surmontée ou surbaissée , parce que dans ces deux cas, sa surface aurait deux ombilics, placés symétriquement au-dessus du grand axe de l'ellipse horizontaj[e , et que ces ombilics, rendus. fi^aiiQapçns

APPENDICE./ agS

par les compartimens qui se distribueraient autour d'eux , seraient les points naturels de suspension ; alors on pourrait disposer du rapport entre les trois axes, pour que ces points fussent espacés d'une manière convenable.

. Des amphithéâtres.

%%. Les emplacemens dont on a pu disposer pour les salles des assemblées délibérantes, ont souvent forcé de donner à Tamphilbéàtre moins de profondeur en fape de Toràteur que sur les côtés; mais l'expérience ayant prouvé que la voix se porte à une plus grapde distance en face, il paraît que c'est une disposition toute contraire qu'on devait adopter. De toutes les formes qu'on pourrait donner à l'amphithéâtre, il n'y en a aucune dont la loi soit plus simple et plus gracieuse que l'éUipse ; il faudrait donc que la salle fût elliptique , et qu'elle fut couverte par une voûte. En plaçant le bureau à l'un des sommets de l'ellipse^y. oh pourrait lui conseWèr un espace suffisant pour la commodité du service , et l'orateur se trouverait naturellement placé sous un des ombilics de la voûte ; \ 'amphithâtrè n^'dccuperait que la partie qui serait en avant. Une galerie qui ferait le tour entier de la salle, et qui serait assez élevée pour être très-distincte de l'amphithéâtre, fournirait des places au public. La salle qui n'aurait ni tribune ni aucune espèce d'irrégularité, pourrait être décorée par des colonnes, à chacune desquelles correspondrait une nervure de la voûte , pliée suivant la ligne de courbure ascendante. Toutes ces nervures, verticales à leur naissance, se courberaient autour de l'un ou l'autre ombilic, redescendraient ensuite aplomb sur les colonnes opposées , et elles seraient croisées perpendiculairement par d'autres nervures pliees suivant les lignes de l'autre courbure. Les intervalles de ces nervures pourraient être à jour, soit pour éclairer la salle, soit pour donner des issues à l'air, et formeraient un vitrage moins fantastique que les roses de nos églises gothiques. Enfin deux lustres suspendus aux ombilics de la voûte, et à la suspension desquels la voûte entière semblerait concourir, serviraient à éclairer la salle pendant la nuit.

liions n'entrerons pas {continue Monge) dans de plus grands détails à cet égsaA\ il nous suffit d'avoir indiqué aux artistes un objet simple, et dont la décoration , quoique très-riche , pourrait n'avoir rien d'arbitraire, puisqu'elle consisterait principalement à dévoiler à tous les yeux une ordonnance très^gracieuse, qui est dans la nature même de cet objet.

lï^* 3 «t 4* VOUTBS TERMUriBS PAR DEUX Str]|EACES QUI SE PÉràTRElTT.

, ^ TX^ 3. f^oute d'arête bar longue*

49' LeS'VOÛted n^ i et a sont terminées chacune par une surface unique. Les

^g4 GÉOMÉ^TRIE DESCRIPTIVE.

Youssoirs des voûtes n^* 3 et 4» appartiennent à deux voûtes qui se rachètenty ou dont les surfaces se pénètrent. Chacun de ces voussoirs a deux douelle», quatre arêtes de douelles , et quatre joints normaux suivant ces aréte&

Les grandes voûtes qui se rachètent, ont mêmes naissances et sont égales en montée y c'est-à-dire, qu'elles ont leurs naissances dans le même plan horizontal, et même plan tangent au point le plus élevé de la ligne d'inters^lioo des surfaces qui les terminent. Les quatre arêtes de douelles d'un voussoîr des voûtes n^' 3 et 4) ^^^^ situées deux à deux dans un même plan horizontal.

Définition des voûtes (T arête barlongue, et en arc de cloître y n^ 3.

5o. Ces voûtes sont destinées à couvrir l'espace renfermé ent)re quatre plans verticaux parallèles à deux à deux. La section de ces quatre plans par un plan horizontal est un parallélogramme; selon que ce paraUélo^amm^ est rectangle ou oblique, la voûte est droite ou biaise. Les plans verticaux qui passent par les côtés de ce parallélogramme, ou seulement par les prcdongemens cle ces côtés ^ terminent les murs qui servent de pieds-droits à la voûte ; dans k cas où Us passent seulement par les prolongemens, les mura font entre eux uq angle saillant dans l'intérieur de l'espace voûté y et ne s'étendent pas au-delà des v^^ ticales , intersections des quatre plans verticaux des piedsiiroits. La voûte d'a^ ré te se nomme, dans ce cas, barlongue. Lorsque les faces verticales^ des piéd&droits sont de même loi^ueur qu^ les côtés du paraUâogramme ùon prolongés , la voûte prend le nom d'a/id de cloître^

. Les murs des pieds^4roits (f un arc de cloître font entre eux un angle renU'âiit vefs l'ùitérim¥* de Tespace voûté. La voûte d'arête bariongue couvre l'espaef^ vers lequel viennent aboutir quatre berceauxcjUiulriqiies , qui son% deujc à-deux les prolongemens l'un de Vautre. Il n'y a que les quatre [M*emiers voussoirs de cette voûte, placés aux angles saillansdes pieds-droits, qui posent sur ces pteds^ droits; toute la première assise de l'arc de cloître a sa naissance sur les piedsdroits de cet arc.

Pour Tune et l'autre voûte n^ 3,. la section des pced&*droits par le plan& horizontal des naisâdiuces, est un partUélogramme rectangle, dont les cotés appar* tiennent aux deux siurfoces cylindriques de ces voûtés. L'unie de ces sutÊices a pour hase un cercle , et on détermine la base de Tautre anrlau:e, par la coodilioii qu'elles aient pour ligne d'intersectioo ^ les deux courfaes^aiies qu'on obtient en coupant la première surface par deux plans verticaux , dont les traces horizontales sont les diagonales du parallélogramme rectangle (page io5, art. ]85, liv. I*''). Ces courbes forment l'arête de la voûte, ou l'intersection des deux surfaces cylindriques, lesquelles font un angle saillant sur la voûte bariongue , et un angle rentrant sur Tare de cloître.

APPENDICE. aoS

La base de la première surface cylindrique étant un cercle, Taréte se compose de deux ellipses égales qui ont pour axe commun vertical, une droite égale au rayon de ce cercle, et pour axes horizontaux, les diagonales du parallélogramme des piedS'droits. La seconde surface cylindrique de Tare de cloître est surhaussée ou surbaissée, selon que la première^ qui a pour base un cercle, passe par les plus petits ou par les plus grands côtés du même parallélogramme ; le même e£Eet a lieu pour la voûte d'arête barlongue , en supposant les surfaces cylindriques prolongées.

ConsîrucUon de t épure.

5i. On considère d'abord le berceau terminé par la surface cylindrique à base circulaire. La section droite de ce berceau ne diffère pas de celle de la porte <lroite n^ i ; cette section contient les panneaux de tète des voussoirs du premier berceau , et détermine pour chaque voussoir la douelle et les joints nor« maux. Les arêtes de douelles des deux berceaux étant pour chaque voussoir dans le même plan horizontal, et se rencontrant en un point de la ligne d'intersection des surfaces des deux berceaux , les arêtes de douelles du second berceau et les joints normaux suivant ces arêtes sont déterminés.

Chaque voussoir de la voûte a une douelle qui appartient au premier berceau, et deux joints normaux adjacens à cette daudle; on déduit de la projection horizontale, et de la section droite du berceau à base circulaire, le développement de cette douelle et des deux joints. Ce développement et les deux panneaux de tète de chaque voussoir, donnent tout ce qui est nécessaire pour rapplica-^ cation du trait sur la pierre , et pour la construction du voussoir entier.

Le plan de Fépure n^ 3 est divisé en deux parties égales ^ relatives l'une à la voûte d'arête barlongue, et l'autre à Tare de cloître.

N^ 4-' VoûMe d^ arête en tour ronde.

5a. La voûte d'arête en tour ronde, se compose de voussoirs, qui appartiennent en même tenaps à deox voûtes, terminées Tune par une surface annulaire f et l'autre par une surface canoide, (Voyez la définition de ces surfaces, art. io6 et i36, Irv. j*').

La voûte annulaire s'emploie pour couvrir l'espace renfermé entre deux cyRm^e» verticaux qui ont pour sections droites, des cercles concentriques. L^aire comprise entre ces cercles est la projection horizontale de l'espace qui est couvert par la voûte. On se sert de la voûle conoide pour couvrir l'espace compris dans l'angle de deux plans verticaux.

296 G^OMiTRIE DESGRIPTITE.

La voûte annulaire a pour pieds-droits, deux murs eu tour ronde concentriques. La section méridienne de cette voûte né diffère pas de la section de la porte droite n*^ i ; elle se construit comme la voûte sphérique n^ i • Qu'on imagine par Taxe vertical des piedsnlroits, deux plans qui coupent ces pieds-droits , et entre lesquels se fait le passage de Fintérieur à l'extérieur de la voûte annulaire. On couvre ce passage par une voûte conoide. La surface de cette voûte est engendrée par une droite horizontale , qui passe constamment par l'axe vertical des murs en tour ronde, et par une courbé donnée sur l'une des faces cylindriques du mur du plus grand diamètre.

Ayant pris pour cette courbe, celle dont la transformée est sur le développement du cylindre qui la contient, une ellipse dont l'axe vertical est égal au rayon du cercle générateur de la surface annulaire , les sur&ces des deux voûtes sont égales en montée. Le second axe de l'ellipse est égal en longueur à un arc du cercle, base du cylindre sur lequel. on enveloppe l'ellipse. Les plans verticaux des pieds-droits de la voûte conoide, coupent cet arc en deux points, et en déterminent la longueur.

Construction de t épure.

53. Les deux surfaces annulaireet conoide étant définies , et connaissant leurs paramètres, on construit la projection horizontale de leur ligne d'intersection , qui est une courbe à double courbure. Les arêtes de douelles circulaires de la voûte annulaire, coupent l'arête de la voûte en des points, par lequels on mène les arêtes de douelles rectilignes de la voûte conoide. . Les joints normaux suivant ces arêtes sont des cônes droits pour la première voûte , et des paraboloides pour la seconde. On a vu (art. i36, liv. i^'') comment on détermine les normales au conoide, qui forment le paiaboloide normal.

Chaque voussoir commun aux deux voûtes, est compris, 1^ entre deux plans verticaux passant par l'axe du conoide et de la surface annulaire; a^ entre deux surfaces cylindriques verticales concentriques aux pieds-droits. On développe ces deux surfaces, (et on trace sur ce développement, les lignes d'intersection de ces surfaces par la douelle conoide , par les joints de cette douelle, et par les faces adjacentes, en sorte qu'on puisse donner au voussoir, la forme qu'il aurait, s'il n'appartenait qu'à la voûte conoide. Les faces de ce voussoir étant .exécutées, on y rapporte par points , et par la méthode indiquée § a, chapitre i^^ de cet appendice (page 272), les arêtes, intersections des deux douelles et des quatre, joints normaux ; ce qui déterminera le contour des faces appartenant à la voûte annulaire.

§ III. DES DESCEITTES.

55. Les descentes sont de petites voûtes cylindriques, destinées à couvrir un terrain en pente, tel qu'une rampe d'escalier, un abat-jour de caveou souterrain, etc. La surÊice des naissances d'une descente est parallèle à la surface du terrain couvert par cette descente. Il y a beaucoup d'analogie entre les portes et les' descentes ; terminées les unes et les autres par des surfaces cylindrique^, elles diffèrent seulement entre elles par l'inclinaiton des droites génératrices de ces surfaces : ces droites sont horizontales sur les portes , et inclinées à l'horizon sur les descentes. On pratique des descetites dans l'épaisseur de murs, ou droits ou en talus : un plan vertical , perpendiculaire à la faice antérieure du mur, qui sert de pied-dlroit à la descente, est parallèle où incffné par rapport à la droite génératrice du cylihdre de cette descente; la surface de la descente est comprise entré les deux faces opposées d'un mur ; où, après avoir traversé ce mur, elle est rencontrée par un berceau. Ces diverses circonstances font varier les formes des deseentes, et on distingue ces voûtes, comme les portes, par les noms de descente droite y descente droitir et bùzûè y descente rachetant \cn berceau, des^^ cente en tour ronde , etc.

ii* il Descenéé dirùitey ènjudtts, htcHetahèun berceau.

N** a'^eta bis* ^}escente bCaise , rachétdniun berceau.

Définitions.

55. La désceûte n^ i est: conâtraite dans Tépaissenr d'un mur terminé d'un côté par un plan vertical ou en talus, ef dé l'autre par iln 'berceau cylindrique qui a ce nrar pour pied-droit. Elle 'est (festihée *k couvrir le passage qui conduit au betceau souterrain ; la largeur de ce passage est déternCiinéè par la distance dé deux plans vèftlëaEOx^ perpendiculaires à la face antérieure du lâùr, et à la droite génératrice du berceairracheté par la descente. *^ .

Le plan des nâi^sahces du berceau est horizontal ; le plan des naissances de là voûté, ffa!oli''nomitfé plan Ses coussinets, eât îticlîné : ce second pian passe |>arrhorizontftle du berceau, iirfer&edtt6ti71ti*pretnier plan, et "dé là face verticale 4I0 ùur, tahgMitè à la ^iM^S6t' dtVbil I^am ^ ^a * pénljfe est égale à celle du chemin xfox GQitduit au bêlteau. ^ ''*' *

»;.*Vf« .. j».«-i»

agS GÉOMIÉTEIE PB&CaiPTIVE.

Constructions des épures.

56. On prend pour plans de projection, i® le plan horizontal des naissances du berceau; %^ le plan vertical parallèle aux droites du cylindre oblique des descentes n^' I et a » et perpendiculaire aux droites du berceau cyUudrîque^ racheté par la descente n^ i. .

La section de la descente a^ i par la face du mur en dehors du berceau, ne diffère pas de la section de la porte n^ i . Cette figure détermise les arêtes de douelles de (a descente , et parce que cette dçsc^te est une petite voûte y \es joints ne sont pas nécessairement ncffn^aux au cylindre obliqua , qui U termme; ils passent tous par Taxe de ce cylindrfi

£n regardant la section de U descente par la iace extérieure du xntxri comme la base d'une surÊice cylindrique unique y on pourrait coillBtruire Tintersection de cette surface par la surlacé cylindrique du berceau ^ en coupant les deux surfsices par une suile de plam ptrsdlèles à leurs génératrices, ainai qu'on Ta expliqué (art. i55, liv. i^')* On a préféré^ dans ce cas particulier, les couper par une suite de plane verticaux parallèles aux droites de la première sur&ce ; ce qui simplifie cette seconde construction, c'est que les sections planes et parai* lèles du berceau sont égales.

On déduit des projections horimotale et verticale , Y arc droA ou la section droite de la descente, les développera ens des panneaux de douelles et de joints, et l'application du trait sur la pi«re^ aê fidt comme pour les portes n^' i et a.

57. Le plan des coussinets de la descente n^ i est coupé par la face du mur en dehors du berceau , suivant une drùite horizontale ; on prend la portion de cette droite qui est comprise entre les deux plans verticaux des pieds-droits de la descca:ite, pour le diamètre du cercle, hase du cylindre oblique qui termine la descente : ce diamètre, Ie$ deux perpencficulaires à oe diamètre, menées par ses extrémités, i'horisantale, intersection de la sur&ce du berceau par le plan des coussinets, forment sur ce plan, un parallélogramtQe rectangle. Si ce paratté* logramme était oblique, le6 autres données restant les mêmes, la descente se* rait biaise , rachetant un berceau-^. On a traité ce second cas dans] lei deux épures suivantes t n^* %tt%bis.

58. La projection verticale sur un plan parallèle aux droites du cylindre de la descente, peut se faire de deux maniàes; elle est ou orthogonale ou oblique. L'épure n® * bis. est construite par le second mode de pnc^ctioin, que j'ai expliqué (art. 199, liv. i**"). Les développemens de l'arc droit et des panneaux, ne diffèrent pas pour les mêmes données , de ceux qu'on trouve n** a , par la projection orthogonale.

APPBVBIGE.

N^ 3. Descente biaise , en tour rondes rachetant un berceau annulaire.

D^mtion.

5^. Cette descente est construite dans répaisseor d'un mur» tennloé d'un côté par uae sur£aice cylindrique verticale, de l'autre par une surfasse annulaire* £lki est destinée à couvrir le passage qui conduit à un berceau annulaire souterraiisu La largeur de ce passage est donnée; il est compris entre deux plans vertkauK P et F, qui coupent les surfaces cylindriques» extérieure et intérieure du laor en tour ronde, suivant quatre droites verticales, et la sur&ce annulaire suivant deux courbes. Ces deux courbes sont égales, lorsque la desce&te esc droite, et inégales, lorsqu'elle est biaise. Les plans verticaux P et F terminent les pieds* droits de la descente.

On prend, comme précédemment, pour Tua des plans de projections , ua plan vertical parallèle à Tun des plans PF, et pour l'amre plan de pix^yections^ le plan horizontal des naissances du berceau annulaire»

De la surface cylindrique, de ia descente.

6o. La dioite génératrice de cette surface est parallèle'aux plans P et F des pieds-droits de la descente; son inclinaison par fapportau plan horitontai étant donnée, la sur£sK2e c^iîndrique de la descente sera déterminée, lorS(C|U^on aura la base de cette surface. On prend pour cette base, un dèmi-cercle qui est enveloppé àur la face extérieure du mur en tour ronde, dont la section horizontale est un cercle donné. Les deux plans P et F coupent ce dernier cercle en deux points; on rectifie Tare compris entre ces deux points, et on décrit sur la droite de même longueur que Tare, le demi-cercle qui forme sur le cylindre vertical du mur en tour ronde, la base de la surface cylindrique de la descente^ La coupe de la descente par ce cylindre vertical étant développée, elle ne diffère pas de la section droite des portes n^* i et 2 : cette coupe étant donnée, on renvel(^pe sur la face extérieure du mur eoi tour ronde ; toutes les droites de son contour, en exceptant les verticales, deviennent des cercles ou des hélices. Considérant ces lignes comme des bases de surfaces cylindriques, qui ont pour arêtes des parallèles à la génératrice de fa surface de la descente, les têtes des voussoirs de cette descente et toutes les surÊMCs de douelles et de joints sont déterminées.

Les douelles et les joints ont pour contours sur la &ce extérieure da .mur en tour rende, des ligues dont les transformées #ont des arcs de cercle, et den

300 GiOMETRIE DESCRIPTIVE.

lignes droites. La surface des coussinets , formée de droites parallèles à la génératrice de la surface de la descente , passe par Tare de cercle de la face du mur en tour ronde, qu'on a rectifié pour tracer la coupe verticale et cylindrique iie la descente ; d'où il. suit que la figure des voussoirs ne dépend plus que de la position qu'on assigne à cette coupe sur la face extérieure du mur en tour ronde, entre les deux plans verticaux qui la comprennent, et qui sont parallèles aux plans P et F. On a déterminé cette position sur l'épure descente n? 3, par la considération que la descente et tous ses voussoirs soient au-dessus du plan horizontal des naissances du berceau annulaire. Pour satisfaire à cetfe condition , la droite qui termine le lit du voussoir le plus éloigné de l'axe du berceau racheté, et qui appartient à la surface des coussinets, passe par un point du cercle de la surface annulaire, situé dans le plan des naissances du berceau.

Ce point étant déterminé par l'intersection du cercle et de Tun des plans verticaux qui comprennent la descente, on mène par ce point , une parallèle à la génératrice de la surface cylindrique de la descente ; elle coupe la face extérieure en tour ronde, au point du cercle horizontal de cette face, sur lequel le diamètre de la coupe cylindrique développée, doit s'envelopper. La hauteur de ce point et la coupe cylindrique de la descente étant connues , on construit en projection verticale l'intersection des surfaces cylindriqueâqui ont pour bases les lignes de cette coupe, par la surface annulaire. En appliquant la méthode générale qu'on a exposée (art. i46> Kv. i^'), on trouve chaque point de cette intersection, par la rencontre d'une droite, et d^une courbe delà surface annulaure.

Construction de F épure et application du trait sur la pierre.

6i. Ayant déduit des projections horizontale et verticale, l'arc droit de la descente, et les développemens des panneaux de dou elles et de joints, chaque voussoir de la descente s'exécute par les procédés indiqués pour les portes.

Les joints des voussoirs de la descente en tour ronde, sont des cylindres qui ont pour bases des hélices : s'ils étaient normaux aux douelles , le développement de la coupe cylindrique verticale de la descente, serait modifié ; les droites > transformées des hélices , deviendraient des développées d'ellipses.

S rV. DES TROMPES.

62. Les portes, les voûtes, les descentes entrent comme élémens nécessaires, dans la composition de monumens et édifices qui satisfont à toutes les condi-

APPENDICE. 3ai

tions de régularité et de symétrie ; il n'en est pas de même des voûtes qu'on appelle trompes , et qu'on n'emploie le plus souvent que pour remédier aux inconvéniens qui proviennent de l'irrégularité du terrain sur lequel on construit, ou pour étendre certaines parties d'édifices dans les étages supérieurs , ou pour changer dans ces étages quelques distributions intérieures. Cependant de petites trompes peuvent servir à couvrir des enfoncemens réguliers , qu'on pratique dans l'épaisseur des murs, pour recevoir des vases, des statues ou d'autres objets de décoration ; celles-là diffèrent des trompes destinées k soutenir des saillies, qui sont des hors-d' œuvres ^ que le bon goût en architecture exclut, et qu'on n'admet que lorsqu'on y est forcé par quelques circonstances.

Les trompes sont de petites voûtes terminées par des surfaces coniques* Etant destinées à soutenir des murs en saillie, elles supportent de grandes pressions, et par cette raison, on les divise en voussoirs comme les grandes voûtes, par des plans normaux à leurs surfaces. Ces voussoirs ont pour arêtes de douelles , des droites qui concourent vers les sommets des cônes. On a aussi donné le nom de trompes à des voûtes terminées par des surfaces sphériques, cylindriques^ et autres, parce qu'elles sont appareillées comme les trompes, de manière que les courbes, arêtes de douelles y partent d'un point apparent de la naissance de la voûte. La partie de la voûte voisine de ce point est formée d'une seule pierre, qu'on nomme trompillon. Connaissant le cintre de ce trompillon , la surface réglée normale qui passe par ce cintre , est déterminée ; les voussoirs de la trompe, sont compris entre le cintre extérieur de cette trompe, et le joint normal du trompillon.

N^ I. Trompe dans V angle y biaise y en talus.

Définition,

63. Soit AE.A'E' la section horizontale d'un mur de bâtiment prolongé dans les deux sens BA et DE, et interrompu sur la longueur BD, base du triangle BCD. L^espace en coin qui se projette horizontalement suivant ce triangle, doit rester libre sur une hauteur donnée, à partir du niveau supérieur du terrain; on satisfait à cette condition , en changeant les directions des faces verticales et parallèles du mur principal; la section hoi:izontale de ce mur devient alors ABCDE. Af^GUE. Cependant le bâtiment a dans les étages supérieurs la forme qu'il aurait, si le mur n'était pas interrompu ; il s'ensuit qu'une partie de ce bâtiment est en saillie par rapport aux murs BC.B'C, CD.CDf ; et pour la soutenir, on élève sur ces ^urs 9 comme pieds-droits , une voûte dont le plan des naissances est horizontal. Ce plan coupe les faces verticales BC , CD des pieds-droits et la £ice du mur principal suivant le triangle ECD. On prend pour la surface de la

3oa GiOMlÊTAIE DBSGEIPTIVF.

voûte, un cône droit dont le sommet est en C, et qui a pour côtés les droites CB, CD. La face ABDE du mur principal coupe ce cône suivant une ellipse. Ayant divisé cette ellipse en arcs dont les cordes sont égales, et le nombre de ces arcs étant égal à celui des voussoirs, on conçoit par les points de divisions et par l'axe du cône un premier système de plscns normaux. Une section circulaire du cône est aussi divisée en autant de parties égales qu'il y a de voussoirs , et un second système de plans normaux au cône passe par ces nouvelles divisions ; les plans normaux qui divisent en deux parties égales, Us angles dièdres formés par les plans des deux premiers systèmes de même rang, comprennent les joints des voussoirs.

Lorsque la face A£ du mur principal est en talus, on dit que la trompe est en talus; elle est de plus biaise y lorsque les arêtes de douelles BC, CD du plan des naissances , ne sont pas de même longueur. XY étant la trace horîzgntale d'un plan vertical , perpendiculaire à la droite À£ , l'angle AXZ sur ce plan mesure le talus du mur principal.

Le cintre du trompillon est parallèle au plan qui a pour traces horizontale et verticale, les droites EBX, XZ. Le joint du trompillon est unesur£Eice réglée dont la droite génératrice, normale au cône de la trompe, passe par une ellipse semblable à celle qui forme le cintre apparent de cette trompe*

La surface conique de la trompe étant seulement assujettie à passer par les droites C6 , CD, il y a une infinité de surfaces c[ui satisfont à cette condition. Les auteurs des anciens traités de coupe des pierres ont varié sur le choix de cette surface. L'idée très-simple d'employer le cône droit à base circulaire , est de M. Girard; alors la surface réglée, joint du trompillon, est engendrée par une droite qui a pour directrice l'axe du cône droit de la trompe.

De la construction de t épure.

64. On prend pour plans de projections, le plan horisohtal des naîssaBees de la trompe, et le plan vertical XY perpendiculaire aux £aices du mur priocipaL On déduit de ces deux projections, toat ce qai est nécessaire pour l'application du trait sur la pierre. Cette application se fait pour le trompilioa, par la méthode d^équarrissement, et pour les voussoirs de la trompe, par la méthode des be> veaux. C'est pourquoi il &ul, i^ construire l'intersection de la surface de jràit du trompillon par les faces du parallélipipède rectangle capaUe de ce troni* pillon ; ^^ résoudre pour chaque voussoir, les deux pyramides triangulaires (page \^iy art. 8, liv. 12), formées par les plans du cintre de la trompe, des deux joints, et par un quatrième plan mené par les deux arêtes de douelles, pDac qui contient la doudle plate. (La douelle plate est le quadrilatère formé par les

APPENDICE. 3o3

deux arêtes de la douelle d'un voussoir, et par les droites qui joignent les extrémités de ces arêtes).

Les deux pyramides ont leurs sommets sur le cintre^ aux extrémités des arêtes de douelles; elles ont pour arête commune , la corde du cintre qui joint ces extrémités. Chaque joint contient deux autres arêtes, dont l'une est aussi arête de douelle; l'autre est la droite intersection du plan de joint et du plan de tête qui contient le cintre. Ayant construit lies angles que les trois arêtes de chaque pyramide font entre elles ^ on détermine les angles dièdres ou bedeaux ^ par la méthode exposée (page laa , problème 4)*

N^ a. Trompe sur le coin.

Définition.

65. Soient AF.A'F, FE.FE' les sections horizontales de deux murs d'un bâtiment;, qui se rencontreraient à angle droit, s'ils étaient prolongés jusqu'au plan vertical FF, mais qui sont interrompus sur les longueurs BF, DF, cotés du carré BCDF. L'espace qui se projette horizontalement suivant ce carré, doit rester libre sur une hauteur donnée, à partir du niveau supérieur du terrain. Il est nécessaire, pour satisfaire à cette condition,d'infléchir les mivs principaux suivant les côtés BC, DC du canpé BCDF ; en sorte que la section horizontale des murs du bâtiment devient ABGDE.A. B'CDË'. Cependant le bâtiment doit conserver dans les étages supérieurs 1^ forme qu'il aurait, si les murs principaux AB.A'B', DEiyK n'étaient pas interrompus ; il s'ensuit que la partie supérieure du bâtiment, correspondant au carré BCDF, sera en saillie sur les quatre murs terminés par les plans verticaux AB, BC, CD, DE : c'est pour la soutenir qu'on élève sur ces murs, comme pieds-droits, une voûte conique. Le plan horizontal des naissances de cette voûte, coupe les faces extérieures des murs suivant le carré BCDF, dont les cotés CB , CD sont les arêtes de douelles des premiers voussoirs de la trompe dite sur le coin^ Ayant pris pour la sur&ce de cette trompe le cône droit dont le sommet est en C, et dont le côté GB ou CD fait avec l'axe CF l'angle BGF ou FCD de 4^^, le cintre extérieur de la trompe est formé des, deux sections du cône par les plans verticaux BF, FO ; et parce que ces plans sont parallèles aux plans tangens du cône menés par les di*oites CB, CD, U s'ensuit (art. 74 9 liv. j ^^^ page 44} que le cintre est formé de deux paraboles Omb , Ond^ comprises entre les deux droites rectangulaires FJ, FG,.et F&, FG, respectivement égales aux droites FB et FH.

Cette trompe a, comme la première, un trompillon d'une seule pierre, dont le cintre est formé des portions des mêmes paraboles Gmb , Gnd^ qui ont pour

3o4 GEOMiTEIE DESCRIPTIVE.

projections horizontales les droites bf^ df^ respectivement parallèles aux droites BF, DF.

Les joints, qui divisent la trompe sur le coin en voussoirs, sont aussi, comme pour la précédente n^ i , dans des plans qu'on détermine , en égalisant autant que possible les épaisseurs des voussoirs, et les cordes des douelles de ces voussoirs sur le cintre apparent.

Construction de V épure.

66. On prend pour plans de projections, i ^ le plan des naissances de la trompe pour plan horizontal; a® les plans verticaux BF et FD, qu'on amène dans le plan vertical HFH' perpendiculaire à l'axe CF, en les faisant tourner autour de la verticale F, ou FG.

On déduit de ces deux projections, i^ les angles dièdres des douelles plates et du cintre; ^^ les développemens des douelles plates.

On remarquera que la douelle plate de la clef est un quadrilatère, divisé en deux triangles isocèles par l'horizontale mV, qui joint les extrémités des arêtes de douelles passant par les points m et n des deux paraboles du cintre. Le plan de cette douelle plate coupe la verticale FG au point g^ qu'on détermine en menant la parallèle CL à niii^ et en portant la droite FL dirigée suivant FD en F/; la droite In prolongée coupe la verticale FG au point ^; ce qui donne les cotés égaux gm , gn du petit triangle isocèle de la douelle plate de la clef.

L'application du trait sur la pierre , tant pour ce trompillon que pour les voussoirs de la trompe, se fait par les procédés indiqués dans la notice sur la trompe précédente u^ i •

N® 3. Trompe cylindrique^

Définition^

67. Cette trompe est destinée à soutenir un mur en tour ronde, en saillie su!r . un mur droit. On voit rue Garencière, église Saint-Sulpice de Paris, une trompe

de cette espèce, qui soutient une chapelle circulaire. La section du mur droit par le plan horizontal des naissances de la trompe, est terminée par deux droites parallèles AB, CD. Le même plan couperait la face extérieure du mur en tour ronde prolongée, suivant le cercle du centre £ et du rayon £F ; il contient l'axe GH de la surface cylindrique de la trompe. Cette surface est un cylindre droit, qui a pour axe , la droite GH parallèle à CD ; un plan vertical ÂCG la coupe suivant un cercle du centre G et du jayon GC. Le cintre apparent de la trompe est une courbe à double courbure , intersec^

tion de deux cylindres droits, l'un horizontal , qui termine la voûte, Tautre vertical, qui termine le mur en tour ronde. Cette courbe a pour projection horizontale , Tare de cercle IFK du rayon EF. Les plans de joints qui divisent la trompe en voussoirs passent par la droite £F perpendiculaire sur le milieu de la corde IK de l'arc IPK, et divisent le demi-cercle vertical du diamètre IK, en un nombre impair d'arcs égaux.

Le trompillon a pour cintre , la ligne d'intersection du cylindre droit horizontal de la trompe et du cylindre droit vertical , dont la section horizontale ifk est concentrique à l'arc IFK. Le joint du trompillon est une surface réglée normale à sa douelle; les faces adjacentes sont planes. La projection horizontale du trompillon est comprise entre les droites {7, ^/n , parallèles à la droite £F ; il a pour section , pM le plan vertical AB, le rectangle bniw.

Construction de Vépure.

68. Ayant pris pourplap horizontal, celui des naissances de la trompe cylindrique, et pour plan vertical la face verticale AB du mur droit, on y projette, i^ les cintres de la trompe et du trompillon ; a^ les arêtes de dpuelles de la trompe.

On déduit de ces deux projections, i^ les intersections du joint du trompillon, par les faces horizontales et verticales de ce trompillon; vt? le dévelopment des douelles des voussoirs de la trompe ; 3^ le développement des joints plans de ces voussoirs , en observant que chacun de ces plans coupe le cylindre droit vertical du mur en tour ronde , le cylindre droit horizontal de la trompe , et la surface réglée du joint du trompillon : ce qui donne trois courbes planes, pour le contour d'un joint ; les autres lignes de ce contour sont trois droites qui appartiennent respectivement à la face horizontale no du trompillon, à la face verticale AB du mur droit, et à la face verticale du parement de chaque youssoir.

Jf^ 4- Trompe sphériqucy en niche.

Définition^

69. Cette trompe couvre un espace circulaire, pris dans l'épaisseur d'un mur ea tour ronde. Le plan horizontal des naissances de cette trompe coupe les faces extérieure et intérieure du mur en tour ronde, dont le centre est en O, suivant les cercles concentriques ABC, A'B'C, et la surface sphérique de la trompe suivant le grand cercle F£G du rayon DE ; d'où il suit que la section horizontale de la niche est comprise entre les deux arcs de cercles FEG, FB'G , .^ui se coupent aux points F et G. On mène la droite FG , qui joint ces deu^

3o6 g]£oh]£trib DEScaiPTiVE.

points y et on décrit sur cette droite^ comme diamètre, un demi-cercle vertical qu'on divise' en un nombre impair de parties égales : les plans menés par les points de division et par la droite BDO , qui joint les centres O et D des arcs Ffi'G, F£G, divisent la trompe en voussoirs.

Le cintre extérieur de la tnSmpe est une courbe à double courbure, inter* section de la portion du cylindre droit vertical, qui passe par Tare FB'Q, et de la sphère du rayon DE , dont le centre est en D. Le trompillon a pour cintre , un cercle verticaKd'un diamètre fg^ parallèle à la droite FG. Le joint du trompillon et des voussoirs d^la trompe, est un cône droit, dont le sommet est en D, et qui a pour base le cintre {Jjgyf'^g')^

Les joints des voussoirs de la trompe, qui passent tous par Thorizontale DB^, ont pour traces sur le plan vertical XY, des droites qui divisent en parties égales le cercle /'Jy; deux de ces droites, telles que ^'5, d'Q^ sont les limites de la projection verticale de l'un des voussoirs.

I^a douelle de ce voussoir est une portion de surface sphérique dont le contour est formé, i^dxm arc vertical 3'4'du petit cercleyJgr', cintre du trompillon; a^ de deux arcs de grands cercles , dont les proiongemens passeraient par le point E du plan horizontal ; 3® d*une portion de la courbe à double courbure, intersection de la douelle sphérique, et du cylindre vertical FB'G. Ce contour a pour jMTOJections horizontale et verticale, les quadrilatères (i.a.3.4)> (i'.a'.3'.4').

Construction de V épure et application du trait sur la pierre.

70. Les plans de projections sont, i^ le plan horizontal des naissances de la trompe sphérique; %? deux plans verticaux XY, XT', l'un perpendiculaire et l'autre parallèle à la droite ODBB' du plan des naissancest qui passe par Taxe vertical O du mur en tour ronde , et par le centre D de la surface sphârique de la trompe.

Ayant pris pour le solide capable du trompillon , le parallélipipède {Imnh , VniriKy LMNH), on construit les intersections du joint conique de ce trompillon , par les faces^du parallélipipède.

L'application du trait sur la pierre capable d'un voussoir, se fait au moyen des deux joints développés de ce voussoir , et du contour de la tête sur le cylipdre vertical FB'G. En développant ce cylindre , on a pour la tête du voussoir compris entre les joints â , 5', ^'.6', la figure a, dans laquelle la courbe i.a est le développement de la portion de courbe à double courbure , qui se projette horizontalement en i .a.

Pour développer les joints, on suppose que les plans qui les contiennent, tournent autour de la droite horizontale BB, pour s'appliquer sur le plan horizontal

▲ PrBVDICC ^Qj

Le prenner joint (8F, d'y. 5) , développé fig.. j\ a pour contoor, une figure composée 1 1^ d'un are de grand cercle de la aoriace sphértque de la ti^ompe;^ a* d'une droite du joint du trompiUon ; 3^ de deux ellipses, iatersections des cjHadres TerûcauK du mvr en tour ronde par le plan de joint ; 4* d'tine horisontale du parement Tertieal, parallèle à la droite &B\

Le contour du second joint (BB', d'6l.& ), développé fig;f^ diffère du oontont précédent, parce qne le plan de ce joint ne rencontre pas seulement le joint co-» nmue du trompillon , mais encore la fiice horizontale supérieure {ùnnhy nfn') de ce trompillon. A la place d'une droite unique gp (/Sg. f) du premier contour, on a C^*/) les deux droites gq^ qr^ qui appartiennent, l'une au joint conique du trampillon, et l'autre à lafiioe horizontale supérieure de ce tnunpilloa.

% Y. XSCALIEBS.

7 1 • La partie d'un bâtiment ou d'un édifice, occupée par un escalîerj se nomm e la cage de cet escalier. On distingue deux espèces d'escaliers, les uns à marches parailèies, les autres à marches tournantes. Les premiers conviennent aux grands édifices « dont ils sont le principal ornement ; leurs marches sont égales en hauteur et longueur : le rapport de ces deux dimensions est ordinairement celui de I à a. On pose les marches sur un massif rampant,, de manière que les deux faces apparentes de chacune d'elles , qu'on appelle , en charpente, marche et contre-marche j soient l'une horizontale et l'autre verticale. Le massif est cour tenu par les murs de la cage et par d'autres murs parallèles , distans des premiers de la longueur des marches. La construction de ces murs , et le tracé des marches parallèles , ne {Mrésentent aucune difi^cuUé de stéréotomie. Il n'en est pas de même des escaliers à marches tournantes., dont les emplacemeus sont le plus souvent très-irréguliers» mal éclairés, et qui ne deviennent praticables que par des combinaisons de lignes et de surfaces qui se raccordent.

Les escaliers à marches tournantes sont ou à noyau plein ou à jow. If ouâ allons donner des exemples de ces deux variétés,

N** I et I bis. Escaliers à noyau plein.

7a. Ces de«x escaliers se construiaest dans les tours ; le noyau est mi cylindre rertical à base circulaire du rayon AB {fig^ \\ L'enceinte de la cage est un mur exa tour rcmde, qui a pour épaisseur DD', difFévenoe des deux rayons Aiy et

AD. Soit I .F la dislance à laquelle on se tient de ia £ice intérieure i.a.3.4 du

«sur en tour ronde, pour s'appuyer commodémeotaur une raippe fixée contre is/e mur. On décrit du point A , comme centre avec le rayon donné AF ^ un

3o8 GiOlfiTRIE DKSCftIPTIVE.

Cercle qu'on divise en arcs égaux, tels que FF. La corde de ces arcs ne peut pas être moindre que la longueur du pied. Les hauteurs des marches et leurs largeurs, mesurées sur le cercle du rayon AF, sont. constantes ; les rayons AF, AF'...., menés par les points de division, sont les projections des arêtes horizontales des marches. Ces arêtes coupent le cylindre vertical , qui a pour base le cercle du rayon A i> en des points d'une hélice, dont le pas (p. i4o, art. 36) est déterminé par le rapport de la largeur d'une marche et de sa hauteur ; d'où il ^uit que ces mêmes arêtes appartiennent à une surface réglée, dont la génératrice, constamment horizontale, a pour directrices la verticale A,, axe du noyau , et l'hélice dont la projection horizontale est le cercle i.a.3.4 •—

En développant le cylindre vertical qui a ce cercle pour base , sur le plan vertical XY [fig. a), perpendiculaire à la droite A3 {fig. i), l'hélice directrice de la surface réglée des marches, devient une droite hn^ dont l'inclinaison, à l'égard de l'horizontale XY, est déterminée par le rapport de la largeur mn d'une marche, mesurée sur le cercle i.!2.3.4«*>m ^t de sa hauteur hn. On aurait pu terminer le dessous des marches par une surface continue, égale à celle qui passerait par les arêtes supérieures de ces marches, et qui serait coupée par le cylindre vertical i.a.3.4 {fig\^)\ suivant une hélice qui aurait pour développement (/%. a) une droite tiri parallèle à Im. On a simplifié la construction de chaque marche, en supposant que sa section par le cylindte vertical , 1.2.3.4, est sur le développement (Jig. 2) le polygone abcde. Le côté ab de ce polygone est égal à la hauteur d'une marche; le côté bc mesure la quantité dont une marche avance sur l'autre ; ad est la somme de cette quantité et de la largeur de la marche mesurée sur le cercle 1.2.3.4; 1^ c^té edtsl une verticale parallèle à ab^ dont la hauteur est donnée.

Enveloppant le cylindre vertical 1.2.3.4 par ce polygone, le côté ce devient une portion d'hélice , et la face courbe de la marche qui passe par cette hélice , est engendrée par une droite horizontale qui s'appuie sur l'axe vertical A {Jig. 1).- Le cylindre vertical du noyau , qui a pour base le cercle du rayon AB , coupe la marche suivant une figure qui devient sur le développement {fig. 3) , un polygone abcde ^ du même nombre de cotés que le polygone donné delaypg^. 2, marqué des mêmes lettres. Lorsque la cage de l'escalier est d'un petit rayon , la face courbe d'une marche ne diffère pas sensiblement d'un plan.

Nous n'avons considéré jusqu'à présent que la partie de chaque marche comprise entre le noyau et le mur en tour ronde de la cage, mais cette marche a un noyau, qui &it partie du noyau plein de l'escalier, et qui est compris entre les deux plans horizontaux adj bc (Jig. 2 et 3 ). C'est pourquoi le développement {fig. 3) de la marche comprend le parallélogramme aa'cd (qni se prolonge au-delà du cadre de la planche)^ dont le côté aà^ ou cd est égal à la circon-

APPBVBICB. 3o^^

térence du rayon AB ( ;%• i ). La projection horizontale de cette marche EE'B3'.3. E, est marquée {fig. i) d'un trait plein. Toutes les marches étant égales, elles ont des projections ou des sections égales, sur chacun des trois plans y^« i , a, 3.

Les marches font plusieurs révolutions autour du noyau. Une figure telle que ££'B3'.39 est 1^ projection horizontale de toutes les marches, dont les arêtes horizontales sont dans le même plan vertical 3.3'. La distance verticale de deux de ces marches doit être d'environ deux mètres, pour qu'en montant l'escalier, on ne soit point obligé de s'incliner. Si là cage entière comprend v'mgt marches (ce qui a lieu sur la fig, i), chaque marche aura en hauteur un décimètre. En montant l'escaUer, on voit le dessous des marches d'une révolution supérieure, et on aperçoit la discontinuité qui résulte d'un système de faces courbes héli* çoides, adjacentes à de petîtes.faces planes verticales. C'est pour éviter cette apparence , qu'on a construit (n^ i bis) l'escalier circulaire à noyau plein , en terminant le dessous des marches par une sur£aice réglée continue.

Explication des figures i , a , 3. N** i his.

73. Le noyau, la cage, lés arêtes horizontales des marches, étant les mêmes que sur la figure n® 1 , on conçoit la surface continue qui passe par ces arêtes , et dont la section cylindrique développée (Jig. a) est la droite Im* Ayant mené sur ce développement, une parallèle Vni à cette droite, on plie \^fig^ ^ sur le cylindre vertical i.a.3.49 ^^^^ droite l!n{ devient une hélice directrice de la surface du dessous des marches. Le mouvement de la génératrice de cette surface est déterminé par deux autres conditions, d'être constamment horizontale , et tangente à la surface extérieure du noyau plein.

On donne {fig a), 1^ la hauteur ab d'une marche; a^ la quantité pb dont une marche avance sur Finférieure; 3^ la longueur d'une verticale cpk comprise entre les deux parallèles bn , Vni ; ce qui détermine sur la droite /'m', le point c, et la distance cp de ce point à l'horizontale bp.

Là droite de la surfisice du dessous des marches, qui passe par le point c (fig. a), est, en projection horizontale (fig* i), une tangente CC au cercle du rayon AB. Cette droite est Une arête de douelie de la voûte dont la marche est un voussoir. On prend pour le joint de ce voussoir, un plan passant par Faréte de douelie , et normal à la douelie au point milieu de l'arête. Ce joint coupe le plan horizontal bp (fig. a) , suivant une horizontale qui passe par le point jr^ et le cylindre vertical i.a.3.4> suivant une poriion d'ellipse dont la transformée est (fig. a) la courbe çy.

Lé second joint de la marche doit être égal au premier : c'est poiurquoi il faut que la seconde arête de douelie de cette marche, passe par le point e (y%. a)^

3lO GiOHEXmiS OESCEIPTITE.

distant de rhorûscmtale 4u^' de la liaiiÉear verticale ^' acz qp; ce qui déterauoe le point e de k dtoîle fm\ et les projectiona bornontides ££^ EKJ'J" de la ae* conde arête de doueUe , et du joint fKisaaat par cette arête. La droite £S' est tangente au cercle du rayon ÂB , poiaqu^eUe est ia projection d*ane droite de la soTÛkce inférieure des aaarchea.

La aection entière de la marche développée (Jig. a), est formée de quatre droites ai^ by^ ce^da^et de deux courbes égales cjr^ éd. Dévdoppaot le cy* lindre du noyan plein {jftg. 3), le contour de la section de la marche par ce cylindre est abyved\ il est aussi formé de c]piatre droites et de deux courbes égales ^, ^d. Les vcfticaies marquées des mémos kttMS (Jig. a e/ 3 ) sont de même longueur.

Chaque inarcke de l'escalier n^ i bis porte, comme la marche de Tescidier n^ f , une assise du i>oyau, dont la hauteur est détmraîiaée par la distance ver* ticale des points ii et c ijlg. 3) ; c'est pourquoi il &ut ajouter au développement du noyau (y%: 3), le parallélogramme (prolongé au-delà du cadre de la planche) adb'c'y qui a pour c6l^ la droite ab'=:cq (Jlg. a), et la droite 42a' égale à la circonférence du rayon AB (/^. i) du noyau.

Les marches des deux escaliers V^ i et i bis, étant engagées dans l'épaisseur du mur de cage, «elles sont soutenues d'un bout par ce mur, et de l'autre par le noyan plein dont elles font partie.

Escaliers à jour. N®* a et 3.

N* %, Fis à jour.

D^finidofi.

74. La 7ns à jour est un escalier composé de marches qui s'appuient aenlement par une extrémité sur Fun des murs de fa cage. Ces marches ftmnent une voûte; elles sont terminées en dessous par une surface réglée : chaque marche eiX un youssoir, qui a pour douelle une poition de cette surÊure.

Les murs de cage étant droàs, les intersections des £ftces intârieuies de ces murs , par un plan horizontal , forment un polygone; <m trace une courbe tati* gente aux côtés de ce polygone, et on se sert de cette courbe pour diviser la cage de f escalier en deux parties, destinées l'une pour les marches , et l'autre pour le jour. L'emplacement qu'on appelle jour est terminé par une surface cylindrique verticale , qui a pour base une cwirbe équidtstante de celle qui est tangente aux côtés du polygone de la cage. Les marches occupent l'espace compris entre le jour et les murs de la cage. Dans les deux exemples précéderas 11'" ï et 1 bis, la cstge et le jour sont terminés par des aur&œs cyfaidriques verticales^ qui ont pour bases des cercles concentriques.

▲ PPBITDIGS* 3lt

La face horizontale de chaque marche porte à Tune de ses extrânités (celle qui est du côté du jour), uu balustre vertical qui supporte une rampe. La distance à Liquelle on se tient de cette rampe, en montant Fescalier, étant donnée, on s'en sert pour tracer sur le plan de la section horizontale du jour, une courbe équidis* tante du contour de cette section. De chaque point de ce contour comme centre^ avec la distance donnée pour rayon, on décrit un arc de cercle, et la ligne tangente à tous les arcs de cercle ainsi décrits, détermine la courbe ëquidistante , sur laquelle on mesure la largeur des marches. Cette courbe étant divisée en arcs de même longueur, on mène par les points de division, des droites que Ton considère comme les projections horizontales des arêtes horizontales des marches, ou des intersections des plans des faces de ces marches, dites en charpente marche et contre^marche. La condition de passer par les points de division de la courbe équidistante du jour, ne détermine pas les projections de ces arêtes ; ce n'est que par un tâtonnement qu'on parvient à fixer la position la plus convenable de ces droites. Ce tâtonnement, qu'on appelle balancement des marches , a pour objet de donner à ces marches des dimensions à peu près égales, et. d'éviter des changemens brusques de courbure, soit dans la suiface du dessous des marches, ou sur les lignes apparentes de cette surface.

On est dirigé dans cette opération , plus mécanique que géométrique , par la considération que les projections horizontales des arêtes des marches , doivent diviser le contour de la section horizontale du jour, en parties qui augmentent et'diminuent progressivement par degrés insensibles^ sur deux portions consé« cutives de ce contour.

Explication des figures i, a, 3. N* a (Vis â jour).

73. Soient (Jig. i) abc...h ^ i.a.3.4«**8, les lignes du plan horizontal, qui représentent le jour de l'escalier, et la ligne qu'on suit en montant cet escalier. On divise cette ligne en parties égales i.a, a. 3, .... 7.8.

L'opération du balancement détermine les droites i.a, a.^, 3.c, ,. 8A, qui sont les projections horizontales des arêtes des marches. Ces droites prolongées forment un polygone, limite d'une courbe continue afiy.*.iêf tangente aux cotés de ce prolongement. Ayant tracé cette courbe , la surface du dessous des marches est déterminée.

De la surface du dessous des marches.

76. Le cylindre vertical qui a pour base la courbe i.a.3...8(/%i. i), coupe les arêtes horizontales des marches en des points , qui appartiennent évidemment à

3ia GÉOM]^TRt£ DESCRIPTIVE.

une hélice, puisque les hauteurs verticales des marches sont égales. On prend cette hélice pour la directrice d'une surface réglée dont la génératrice, constamment horizontale , se meut en touchant le cylindre vertical qui a pour base la courbe «^^.••tf , et pour déduire de cette surface, celle qui termine le dessous des marches, on suppose que les droites génératrices des deux surfaces, sont dans chaque position parallèles entre elles dans le même plan vertical, et que leur distance verticale ne change pas.

Il résulte de cette hypothèse, i® que tout plan vertical passant par Tune des droites a.i, à.^, c.3..:., contient Taréte horizontale de la marche dont cette droite est la projection, et une génératrice de la surface du dessous des marches; ^^ que la distance verticale de Taréte et de la génératrice est constante.

Construction d'une marche (fig. i, 2 et 3).

nn. Soient 1I2, a.3 (/%^. 1 ),les largeurs de deux marches consécutives. La marche supérieure recouvre une partie de la marche mférieure , et ce^recouvrement étant donné, nous supposerons que sa largeur , mesurée sur la ligne i.2.3... , soit égale à R^a ou R'.3. Ou mèue par les points R, R' les tangentes Rr«, R'//3, à la courbe a^y^^^j et ces droites sont les projections horizontales des arêtes de douelle de la marche. La plus courte dist;ance de ces deux arêtes est égale en longueur , à la hauteur d'une marche.

Les marches étant comprises entre la cage LMNO et le jour abc. .h, les projections horizontales des arêtes de douelles ont les mêmes limites. Ayant divisé ces projections en deux parties égales aux points m et m\ on conçoit par les points correspondans des arêtes, des normales aux douelles; chaque arête de douelle et sa normale déterminent un plan de joint de la marche. I^ distance de l'arête de douelle à la face horizontale de la marche supérieure ou inférieure étant connue, on en déduit les parallèles S^ St aux droites Rr, RVVquî terininent les projections horizontales des joints.

De la normale à la surface du dessous des marches.

78. Les arêtes de douelles sont tangentes au cylindre vertical qui a pour base la courbe «j8>'...a», et passent l'une par l'arête verticale «, l'autre par l'arête verticale /3. On substitue aux élémens delà surface du dessous des marches, et suivant ces arêtes, des paraboloides tangens, qui ont pour génératrices une droite horizontale , dont le mouvement est déterminé par la condition de passer par l'hélice i.a.3...8 et par l'une des verticales «, ^. Les normales à ces parabor loides, ou les perpendiculaires aux plans tangens qu'on a déterminés (art. i36, liv. i*' ) , fixent la position des plans de jointfrtie la marche.

APPENDICE» 3l3

De r application du trait sur la pierre.

79. Chaque marche est engagée dans l'épaisseur du mur de cage , et en considérant celle dont la projection horizontale {Jig. i) est ar'pq^ et qui se termine au plan, vertical pg, parallèle à la face verticale MKPQ du mur de cage, on. construira {fig. a) Tintersection de cette marche par le plan pq. On connaît dans cette figure, la hauteur a.a' de la marche, la distance Rr ouRV de Tarête de douelle au plan horizontal j-.a ou a'. 3', et la différence "Kk des verticales menées par les points R, R', laquelle est égale à la hauteur 2. a' d'une marche.

On ajoutera la section plane {fig. a) de la marche, le développement (/%• 3) du cylindre vertical abc ... A (Jîg. i ). Ayant d^abord exécuté le solide dont la projection horizontale est égale à celle de la marche, et qui est compris entre deux plans horizontaux distans entre eux de la quantité kr' {Jig^ a), on passera de ce solide à la forme de la marche , au moyen des deux panneaux (Jîg. a et 3).

N® 3. Escalier à jour, — Courbe rampante.

80. Les marches en pierre d'une vis à jour, dont les extrémités sont engagées dans l'épaisseur du mur de cage , n'ont de points d'appui que sur ce mur ; quoiqu'elles y soient fixées par des barres de fer qui les traversent, elles ne peuvent supporter que de faibles pressions, et on doit éviter lemploi de cet escalier pour transporter de lourds fardeaux. Le poids d'une charge tend à rompre la marche qui la supporte, vers l'extrémité engagée dans le mur; et l'effort est d'autant plus grand, que la ligne qu'on suit en montant l'escalier est plus éloignée du mur de cage, ou moins éloignée du jour. On pourrait augmenter la résistance, en diminuant la longueur de la marche ; mais ce moyen n'est praticable que lorsque t'espace occupé par la charge , ou le nombre de personnes qui montent l'escalier de front, n'est pas déterminé. Une autre espèce d'escaliers à jour, capables de supporter de grandes pressions et mén\.e des chocs, se compose de marches comprises entre le mur de cage, et une voûte particulière qu'on nomme courbe rampante.

Dé/inUion de la courbe rampante.

8 1 . Les miurs de la cage étant donnés, on détermine^ comme pour la vis à jour (Escalier n^ a), i** la ligne abcd... h du jour, équidistante de la courbe tangente aux côtés dû polygone LM, MN, NO, lequel est formé par la section horizontale des

3l4 GÉOMlâxm» ABSCBIPTIYE.

murs de la cage; 2^ la projection horizontale i.a.3...8 de la ligne qu'on suit en montant l'escalier; 3^ U eiourbe al^y.«^«^,, qisk'ovi obtient par l'opération du ba^ lancement {9X1. 74, p* 3 11), courbe à laquelle les projections des arêtes horizontalesdes marches» i.ay^.b% 3.e> ^^^.BAsooltaAgentefl ; 4^1a8ar£siGe continue de» aréte&harîzOftt2de»de» marches, engendrée parmuQ droite borisontale dont le moi];vement e$fc détemhié pav oe» deux conditiems ^ de passer par rbéUc« dont la ptojeetion horizMilale est la ligne i.a.3^.8, et d'être langemte atf Gjrlbkdreirevtâcid, qui a pour base la courbe iijSf>«..4K

Cela posé^ la cowbe vampante est un solide conprift entra deux cylindres irertîcauK^ cfm ont po«r base» la ligna dift jour abçA.M; et une ligne équîdîsitante de celle-là, à...d\..h'\ les faces supérieure et inférieure de ce dolidie», appavtieiment à des swfaces réglées, dont la générution sa dédiât de celte de la Mrbce coiititti!ie.ciHi[ est khtu fitéomélrique desarétes horiBoaHales de» marches.

i)Bf swrfates Sfq>éiiew9 (st inférieure de la eomthe rampmme.

82. Un plan vertical quelconque, tangent au cylindre vertical qui a pour base la courbe a^y^^^dj cotttie&t une horizontale de la- sur£EK:e continue des arêtes des marches, et deux autres horizontales parallèles, dont l'une appartient à la surface snpérieuge de fa courba rampante, eti l'autreà la sutiace inférteare. Las dis^nces respeetivea de cet trois hovizontalea étant donnée», ka 8ur£Kes r^^iéas ^i sont les heupi géométriques da ces droites , sont délarminéesk €hacmia d'elles a pour diractriree > une hélice tracée siht la cyhndre vertical nSiS^-S, et sa» gén^t^tnce mdidûi^Qst tan^nte au cjUndre vertical mfiy%.^ù>^

D^ la surfii$€ moyenne de la' e^m^be Fompante.

83. Un plan vertical quakonque^ taiagaiai aiflfcylindrevertical «/S^^..^^ , contient las 4eux drokes hocû&ontalea et équidiataulasdes STufacca supérieutv et inférieure de la courbe rampai^te; une troiaièma droite horizontale, à^ égale dis« tance des d^x pramières, appartient à la^ surfitce. mc^eime de la courbe rampante.

Le cylindre vertical dont la base A...D....H est équidistanta dca lignes^ a...d...hj a\,.d\..h\ et qui divise en deux parties égales, l'espace compris entre les deux cylindres verticaux qui ont ces lignas pour basa», ooope la surface moyenne de la courbe rampante , suivant une ligne qu'on appelle la ligne moyenne de ce solide. C'est par des points da cette ligna qa'on mène les plans de jcHOt àt^ vottssoirs da U courba rampante.

éL^p^Nmcz. 3iâ

Des joints de la courbe rampante.

84. La grandeur des voussoîrs de la courbe rampante est déterminée par le^ dimensions des pierres destinées à la construction de cette courbe. Ce» dimensions étant connues , on divise en plusieurs parties la ligne moyenne de la courbe rampante, dont la projection horizontale est A..»D...H, et on suppose que les joints de Fun des voussoirs doivent passer par les points de cette ligné moyenne, qui se projettent horizontalement en £ et en F.

Chacun de ces joints est déterminé par deux autres conditions , la première d'être normal à là surface moyenne, la seconde de passer par une droite de cette surface. Ayant mené les droites £f, F/3 9 tangentes à la courbe iafiy...y aux points f 9 j3, ces tangentes seront les projections des droites de la surface moyenne, par lesquelles on doit mener les plans de joint.

La seconde tangente Fj8 prolongée, coupe la ligne i.i^.3...8 au point (p: considérant cette ligne comme la projection d^une hélice* de la surface moyenne , la tangente à cette hélice au point dont ^ est la projection horizontale , et la verticale passant par le point de contact ^ , sont les deux directrices d'un paraboloide qui sera tangent à la surface moyenne, en supposant que ces deux surfaces aient pour génératrice mobile, une droite horizontale : or Ton sait (art. i36, liv. i**) mener une normale à ce paraboloide; donc les deux droites qui déterminent le joint passant parle point de la surface moyenne, dont F est la projection horizontale , sont connues. Le second joint, passant par le point dont £ est la projection horizontale, se construira de la même manière.

Construction de t épure.

85. Le premier plan de projections (/%". f) étant parallèle aux faces horiton- Ules des marches de l'escalier ^ on prend deux autres plans {fig. u ef 3) de projections verticales, respectivement perpendicidaires auat droites horisontales /3F^, lE^', et par conséquent aux plans de joint. Soit a^ {Jig^ ft) la trace horizontale du premier plan vertical, le plan de joint y eem firojetë suivant la droite pq. Oq projette sur ce même pian les quatre «réies de la courbe raib*pante, ou les lignes d'intersections <les -quatre surfaces courbes qui terminecit ce solide ; on ajoute 0uit projections verticaUs (>%« i er 3) de ces arêtes , celles . des lignes de la surface supérieure et inférieure de la (tourbe rampante qui se projettent sur le plan horiiK>ntal en A£DFHI« Ces projections {flg. a) sont coupéea par la droite pfq en des points qui ont Uurs.oorfespondaas sur layf^. i ;

3l6 G^OMISTKIE BESGRIPTIVE.

d'où il suit que les projections du contour du premier joint sont déterminées sur lesy^. i et a.

On déterminera de la même manière (/%. i et 3) les projections du contour du joint, dont le plan passe par le point (£, e) de la surface moyenne. Ayant (^g. i) la projection horizontale du voussoir entier, on connaît les faces verticales XY, Z d'un parallélipipède capable du voussoir. Pour déterminer les faces inclinées de ce parallélipipède, on emploie un troisième plan vertical X'Y'(/?^. 4)? parallèle à la droite XY (/ig. i), et on projette le voussoir entier sur ce plan. Cette projection (/ig. 4) du voussoir, est la limite des parallèles RS, TV, projections verticales des faces inclinées du parallélipipède.

jépplication du trait sur la pierre.

86. Cette application a pour objet de donner au parallélipipède (XYZ,RSTV), Jig. I e/ 4 9 Id forme du voussoir de la courbe rampante.

Les cylindres verticaux a...d...h^ a',.,d'...h(Jig. i ), qui comprennent la courbe rampante, sont coupés par les faces inclinées RS, TV {fig- 4) ^^ parallélipipède , suivant des courbes ; on développe en K" {fig. 5 ) ces courbes , et on y ajoute les droites , intersections des plans de joint et des faces inclinées RS, TV.

Les joints (/?y, y?^. a), {pq^fig- 3) doivent aussi être développés, et les figures K, K' montrent ces joints dans leur véritable grandeur. Le contour de chacun de ces joints, est formé de quatre courbes, intersections de ce joint et des quatre surfaces de la courbe rampante. On a ajouté à ce contour le parallélogramme qui résulte de l'intersection du plan de joint et du parallélipipède capable du voussoir.

Les lignes d'intersection du joint et des faces cylindriques du voussoir sont prolongées jusqu'aux côtés du parallélogramme.

Au moyen des trois panneaux K , R', K", on substituera d'abord aux faces planes verticales XY, 2i[fig. i) du parallélipipède, les portions de surfaces cylindriques, qui comprennent la courbe rampante, et ensuite on tracera sur le solide .ainsi modifié, le contour du voussoir de la courbe rampante, dont on a les projections (^g. i et 4).

La courbe rampante, considérée comme une voûte , a pour pied-droit le sol, et on la soutient dans sa partie supérieure par des pilastre^ ou colonnes. Les marches de l'escalier, placées entre cette courbe rampante et les murs d'enceinte de la cage, y sont engagées par leurs extrémités, et deviennent, par la résistance de ces points d'appui, capables de supporter de grandes pressions. Dans le cas où les marches devraient être terminées par une surface de même genre que celle qui forme la face supérieure ou inférieure de la courbe rampante, on

APPENDICE. 3l7

traiterait chacune de ces marches, comme si elle appartenait à une vis à jour

Les deux premiers escaliers n^ i et i bis se construisent seulement en pierres : il n'en est pas de même des escaliers^ à jour n°* a et 3 : on les exécute plus souvent en bois qu'en pierre. La construction en bois n'apporte que de légères modifications dans la forme des marches de la vis à jour et des voussoir» de la courbe rampante*

Escalier n? l\. — Fis Saint-Gilles é

87. La vis Saint-Gilles est une voûte destinée à supporter les marches dW escalier tournant. Elle a pour pieds-droits , 1® un noyau plein de la forme d'un cyliudre droit à base circulaire ; a^ un mur en tour ronde de même axe que le noyau. L'espace compris entre la face extérieure du noyau plein, et la face intérieure du mur en tour ronde , forme la cage He l'escalier.

Soit {fig. i) un plan vertical passant par l'axe A/ du noyau plein, dont la trace horizontale A^ contient le rayon AB de ce noyau, et la largeur BC de la cage. Sur BC , comme diamètre, on décrit le demi-cercle BCDE, qu'on divise en arcs égaux CF, F£... , DB, de nombre impair. Ayant achevé les deux figures ABD/ et CD£F.^4hKG7:L , il faut concevoir les surfaces hétiçoides (note V, page %&i) qui ont pour génératrices, les lignes mobiles BD, DL de la première figure, toutes les lignes droites ou circulaires de la seconde, et pour axe commun la verticale A/. Le mouvement se fait dans le sens indiqué par la flèche sur le plan horizontal [fig^ a).

L'horizontale BC (Jig. i) engendrera la surface des naissances de la voûte ^ et le demi-cercle BCDEF engendrera la surface de la voûte. Le solide engendré par la figure triangulaire BDL, fait partie du noyau\plein, et se décompose, comme ce noyau, par tranches horizontales. La section horizontale [fig. ii) de ce noyau et du solide héliçoide , a pour contour i ^ la circonférence du rayon AB, moins l'arc B'L ; 2^ les deux courbes B'D', DX', intersections du plan horizontal et des surfaces héliçoides engendrées par l'arc BD et la droite DL. La voûte se compose de solides héliçoides qui ont pour génératrices des figures de cinq côtés tels que EMF, EG, FH, GK, HK. Ce dernier côté engendre un cylindre droit; les autres côtés engendrent des surfaces héliçoides. Chaque solide héliçoide se décompose en voussoirs par des plans de joint perpendiculaires à l'hélice décrite par le milieu M de l'arc de cercle EMF. Cette hélice a pour projection hçrizontale le cercle NN'/i V, décrit {fig* 2) du point A comme centre avec le rayon AN ; on la nomme hélice moyenne.

Soit AN' (/%. a) le rayon de ce cercle, perpendiculaire à Tborizontale AC-

3l8 GÉOMIÊTRIE DESCRIPTIVE.

On projette chaque vousaoir de la voûte sur un plan vertical {fig. 3),perpendi. culaire à ce rayon; la tangente à l'hélice moyenne au point (N', /x), y est projetée parallèlement à elle-même : le plan de joint perpendiculaire à cette tangente , y est représenté par sa trace I/uJ. On projette sur le plan horizontal le contour du joint n^ I , et on remarque que, quel que soit le point de Thélice moyenne par lequel on mène un autre plan de joint normal à cette hélice, le contour du joint et sa projection horizontale ne changent pas. C'est pourquoi Ton a transporté la projection du joint u^ i , sur les projections n^* a et 3, en ayant soin que les contours de ces trois projections soient respectivement placés de la la même manière , par rapport aux droites AN', A/i', An".

Ayant les projections horizontales {fig. a) des joints e&trémes d*un voussoir .de la voûte, on connut les dimensions d'un parailélipipède rectangle, capable de ce voussoir, et dont les £aices sont parallèles ou perpendiculaires au plan vertical {fig. 3); on développe {fig. 4) '^ faces de ce solide qui lui sont perpendiculaires , et on trace sur ce développement les intersections des plans de ces faces et des cylindres droits engendrés par les cotés verticaux gh , Yi.k {Jig. i) du rectangle ^hiXJk circonscrit à ia figure EMFGIIR. Enfin on développe {Jig. 5) le joint perpendiculaire à l'hélice moyenne, qui a pour trace {Jig. 3) la droite 1/J. On rapporte sur ce développement (/^. 5), i^ les droites, intersections des plans de. joints du voussoir et des Êices du parallélipipède capable de ce voussoir ; i^ les courbes, intersections des mêmes plans et des deux solides héliçoides, qui ont pour génératrices le rectangle gh^ , et la figure £M FHKG (>%. t ).

Au moyen des figures i, a, 4? ^^ on donne au parallélipipède capable d'un voussoir, la figure de ce voussoir, déterminée par les projections sur les plans figures a et 3.

88. En considérant un premier voussoir, dont la tête est visible, qui a sa naissance sur un plan vertical AC/ {Jig. i), ou sur tout autre plan vertical An' {^fig. a), ce dernier plan An' coupe le parallélipipède capable du voussoir, suivant un parallélogramme qu'on a rapporté en A/S7 J^ (/f^. i ) , tel quUl doit être placé sur la figure EFHKG, considérée comme la section du voussoir par le même plan A/^' {Jig. 2>

Du tracé des épures à V usage des apparôilleurSé

89. Les appareilleurs tracent les épures de coupe des pierres sur deuK plans , l'un horizontal et l'autre vertical. Les dimensions parallèles à ces plans y sont représentées dans leur grandeur naturelle. Les aires sur lesquelles on trace ces épures, doivent être pa^itement dressées. On obtient facilement des surfaces lisses et planes^ au moyen du plâtre gâché, qu'on emploie dans un état de moU

APPKlfDIC£. 3l9

lesse, et qui prend, au bout de quelques minutes, la dureté conTenabte. Le tracé des lignes droites sur les aires^ ou plans de projections y se fait au moyen d'un cordeau qu'on tend par les deux bouts. Une pointe dirigée strivaÀt le cordeau , forme l'en^preinte d'une ligne droite ; autrement on frotte le cordeau avec de la pierre tendre^ et en le cinglant dans un plan perpendicitlâire à YéUre^ on y trace une droite de là couleur de la pierre.

90. Nous n^avons considéré dans l'appendice qui précède , que la partie géométrique de l'appareil des ouvrages en pierres. Si l'on veut connaître les dimen* sioicis des voiafes, les rapports de grandeurs entre les parties qui les composent, on consultera les livres qui traitent spécialement de l'art de bâtir, et notamment ceux du savant M. Rondelet , architecte du Panthéon. Nous terminerons ^ cet appendice par un article qui est extrait de son Traiié théorique et pratique de ¥Art de bâiir^ tome 3 , page 81.

Sur les qualités les plus essentielles des pierres relativement à leur emploi dans

la construction des édifices.

9t. M. Rondelet a fait sur cent; quarante-cinq espèces de pierres, plus de huit ^cents expériences , d'où il a tiré les conclusions suivantes :

1^ Dans toutes sortes de pierres, la pesanteur, la force, la dureté,. la nature du grain, la contexture plus ou moins serrée, sont des. qualités qui semblent se déduire les unes des autres. Ainsi, dans les pierres de même espèce, les plus pesantes sont ordinairement les plus fortes, les plus dures,^ ccUerdont le grain est plus fin, la texture la plus compacte.

^^ Les pierres dont la couleur tire sur le noir ou le bleu , sont plus dures que les grises, et celles-ci que les blanches ou rousses ; et en général celles qui ont les couleurs les plus claires , sont ordinairement moins fortes et moins pesantes.

3^ Les pierres dont le grain est homogène et la texture uniforme , sont plus fortes que celle» dont le grain est mélangé , quoique ces dernières soient quelquefois plus dures et plus pesantes.

4^ Les qualités des pierres influent aussi sur la manière dont elles s'écrasent : celles qui ont le grain fin, la texture homogène et compacte, et qui rendent un son clair lorsqu'on les frappe, se divisent en lames ou en aiguilles; les plus fières se brisent tout-à-coup et avec bruit, et se réduisent en poudre.

5^ Les pierres dont le grain est moins fin, qui ont leur texture moins compacte, et qui ne résonnent que peu ou point, se décomposent en pyramides, ayant pour bases les surfaces du solide , de manière que les pointes se réunissent au centre, ou la pierre se réduit en poussière ; les deux pyramides opposées ,

3aO GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

ayant pour bases le dessus et le dessous du solide, chassent celles du tour ; ces dernières se divisent par fentes verticales.

6® Toutes les espèces de pierres éprouvées ont diminué sensiblement de hauteur avant de s'écraser et même de se fendre. Cette diminution a été plus considérable dans les pierres qui se décomposent en pyramides.

7^ Lorsque les pierres avaient en hauteur plus de deux fois la largeur de leur base, les parties comprises entre les pyramides formées, se fendaient verticalement, en se divisant en lames ou en aiguilles.

8^ On a éprouvé encore qu'il faut moins de force pour faire fendre les pierres vives que pour les écraser, tandis que les pierres molles s'écrasent plutôt qu elles ne se fendent.

9^ L'indication la plus importante est celle qui fait apercevoir que la force des pierres de même genre est à peu près comme le cube de leur pesanteur spécifique.