CHAPITRE IL — Coupe i>es Pierres

§ I. des portes.

ai. Les portes sont de petites voûtes pratiquées dans Tépaisseur d'un mur, et destinées à couvrir uu passage, ou à éclairer Tintérieur d'une voûte. Les voûtes et les portes qui se pénètrent, ou se rachètent, ont leurs naissances dans le même plan horizontal.

Porte droite.

!2a. La porte la plus simple, qu'on nomme porte droite en plein cintre^ est pratiquée dans l'épaisseur d'un mur droit, compris entre deux plans verticaux parallèles. La surface de cette porte est un demi-cylindre à base circulaire , tangent aux plans des pieds droits , qui sont verticaux et perpendiculaires aux faces parallèles du mur.

Ayant divisé le demi-cercle en un nombre impair de parties égales, on mène par les points de division, des droites, qui'sont (art. 1 5, append.) des arêtes de douelles. Les plans menés par les arêtes de douelles et par l'axe du cylindre droit, sont perpendiculaires à la sur&ce de ce cylindre, et se nomment plans de joints^ ^ Doniiant la même largeur à tous les joints, chacun de ces joints est un parallé* logramme rectangle, dont deux côtés sont égaux aux arêtes de douelles, et la distance de ces côtés parallèles est égale à la largeur du joint. . Les voussoirs de la porte doivent se lier aux pierres du mur droit ; mais chaque pierre de ce mur est un parallélipipède à faces horizontales et verticales ^ c'est pourquoi le voussoir de la porte est un prisme qui a pour section droite , uii polygone de cinq côtés , formé d'un arc de cercle , de deux portions égales des rayons de ce cercle menés par les extrémités de farc^ et de deux droites , l'une horizontale, l'autre verticale. La longueur du voussoir est égale à l'épais* seur du mur. Ce polygone est marqué des lettres a, â, c, dj e^ sur la planche coupe des pierres ^^ porte n® i , profil.

Lorsque Tépaisseur du mur est trop grande, et les dimensions des matériaux trop petites , pour que les voussoirs soient d'un seul morceau dans le sens de leur longueur, on les subdivise par des plans verticaux perpendiculaires aux arêtes de douelles, ayant soin que les joints verticaux de deux voussoirs consécutifs ne soient pas dans le même plan.

Les portes de Saint-Martin et Saint-Denis (à Paris), sont des portes droites."

appeitdick.

Porte n** i.

Porte biaise^ en talus ^ rachetant un berceau cylindrique.

Définition.

si3. Lé berceau cylindrique est exécuté en moellons (art. 6, append.) ; il est racheté par une porte cylindrique. Les droites génératrices des surfaces du berceau et de la porte, sont horizontales, et leurs projections sur un plan horizontal se coupent à angle droit.

L'ordonnance de la petite voûte ou de la porte n^ r , est la même que pour la porte droite, ambcde est la section droite de Fun des voussoirs. Voici la différence des deux portes. La porte droite est pratiquée dans l'épaisseur d'un mur droit : la porte n^ i est terminée d'un bout par la surface cylindrique du berceau, de l'autre à la face plane d'un mur dit biais tX en talus. On nomme mur en talus celui qui est terminé par deux plans , l'un vertical, et l'autre incliné à l'horizon; et lorsque les lignes droites, intersections de ces plans par un plan horizontal, ne sont pas parallèles, le mur est biais et en talus. La face verticale du mur qui sert de pied droit au berceau cylindrique, est tangente à ce berceau ; l'autre face est biaise et en talus : c'est pourquoi la porte n^ i , pratiquée dans l'épaisseur de ce mur, se nomme porte biaise ^ en talus, radietant un berceau cylindrique*

ConstrucUon de V épure.

ikl\. Ayant pris pour plan horizontal de projections, le pbni des naissances de la porte, et du berceau racheté par cette porte, on y projette les lignes suivant lesquelles la sur£aice cylindrique de la porte , et les faces de chaque voussoir de cette pcMe, sont coupées, i^ par la surface cylindrique du berceau; '^ par la face du mur, biaise et eu talus. Chaque voussoir étant donné sur le profil, par une section droite telle que amboie^ la construction de ces lignes d'intersections, se fait de la manière indiquée (ai^t. 193, livre i®')«

On déduira du plan et du pt*ofil, 1« développement, 1^ de la surface cylindrique de la porte , qui contient tous les panneaux de douelles de cette porte ; a^ des joints correspondans à chaque douelle.

Les panneaux de douelles et de joints sont construits pour quatre espèces de portes cylindriques, qui ont même profil , et qu'on nomme :

I® Porte droite;

a® Porte droite , rachetant un berceau cylindrique ;

a8o GEOMETRIE DESCRIPT1V£.

3® Porte biaise, rachetant un berceau ;

4^ Porte biaise et en talus, rachetant un berceau*

On a fait tourner chaque plan de joint, autour de l'arête de douelle contenue dans ce plan. Quoique les panneaux de douelies et de joints soient réunis sur le même plan de développement, on distingue néanmoins sur la figure, chaque douelle et les deux joints du voussoir adjacens à cette douelle. C'est pourquoi cet arrangement de la figure des panneaux, a été adopté pour toutes les épures de voûtes à surfaces cylindriques ou développables.

application du trait sur la pierre.

a5. Prenons pour exemple le-voussoir de la porte biaise, en talus, rachetant un berceau, dont la section droite est le polygone de cinq côtés ambcde. Le plan ÂBCD et le profil dfgh font connaître les dimensions d'un parallélipipède rectangle capable de contenir ce voussoir. La longueuh AB ou CD de ce solide est au moins égale à la droite Ce' de la projection horizontale a'b'ddéC du voussoir.

Ayant exécuté le parallélipipède {KSCDy/gdK)^ ou rapportera sur ses deux faces verticales et parallèles AD, BC, \e panneau de tête ambcde; ce qui donnera le moyen de le transformer en. un prisme de la longueur AB ou DC, et de la base ou section droite {ambcde).

Appliquant les panneaux de douelle et de joints sur les faces correspondantes du nouveau solide, on aura les contours du voussoir entier de la porte n^ i. Ces contours servent de directrices aux génératrices des surfaces qui terminent le voussoir.

Le plan et le /^fv^!/ donnent un autre prisme qui diffère moins du voussoir de la porte , que le parallélipipède rectangle. Ce prisme a pour section droite le polygone rectiligne abcde, et pour longueur4a droite AB ou CD. Ce prisme étant exécuté, il est facile de voir comment on lui donnera» au moyen des panneaux de douelle et de joints de chaque voussoir, la fcM*me de ce voussoir. Le solide qu'on obtiendra sera terminé, i^ par quatre plans perpendiculaires au plan à\x profil y et désignés sur ce profil, par les Coites ae, bcy cd, de; a^ par un cinquième plan , biais et en talus ^ qui contient la face dont la projection horizontale estdm'b'c'd ; 3^ par les deux surfaces cylindriques de la porte et du berceau racheté : d'où il suit que la surface entière du voussoir se compose de cinq faces planes , et de deux faces courbes; que le nombre des arêtes de ce voussoir est de quinze , dont dix sont des lignes droites , quatre des courbes planes, et la quinzième est la courbe à double courbure, intersection des deux faces courbes cylindriques.

APPBNDICE. agi

POATB W^ a.

Porte en tour ronde , biaise y en talus ^ rachetant un berceau sphérique.

Définition,

a6. On nomme, en coupe de pierres ^ i^ mur en tour ronde ^ celui qui est terminé par deux cylindres droits concentriques, à bases circulaires; a^ mur en tour ronde y. en talus, celui qui est compris entre un cylindre droit et un cône droit, dont les sections horizontales sont des cercles concentriques ; y porte en tour ronde, en talus , une porte de même profil que la précédente n^ i , pratiquée dans l'épaisseur d'un mur en tour ronde y en talus, et située, par rapport à ce mur, de manière que l'axe de sa surface cylindrique, qui est horizontal, passe par l'axe vertical , commun au cylindre droit et au cône droit qui terminent le mur. Lorsque ces deux axes ne se rencontrent pas, la porte est dite en tour ronde, en talus et biaise.

On suppose que l'espace renfermé dans le cylindre droit du mur en tour ronde y en talus, est couvert par un berceau sphérique construit en moellons, dont la naissance est dans un plan horizontal donné. Ce plan coupe le cylindre droit suivant un cercle, que l'on prend pour le grand cercle de la sphère qui termine le berceau. La porte n® a ayant sa naissance dans le même plan , elle rencontre ou rachète le berceau sphérique ; c'est pourquoi on la nommeporte

en tour ronde y biaise y en talus, rachetant un berceau sphérique.

Construction de V épure.

27. L'épure se compose, comme pour la porte n^ i , de trois parties , \t profil y le plan , et le développement des panneaux.

Le plan du profil est perpendiculaire à l'axe du cytindre de la porte ; on prend pour \eplan de projections horizontales, celui des naissances de la porte et. du Jberceau racheté. Les lignes à projeter sur ce dernier plan, sont les intersections de la surface cylindrique de la porte , et des faces de chaque voussoir de cette porte, I® par la surface sphérique du berceau; ^^ par la face conique, du mur en tour ronde, en talus. Chaque voussoir est déterminé sur le profil par sa seciion droite {ambcde). La construction de ces lignes se fait de la manière indiquée (art. 195, liv. I*').

On déduira du plan et du profil, le développement, i^.de la surface çylin* drique de la p<Mrte, qui contient tous les panneaux de douelles de cette porte; a^ des joints correspondans à chaque douelle.

%%% GiOMETKIX fiTESCBrlPTIVE.

Les panneaux de douelles et de joints sont construits pour quatre cas différens, et donnent le moyen d'appareiller les voussoirs des portes suivantes:

I ^ Porte en tour ronde , biaise ;

a^* Porte en tour ronde , biaise , en tahis ;

3^ Porte en tour ronde, biaise, rachetant un berceau sphérique ;

4^ Porte en tour ronde, biaise, en talus, rachetant un berceau sphérique.

Les droites: qur s^ppartieiinent 9mac Gontouvs< de ces panneaux , ou qui servent à e^BStranie le»lîg;iies> conrbes de ces contowS', sont horiflUMitales ; c'est poiir arvoir dîvectemevtl leurs^kMagoeurs», qo'ooaprisi le plan horizontal des naissances . de» porte» nP* i ^Hy/pomt Tua des plans de profections*

jàpplittUion du trait sur la pierre.

a8« Cette applscatioii se feit comme pc«r la povte préeédeote^ On exécuta d-abord tin paraHélîpi|)ède rectaft^ ou un prisme dvoh àook la base est un polygone rectiligne de cinq côtés abcde; on change ce prisme e» «n autre qui ne di£fièiredu premier qoe par une face cytedBiqiie'iiMvqxtéeaur. profil amb, qui re»f)llaee- le pfan aé. En applixfttantsur ce prisme les pauneaux de cbcmlleet de joints relatife à chaNfue voussoîv, oni donne à ce vousaoir b %ure détensinée par l'épure.

De la figure &un vous soir de la porte n? n.

29. Le voussoîr ayant p^nir proâl^ lie polygone amkcde, étant de plus compris entre la surface intérieure du berceau sphérique , et la surface extérieure du mur en tour ronde , en talusv sa forme sersN* entièf ement déterminée. Mais il y a une modification de cette forme , qui résuite de ce que la face verticale marquée Àr profil cd, au ptîMt e'd^y n'est pas* prolongée jvsqo'au berceaai sphérique , qu'elle couperait trop obliquement. Par ]» poînC (e, d'), intierseetion de Thori- 8iontale(<;'£/', c) de* cette face et dw berceau spbériqne, on mène un plan vertical marqué- au plaei dX^ , qui est dirigé vers le centre du berceau , et qui contient la faM:e àiit voussoîr AoM le développement est le triangle ifd*M\ (amné de deux droites (fd'', d* k' respectivement égales à €d^ d'k^ etd'imarcc'^^' à» grand cercle dir bereeaiv sphéricpaie eoMenu dans le plan vertical dfX. La face verticate ^di^ qu'on noamiuf parement, est représentée dans sa véritable graiidieor, fig. p. EUe se compose- de deux: hori»»»0ales , d'une vertfieate égale k cd\ et d'un* are d'hyperbole yS^^ intersection du cône droit du mur en tour ronde j en talus, %t An plan: vertical ddi.

Kfous pouvons* maiotàiant faire Jr'érmniiération' des^ faces elr des arétes' db voussoir de la porte n® a.

APPSJfOIGE. ;||g)

i" Cinq iaoes fiamtê^ do«fc cpiatre perpydicufaires ml plan du profil^ y «ont représentées par les droites àc, od^ ée^ ae^ et la cinquièBie vertic^ a pour trace sur le pian horûsontal , la dfioîie él*Â'^

2^ Trois feices comices situées , l'wie sur le tàme <pii tecmme le fBoriCKfténeurement , «t les deux aulves sur les cylindres de la portent du iieroean.

^^ Dix-sept arêtes, dont sepC «ont des lignes droites^ 4tuitdes conAt^ plUMs, et les deux dernières^ des courbes à double courbniie, intersections des tiob Êices courbes.

Porte ir** 3.

Arrière-voussuré de Marseille.

3o. La porte qu'on nomme arrière^oussure de Marseille^ se compose d^uxie porte droite fM*ati<jpiée dans l'épaisseur d'un mur droit, et d'une petite voûte ou voussure^ desjduaée à couvrir l'évasement de cette porte. L'objet de l'é^asement est de faciliiter l'entcée des voitures, et d'empêcher qu'elles ne choquent les venteaux en bois, qui doivent fermer la porte droite en pierres.

ht plan hcMizontal des naissances de la porte droite coupe le mur qui sert de pied droit à cette porte; la section (y%: i) est <x)mposée de deux parties XabcdéYf Xa'à'dd'efY, égales et symétriquement placées par rapport à l'axe a fi de la sur^fece cyiindriqfue de la porte droite. Cette porte ne couvre que la partie du passage , comprise entre les deux plans verticaux XX', cc\ Elle Vêlar.git d'une quantité ^c, ou b'c^ pour couvrir l'espace compris eutre les deux plans verticaux cc'j dd\ qui doit être occupé par les venteaux destinés à former la porte droite. Ces venteaux tournent sur des gonds placés dans les angles bcdy b'dd! de la feuiUwe^ laquelle a pour génératrice, le système des deux droites égaies et reyctangulaires bc^ cd ou bd^ dd' tournant autour de l'axe a/3 de la surface cylindrique de la porte.

5i. L'élargissement de la porte droite est suivi d'un éuasement qui est déterminé par l'angle des deux droites ec/, de^ ou dd', d'd. Varrière^vcussure couvre l'espace compris «ntre les deux plans verticaux dd\ eé ; la section de cet espace par le plan des naissances de la porte droite^ est le trapèze dà!eé.&o\Xxod (Jîg. %) la trace horizontale d'un plan vertical parallèle aux faces XX', YY' du mur. La première surface de l'amère-voussure a pour génératrice une ligne drcMte, dont ehaque position est déterminée par ces trois conditions, i^ de passer par le cercle vertical de la feuillure , du diamètre dd' ; a^ d'être coupée par le plan vertical Y€en£\ suivant un arc de cerele (ee', hlX) {fig. i et a), dont le centre est «ur la verticale {a^ |8a7); 3^ de passer par l'axe horizontal ojS.

a84 GEOMEtHIE DESCRIPTIVE.

3a. L'arrière-voussure et la feuîUure ont les mcmes plans de joints que la porte droite ; et parce que tous les plans de joints de cette porte passent par l'axe a fi, il s'ensuit qu'ils coupent la sur£Bice de l'arrière-youssure suivant des lignes droites, qui sont les arêtes de doueUe de cette voussure.

Le joint normal à la surface de l'arrière-voussurevsuivant une arête de douelle, .serait (page. a3o, art. 167, liv. a) un paràboloide ^ à cause de la petitesse dé la voûte^ on eh simplifie la construction, en prenant pour Joinls de douelies , les prolongemens des joints de la porte droite. '

Des surfaces réglées de Varrière^voussure.

33. Supposons d'abord que l'arc de cercle {ee\ hlA), qui sert de directrice à 1^ droite génératrice de la première surface de Tarrière-voussure , soit donné. Cet arc, quel qlie soit son rayon, sera coupé par' les verticales des plans d'ébrasement (è, th), (e\ i'^), en deux points; les plans menés par ces points et par l'àxè et fi' de la porte droite, coupent le cercle de la feuillure dd* [fig i) , aux deux autres points (/, s),'(q\ q) : ces quatre points déterminent la position et les longueurs dés droites extrêmes (e^', hs)^ (e'^', kq) de la première surface de l'arrière- voussure ; d'où il suit que cette surface couvre seulement Tespace qui . correspond à la partie eés'(^ du trapèze cdéd\

Deux autres surfaces réglées , dont les génératrices passent, comme pour la première surface, par le cercle de feuillure Vfrf' {fig* ^) ^* P^^ ï^ne a/3 de la porte droite, couvrent les espaces correspondans aux deux triangles eds\ éd'q' j elles ont pour directrices des cercles de même rayon, donnés dans les plans d'ébrasement de^ dé {fig. i). L'un de ces cercles passe par lé point ^, et a son centre sur la drbrté rfe; l'autire passe par le poiÂt if , et a son centre sur la droite dé. Le rayon de Ces cercles est au nioins égal à la moitié de la largeur dd de la {feuillure; s'il 'était plus petit, les vetiteaux en bois, qui sont formés de deux

quarts de cercle .dja TSLjon df,.o\x d/= — ,.et qui tournent autour des verticales £?; é/', ae pourrai^t pas s^appliqûer^ contre les plans d'ébrasànent. Soit ^ùik {fig. 3) le cercle donné dans le plan de Fébrasement dé {fig. i). Ayant porté la largeur ii'^ {fig. i) dé Tébrasement, en ^é' {fig. 3), la verticale é'k détermine l'arc dé cercle i^lyk' de la seconde surface de l'arrière -voussure, et par conséquent le plan tangent à cette surface au point (e', k) {fig. i, a), ou k' {fig. 3) du phn de Fébrasement. Cet aw: i'I^k' du plan de Fébrasement étant coànu, on en déduit celui de la première sur&ce de Farrière-voussure, qui est contenu dans le plan vertical YT, par la condition que les deux surfaces se raccordent suivant la droite {éq'r^ ^9^)^ ^l^i leur est commune. En effet ces deux

APPEi^DicE.. a85

surfaces ont déjà les nlénies plans tangens, aux deux points (r, a'), (q', q) de cette droite ; il suffit donc (page i8/j, art. i84|, liv. i*^), pour quelles se raccordent suivant la droite entière, qu'elles aient un plan tangent commun au troisième point (e', /), ou ^ (Jîg. 3) : or le plan tangent en ce point A\ de la seconde sur- &ce, passe par la tangente km à l'arc ^l^k' donné dans le plan d'ébrasement €f e, (y%* i) 9 ^t celle tangente coupe la verticale {d\ J'm) au point (d\ m) ; d'où il suit que le plan tangent coupe le plan dd' (^g. i) du cercle de la feuillure suivant la droite {q'd\ qm) yîg. (i et a), et par conséquent le plan parallèle YY' (y&. i) de la face du mur, suivant une parallèle (YY', Âni). La perpendiculaire Ae^ à Ânî coupant la droite a' fi en un point de la verticale (a y a fi), qui est le centre du cercle de l'arc (YY', hlÂ) , le rayon de cet arc est déterminé.

33. De ces deux arcs J^4^V%« 3), hl {fig. a), qui ont un point commun k (Jig. 3), le premier détermine le second, et nous n'avions d'abord supposé (art. précédent) le second arc connu , que pour faire voir que la première surface de l'arrièrevoussure , qui a pour directrice ce second arc hlk , ne pouvait pas couvrir tout l'espace^ correspondant au trapèze dd'eé. Ces deux arcs doivent encore satisÊûre à une autre condition que celle du raccordement des deux surfaces de Farrière -voussure. Il faut que ces surfaces ne soient pas rencontrées par les venteaux de la porte, c'est-à-dire par les surfaces de révolution qui ont pour génératrices les quarts de cercle {df^ ^qn)j (d/^ ^sn)j tournant autour des verticales (d', JWi), (J, J'p).

Dans le cas où , ayant pris le rayon de l'arc ^4^' (/%"• 3) égal à celui du venteau , cette rencontre aurait lieu , on augmenterait le rayon de cet arc , et l'arrière-voussure serait surmontée. Pour s'assurer qu'elle est assez surmontée, on coupe les deux surfaces de l'arrière-voussure, et la surface de révolution qui a pour génératrice le quart de cercle des venteaux , par des plans verticaux i.a, 3.4 (/%. i), parallèles aux faces XX', YY' du mur; et lorsque les lignes d'intersection projetées (Jig. a), ne se rencontrent pas, on conclut que les trois surfaces de l'arrière-voussure et la surface de révolution ne se pénètrent pas. Ces lignes d'intersection seraient encore nécessaires , dans le cas où l'on n'exécuterait pas d'une seule pierre , chaque voussoir de l'arrière-voussure.

34- Le mur qui sert de pieds-droits à l'arrière-voussure^ de Marseille , se com- .pose de paj* allélipipèdes en pierre à joints verticaux , posés par assises , de manière que les joints de deux assises consécutives ne coïncident pas. La hauteur des pieds-droits d'une porte droite, et la largeur de cette porte, sont, suivant l'usage consacré en architecture, dans le rapport des deux droites a' fi y ^ (Jîg. a).

Construction de V épure.

3r5. Le^ panneaux de tête étant donnés dans leur véritable grandeur sur le

386 GÉOMÉTEIE DEdGRlPTIVE.

mur vertical XX', on n'a besoin, poiir Tappiication du trak sur la pîen», que du développement des panneaux de joint. Tous ces jomtsont pour la porte droite et la feuillure, une partie commune GFEBCD{/^.4); et pour Tanièrevoussure, ii faut ajouter ou le système de deux droites Da:, jcG^ ou le système des trois droites I^, jrzj zGj selon que les plans dis joint ne renconti^nt que la première surface de Tarrièrervoussure , ou quHs coupent la seconde surface et Tun des plans d'ébrasement Dans ce second cas, la droite D/ appartient à la seconde surface de f arrière- voussure , la droite jrz a« plan, d'ébrasement^ et la droite zG au plan de tête YT. Dans le premier cas, les deux droites D^v jrz se réduisent à une seule Da:, et la droite zG devient xG.

Porte ir^ 4? *i<^' i et a.

Siais passé ou corne de vache.

36. La porte qu'on nomme biais pcLssé e^X une petite vofitte destinée à couvrir uq passage l)iais qui est pratiqué dans Fépaisseur d'un mur droit. I^e plan des naissances de cette porte coupe les deux plans verticaux des pieds-droits suivant deux horizontales parallèles , et les deux faces verticales du mur droit suivant deux autres horizontales parallèles ; par le centre du pariallélogramme oblique formé par pes quatre horizontales , on imagine une droite perpendiculaire aux faces du mur, et on demande que tous les plans de joints passent par cette droite 7 afin que la poussée qui s'exerce perpendiculairement aux joints^ soit dirigée dans le sejis de )a longueur du mur. Nommons c^ette droite Xaxe des joints.

37. On donne sur les faces du mur deux cercles égaux, qui ont pour diamètres deux dçs quatre horizontales précédentes, et la àurface de la porte doit passer par ces cercles.

Le cylindre oblique (^g, i) dont la génératrice est parallèle aux deux autres horizontales du parallélogramme; , satisfait à cette condition ; mais il sera coupé par les plans de joints suivant des ellipses. Pour que les arêtes de douélles soienl: des droites , on prend [Jig. 11) pour la surface du biais passé , une surface réglée qui a pour directrices, i^ les deux cercles donnés dans les faces verticales du mur; a® la droite, axe des joints. Chaque plan de joint coupera les deux cerdLes ^q d^ux points^ et la droite qui joindra ces deux points, sera l'arête de douelle contenue dans ce plan.

38. Lorsque le mur est trop épais, pour que les voussoirs s'étendent d'une face du mur à Tautre, on les divise par des plans verticaux parallèles à ces feces. Ces plans coupent la surface du biais passé avivant des lignes qu'^ ^aat cons-

truire. Dans le cas où cette surface est un cylindre, les sections sont des cercles. Dans le ca» oàla surface esl réglée, on a va (page 80^ art. i-S^, liv. i^^) comment on trouve Tintersection de celte surface par un plaû,/ et la tangente en un point quelconque de cette intersection.

Quelle que soit la surface du biais passé, on développera les plans de joîats, en les basant tourner autour de leur axe commoki , donné sur lé plan des naissances de la porte. Ce développement contiendra les^ panneaux de joints, né^ cessairea pour Tapplication du trait sur la pierre.