Livre prbicier« -^ Géométrie descriptive pure

La •géométrie descriptive, telle qu'on la considère dans ce premier livre, contient deux parties, l'une rationeUe (i) et l'autre technique.

La première, purement théorique, se rattache à une branche importante des mathématiques , qui embrasse toutes les propriétés de l'éten* due figurée $ et que les plus grands géomètres ont traitée ou par l'analise ou par la synthèse.

La partie technique de la géométrie descriptive est l'art de représenter sur des feuilles de dessin , les points et les lignes de l'espace \ elle a pour base la méthode des projections^ la pratique de cette méthode exige un coup d'ceil assuré, une main exercée, qui sache employer avec adresse la règle , le compas et l'équerre*

La géométrie descriptive est un art, lorsqu'elle a pour objet la description des solides et des surfaces données j elle doit être regardée comme un complément des méthodes géométriques, lorsqu'on l'emploie pour déterminer des formes secondaires incopnues, qui résultent nécessairement de formes primitives données.

(i) Les propositions principales de la partie rationnelle de la géométrie descriptive ont été réunies dans un ouvrage que j*ai publié en 181 7, sous le titre SÉlémens de Géo* fnitne k trois dimensions (i vol. in-S^^Firmin Dîdot). le nai rappelé dans ce nouveau traité de géométrie descriptive, que les propositions nécessaires pour Imteiligence delà partie technique de cette géométrie, et de ses applications aux arts graphiques. D'autres questions d*une application éloignée ont été lobjet de quelques recherches sur les courbures àes lignes et des surfaces; j'en ai exposé les résultats dans un Second Suppléa' ment a la Géométrie de Monge (i vol. in-4^, Finnin Didot, 18 18).

xij PRJ^FAGi:.

Mongô-Fa considérée sous ce double rapport dans ses leçons aux Écoles normales ; maïs il a dû pour ces écoles se borner à l'exposition des méthodes générales , et traiter fort brièvement la partie technique de la géométrie descriptive. Des neuf leçons qu'il a données (du 20 janvier au 10 avril 1795), les deux dernières contiennent des résultats de Tanalise appliquée à la géométrie; sept seulement sont consacrées à la géométrie descriptive pure. Si Ton observe que notre cours à l'École polytechnique se composait de quatre-vingt-dix à cent leçons; qu'il était spécialement destiné aux élèves ingénieurs des services publics , pour qui la partie technique de la géométrie est de la plus haute importance, j'espère qu'on appréciera les motifs qui m'ont déterminé à traiter les mêmes questions du livre de Monge, en insistant davantage sur là construction des épures. J'ai fait à ce livre d'autres additions qui ne sont pas moins nécessaires pour l'application de la géométrie descriptive aux ombres, à la perspective et à la stéréotomie; je vais les indiquer brièvement.

Chap. L — Des préliminaires.

La solution d'un problème quelconque de géométrie descriptive consiste à trouver un ou plusieurs points, de l'espace, d'après certaines conditions qui déterminent la position de ces points. Je rappelle ce que j'ai déjà indiqué dans mes élémens de géométrie à trois dimensions (année 1 8 1 7) , que toutes les opérations graphiques qui conduisent à la solution du problème proposé se réduisent à celles qui sont nécessaires pour résoudre les deux questions suivantes :

i" Question. Trouver la distance de deux points^ dont on a les projections orthogonales sur deux plans rectangulaires'}

2* Question. Une droite étant donnée par ses deux projections orthogonales sur deux plans rectangulaires , trousser les projections du point d'intersection de cette droite j et d*un troisième plan^ dont la position par rapport aux deux premiers , est aussi donnée ?

Le tableau des constructions graphiques d'une épure quelconque de géométrie descriptive , n'offre jamais que la répétition des opérations élémentaires qui donnent la solution des deux questions précédentes.

PRÉFACE. xiij

Ghap* il — Des plans tangens aux surfaces courbes.

On admet en géométrie qu'un plan tangent en un point donné d'une surface, est déterminé par les tangentes à deux lignes de la surface, qui passent par ce point. Monge n'avait considéré dans sa Géométrie que les plans tangens aux surfaces dont les rayons de courbure en un point de ces surfaces, sont dirigés dans le même sens-, mais les surfaces qui ne satisfont pas à celte condition sont remarquables en ce que leurs plans tangens sont en même temps tangens et sécans. J'ai donné pour exemples de cette seconde espèce de plans tangens, ceux qui sont tangens aux surfaces à élémens gauches , et à la surface annulaire connue en architecture sous le nom de Tore [Vojez pi. i4, liv. i*"^ de ce traité).

On a appelé jusqu'à présent surface gauche ^ toute surface engendrée par une droite mobile , quelle <jue soit la loi du mouvement de cette droite, pourvu néanmoins que deux droites consécutives, qui comprennent un élément de la surface , ne se rencontrent pas. Chaque élément est un -çeût plan gauche; mais l'ensemble de ces élémens forme souvent des surfaces très-régulières, qui ne conservent aucune apparence de difformité. Nous étions convenus avec Monge de Jes appeler surfaces réglées; ce qui motive cette dénomination, c'est qu'on peut appliquer une règle sur les droites de la surface, et s'assurer ainsi qu'elle est exécutée rigoureusement.

Après avoir établi par une discussion plus complète que celle d'Euler, la division des surfaces du second degré en cinq espèces que j'ai nommées ellipsoïde ^ hyperholoide à une nappe , hyperholoide à deux nappes y paraholoide elliptique ^ parabolôide hyperbolique^ je me suis principalement occupé de la recherche des propriétés géométriques des deux surfaces réglées du second degré, Fhyperboloide à une nappe, et le parabolôide hyperbolique ou plan gauche.

Les propriétés les plus remarquables de ces surfaces , sont , i ^ que toute surface réglée a pour surface normale suivant une droite, un plan gauche dont les paramètres varient pour chaque droite ; 2^ que toute surface réglée a pour surface osculatrice suivant une droite, un hyper-

xiv PRiFAGE.

boloîde à une nappe , dont les paramètres varient pour chaque droite 5 3^ que toute surface réglée a pour surface tangente suivant une droite, une infinité d'hyperboloides à une nappe; 4"* ^^^ deux surfaces réglées qui ont une droite canunune et trois plans tangens conununs en trois points différens de cette droite , sont tangentes Tune à Tautre dans tous les points de la droite qui leur est commune.

J'ai déduit de ces propriétés urie méthode graphique pour mener les plans tangens à une surface quelconque engendrée par la ligne droite, ainsi que pour construire la tangente en un point d'une courbe, lorsque cette courbe est donnée en relief ou par ses protections. J'ai appliqué cette méthode à plusieurs surfaces réglées , employées pour la construction des voûtes.

Ghap. III. — Des intersections de surfaces.

Une surface est définie , lorsque pour chacun de ses points, ou assigne la forme et la position d'une ligne mobile , génératrice de la surface. Pour trouver l'intersection d'une surface par un plan , on cherche les points d'intersection de ce plan et de la génératrice considérée dans ses positions successives; la ligne qui joint tous ces points est l'intersection de la surface par le plan donné. La tangente en un point quelconque de la section plane de la surface, est la droite, intersection du plan tangent à la surface en ce point, et du plan de la section. Lorsque Je contour de la section est une courbe à une ou plusieurs branches infinies , les tangentes aux points situés à l'infini se nomment asjmpthotes. J'ai fait voir comment on déterminait les asyinpthotes , dans le cas où la surface proposée est un cône du second degré, ou un hyperboloide à une nappe , ou un paraboloîde hyperbolique.

On obtient en général la ligne d'intetsection de deux surfaces , en les coupant par un système de plans. Les sections de l'une et de l'autre surface,'qui sont contenues dans un n>éme plan , et dont les contours se rencontrent, déterminent les points communs aux deux surfaces. Nonseulement il importe, dans chaque cas particulier, de choisir le système de plans coupans , qui donne les constructions les plus simples j mais il

n'est pas moins atile de connaître les plans coupans limites, entre lesquels la ligne d'intersection des deux surfaces est comprise. J'ai fait voir comment on déterminait les plans limites pour plusieurs cas particuliers , et notamment pour deux cylindres et deux cônes. Les lignes d'intersection de ces surfaces ont des branches fermées ou infinies ; j'ai indiqué un moyen pour reconnaître a priori l'existence des branches infinies , et pour construire leurs asympthotes. La solution de ces questions a complété ce que Monge avait écrit sur l'intersection de ces surfaces.

J*ai; ajouté un article stur l'usage qu'oni peut faire , dans quelques cas particuliers , des projections obliques, pour trouver Tintersection des deux surfaces, plus amplement que par la méthode desprojec-. tions orthogonales. D'autres additions que j'ai faites à la géométrie de Monge appartiennent au livre suivant des applications.