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Le chapitre suivant, et l'appendice qui termine ce traité, contiennent des applications de la gëomëtrie descriptive , qui n'ont pas été écrites par Monge.

Chap. II Des ombres et de la perspective.

Une théorie complète des ombres, celle qui serait nécessaire aux artistes, peintres et dessinateurs, comprendrait l'examen de tous les phénomènes de la lumière, tant sur les corps que dans les milieux que le fluide traverse. 11 faudrait avoir égard à la forme et aux dimensions du corps lumineux , à l'action de la lumière directe , aux effets de la lumière réfléchie ou par le milieu ou par les corps eux-mêmes j enfin , on considérerait les couleurs et leurs diverses nuances. L'ingénieur constructeur n'emprunte aux arts du dessin d'imitation que des résultats démontrés, qui ont pour objet de faciliter l'intelligence du dessin géométraL On fait abstraction pour ce dernier genre de dessin , de la forme du corps lumineux et de la couleur des objets éclairés; on n'admet qu'un seul point lumineux à une distance finie ou infinie des cprps éclairés; on n'a point égard à la faculté qu'ont tous les corps de réfléchir la lumière directe en plus ou moins grande quantité; ce qui les rend eux-mêmes des corps lumineux. Il résulte de ces diverses suppositions^ que les espaces ombrés ont pour enveloppes des surfaces coniques ou cylindriques; que ces enveloppes sont tangentes aux surfaces des corps éclairés, suivant des lignes qui séparent l'ombre de la lumière , et qu'on nomme , par cette raison , lignes ile séparation d'ombre et de lumière.

Les surfaces des ombres , prolongées au delà des lignes de séparation d'ombre et de lumière, coupent ou les surfaces des corps éclairés, ou les surfaces d'autres corps environnans; les lignes d'intersection de ces surfaces fomient les contours des ombres portées. Je nomme ces contours, et les lignes de séparation d'ombre et de lumière , ombres linéaires y pour les distinguer des surfaces auxquelles elles appartiennent.

La détermination des ombres linéaires se réduit à deux problèmes de géométrie; le premier consiste à trouver sur un corps donné, la

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ligue de séparation d'ombre et de lumière; le second à construire l'intersection d'un cône ou d'un cylindre qui a pour base cette ligne/ par une surface donnée : j'ai fait voir que dans l'hypothèse ou les rayons lumineux partent d'un seul point, la théorie des oràbres linéaires comprend la perspective linéaire.

Après avoir exposé les méthodes générales connues , qui sont applicables au tracé des ombres et de la perspective linéaire , j'ai considéré les trois familles de surfaces qu'on emploie le plus souvent dans les arts, savoir : les surfaces développables , les surfaces de révolution, et les surfaces à élémens gauches , autrement surfaces réglées. J'ai montré comment, pour ces deux derniers genres de surfaces, les problèmes d'ombre et de perspective pouvaient se résoudre par une méthode particulière, plus simple et plus exacte dans la pratique que la méthode générale; elle consiste à déterminer la ligne de contact d'une surface em^eloppe et d'un cône dont le sommet est donné.

Pour comprendre le principe sur lequel cette méthode particulière est fondée , il faut considérer sur une enveloppée mobile , deux lignes, la caractéristique , qui est l'intersection de deux enveloppées consécutives , et la courbe de contact de la première enveloppée avec le cône tangent à cette enveloppée, qui a même sommet que le cône tangent à l'enveloppe. Si ces deux 4ignes se coupent, le point d'intersection appartient à la courbe de contact de l'enveloppe et du cône tangent à cette enveloppe, qui a son sommet au point donné.

C'est d'après cette considération, qu'on trouve les lignes de séparation d'ombre et de lumière , sur les surfaces ou réglées , ou de révolution. Les premières ont pour enveloppées des hyperboloides à une nappe, ou des paraboloides hyperboliques; les secondes des cônes droits, des sphères ou des cylindres : ces enveloppées, d'une génération plus simple que celle de leurs enveloppes , ont pour caractéristiques des droites et des cercles.

Après avoir indiqué ,un moyen pour trouver les points limites des ombres linéaires et des contours apparens, sur des portions de surfaces renfermées dans des courbes données, j'ai considéré les points les plus apparens des surfaces qu'on nomme points briilans. Le point

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brillant est sur un corps parfaiitement poli^ le seul point visible de ce corps, qui réfléchit un rayon de lumière vers Toeil du spectateur. En supposant que le corps soit mat et néanmoins visible, le point brillant devient le plus apparent. J'ai fait voir comment on détermine géométriquement ce point sur une surface quelconque définie , et de quelle manière on simplifie cette solution générale pour le cas particulier des surfaces de révolution» Plusieurs questions relatives aux points brillans et aux lignes de pénombres y sont suivies de la construction des dessins de perspective linéaire, par la méthode la plus usitée et connue depuis long-temps, qu'on nomme Méthode par les points de concours.

J'ai ajouté au livre des ombres et de la perspective, i^ l'explication des anamorphoses vues directement ou par réflexion , sur des miroirs cylindriques ou coniques ; 2"" la construction des mappemondes par la projection stéréographique ^ 3** un article sur la gnomomique, ou l'art de construire les cadrans.

L'appendice qui termine ce traité, contient les principes de la stéréotomie , et des notices explicatives sur les épures de coupe de pierres jointes à cet appendice (i).

Le travail de Monge sur la géométrie descriptive est connu par les leçons qu'il a données aux Écoles normales de 1 7g5 , et par la première collection d'épurés que nous fîmes graver la même année, pour l'usage de l'Ecole polytechnique (2). Ce nouveau traité, et les dessins qui s'y

(i) Immédiatement après la leçon de géométrie descriptive , les élèves de l'École polytechnique dessinent l'épure que le professeur a expliquée 5 ils sont aidés dans ce travail graphique par l'épure gravée qu'on a distribuée à chacun d'eux, et par un ou plusieurs modèles placés dans chaque salle d'éludés ; ces modèles sont en bois pour la charpente ^ et coidés en plâtre poiu* la coupe des pierres. La personne qui distribue les épures aux élèves est en même temps chargée de la conservation et de la construction des modèles. Cette place d'artiste conservateur est depuis long-temps remplie avec distinction par M. Brocchi; à qui l'on peut s'adresser pour avoir des i^odèles en relief, relatifs aux questions d€ géométrie descriptive pure et appliquée. On trouve aussi chez lui des modèles de charpente , construits d'après les dessins qui faisaient partie de la collection de nos épures en 18 16.

(a) Avant l'ouverturfe des cours de l'École polytechnique, on avait formé un bureau

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trouvent )oiQls, constatent Fétat auquel âi'ëtaît élevé en 1816^ Tenseiguement de la géométrie descriptive^ dont je demeurai seul chargé depuis 1797, deux ans aprè* rétablissement de TÉcole polytechnique.

Deux professeurs de cette École ( Monge et moi ) , enseignions la géométrie descriptive et Tanalise appliquée à cette géométrie ; Monge , à son retour d'Egypte (en 1800)^ continua à professer Tanalise^ en 181 o, il fut remplacé pour ce coura^ par M» Arago , à qui Ton confia de plus renseignement de la géodésie et de la géométrie descriptive pure. En avril 1808^ M. Binet ( J.-P.-M, ), actuellement inspecteur des études, dirait été nommé répétiteur pour DO6 cours ^ il en a rempli les fonc« tîonâ jusqu'en i8i5, époque à laquelle il fut appelé à la place de professeur de mécanique , laissée vacante par M. Poisson , qui passait aux fonctions d>xaminat6ur permanent, pour Vadmission dans les services publics.

A l'avantage d'être secondé par des collaborateurs du premier mérite, se joignait celui d'être par les devoirs de n»a place, en relation habituelle avec des élèves, dont l'émulation amenait , chaque année, des perfectionnemens dans l'enseignement de la géométrie descriptive. Leurs observations , les difficultés résolues, ont été en partie recueillies par les soins des professeurs de l'École polytechnique j ce nouveau recueil plus complet, contribuera , j'espère, à propager une doctrine féconde dans ses applications, qui est le fruit de vingt ans de travail dans une École, dont la célébrité atteste les services qu'elle rend journellement aux arts et aux sciences.

de dessinateurs, qui était dirigé par M. Eisenman, actuellement ingénieur et bibliotbé- <;aire de TÉcole des ponts et chaussées. Chaque professeur fit préparer dans ce bureau le poit&'feuille de l'enseignement dont il était chargé. Les dessins, mis au net, furent gravés et distribués aux élèves. Les modèles des épures d'applications de la géométrie descriptive, qui servirent à l'enseignement en 1795, ont été extraits de l'ouvrage de la Rue., et des cahiers manuscrits de Fancienne École du génie de Méaûèrea. Plusieurs dessinateurs du bureau dirigé par M. Eisenman, furent attachés à l'École polytechnique, et l'un d'eux, M. Girard, n*a pas cessé d'appartenir à cet élablisaeroent. On reconnaîtra le talent de cet habile maître en dessin géométral, dans les épures de notre traité de géométrie descnptiye.

Ouvrages principaux de Stéréotomie et de Géométrie descriptive*

Théorie et Pratique de la Coupe des Pierres, 3 vol. m-4«; par Frézier, ingénieur en chef à Landau. Première édition de Strasbourg, 1739; seconde édition de Paris , 1754, 3 vol. iiih-4^

Èlémens de Stéréotomie, à Tusage de Tarchitecture pour la coupe des pierres , par Frézier, a vol. in -8®. Paris, 1760.

I^ouveaux Principes de Perspective linéaire, par Taylor (auteur du théorème qui porte son nom; né en i685, mort en i73i). Cet ouvrage a été traduit de l'anglais en français, en 1757.

Leçons de Géométrie descriptive , par Gaspard Monge (né le 10 mai 1746, décédé le a8 juillet 1818). Ces leçons , au nombre de neuf, furent imprimées en 1 795 dans les quatre premiers volumes du Journal des Écoles normales. Elles furent réunies quatre ans après , par les soins de M. Ha- ' chette, en un corps d'ouvrage. Plusieurs éditions de cet ouvrage se sont succédé sans changement; celle de 181 1 ^ la dernière &ite du vivant de l'auteur, contenait un supplément ; M. Hachette, auteur de ce supplément. Ta réuni au traité de géométrie descriptive qu'il publie maintenant. On a réimprimé en 1820*, les leçons de Monge, telles qu'iMes a données aux Écoles normales; M. Brisson , ingénieur en chef des ponts et chaussées, a augmenté cette édition d'un extrait de leçons inédites sur les ombres, les perspectives linéaire et aérienne.

Essais de Géométrie sur les plans et les surfaces courbes , par M. Lacroix (Sylvestre-François) ; I vol. in-8^. Première édition, 1795; quatrième édition, 1812.

Cet ouvrage fait partie d'un cours complet de mathématiques, qui a été traduit en anglais « en allemand et en italien. (Le cours comprend neuf volumes in-8*'. )

Traité théorique et pratique de^ VArt de bâtir, par J. Rondelet , architecte du Panthéon français. Tome second. Coupe des pierres, année 18 1 4-

Traité de Géométrie descriptive, par M. Potier; i vol. in-8^ de 96 pages et 2 planches. Paris, 1817.

Traité de la Géométrie descriptive , par M. Vallée (Louis-Léger), ingénieur des ponts et chaussées, élève de l'École polytechnique en 1801 ; i vol. in-4^, avec 60 planches. Paris, 181 9.

Traité de la Science du Dessin, i vol. in-4S £»6 planches , parle même. Paris, septembre 181 1.

Études d'Ombres , à l'usage des écoles d'architecture; par M. Léveillé, ingénieur en chef au corps royal des ponts et chaussées; i vol. in- 4**, i5 planches. Paris, 1811. ^

Développemens de Géométrie, par M. Dupin, capitaine du génie maritime, i vol. in-4^. Parb, 181 3.

De la Richesse minérale, 3 vol. ';in-4^; par M. Héron de Yillefosse, inspecteur divisionnaire du corps royal des mines d^ France. Paris, 1819.

Cet ouvrage renferme d'utiles et nombreusees applications de la géométrie descriptive à la construction des cartes et machines employées dans l'exploitation des mines.

Journal de l'École polytechnique.

i^ Plusieurs Mémoires sur les fortifications, par MM. Dobenheim, Say, officiers du génie. Cahiers numéros i — 4»

Q* Sur la Gnomonique, par M. le François. Onzième cahier, année 1802.

3° Essais sur l'Art de projeter les canaux de navigation, par MM. Brisson et Dupuis-Torcy, ingénieurs des ponts et chaussées. Quatorzième cahier, année f 808.

4<» Sur les Moyens généraux de construire des cercles et des 'sphères, qui satisfont à certaines conditions ; par M. Gaultier , professeur de géométrie descriptive au Conservatoire des Arts et Métiers. Seizième cahier, année i8i3.

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