OH' : 0A::0’C: OC

OA X O'C Oïl' '

L’ellipse CAD' du troisième ellipsoïde coupe l'ellipse AnB génératrice du premier, au point E, et on mène la droite OE. Cette droite et le demi petit axe OH déterminent le triangle EOG : or il est évident que le plan EO, perpendiculaire au plan parallèle aux deux axes, coupe le premier et le troisième ellipsoïdes qui sont semblables et ont des axes proportionnels, suivant des ellipses dont les projections sur le plan EG ou E'G', sont des cercles; d’ailleurs, les sections parallèles d’un ellipsoïde sont semblables et semblablement placées ; donc en prenant pour plan de projection le plan EG ou E’G', chaque couple de sections laites sur le premier et troisième ellipsoïdes, se projettera sur le plan suivant deux cercles, qui se couperont en deux points de la ligne d’intersection du premier ellipsoïde et de l’ellipsoïde auxiliaire. Ce dernier ellipsoïde est par hypothèse -semblable au second, et semblablement placé; d’où il suit que les deux ellipsoïdes donnés seront coupés par des plans parallèles è celai dont la trace est EO, suivant des ellipses dont les projections sur le plan EG ou ses parallèles seront des cercles.

199. Soit A 'B' une droite quelconque qui est perpendiculaire au côté OG du triangle EOG, et qu’on prend pour l’intersection commune des deux plans de projection. Supposant que le premier de ces plans, qui contient l’ellipse AIIB, soit vertical, la droite OG sera une verticale, et A']!’ la projection horizontale du premier axe de révolution Alt. La plus courte distance des deux axes étant donnée, op mettra la même distance entre les parallèles A lt , C"D', et cette dernière sera la projection horizontale du second axe. Les sections des deux ellipsoïdes par des plans parallèles à OE,et perpendiculaires au plan vertical de projection, se projetteront sur le plan horizontal suivant des cercles.

Soit la parallèle «<f à OE ou O’E’, la trace verticale d’un plan qui coupe les deux ellipsoïdes suivant deux ellipses (E), (E’)qui ont pour axes les cordes «A, y<t des ellipses génératrices. Ces axes se projettent, le premier en «‘a’ sur la droite A' B’, et le second en y'I' sur sa parallèle C'D"; la distance de ces deux parallèles A'B', C'D' est égale à la plus courte distance des axes de révolution des deux ellipsoïdes. Les cercles décrits sur *’£' et y J' comme diamètres, sont les projections horizontales des ellipses (E), (E’), et se coupent en deux points <p, tji qui sont les projections horizontales de deux points de la ligne d’intersection des deux ellipsoïdes; on aurait| leurs projections verticales par la rencontre de la droite <uT et des perpendiculaires à la droite A’B’, ou sa parallèle XY, élevées par les points et 4-

aoo. Les deux ellipses génératrices du premier ellipsoïde donné, et de l’ellipsoïde semblable au second ellipsoïde donné, se rencontrent en quatre points, qui sont placés sur les deux diamètres Ee, u', et les plans menés par ces diamètres perpendiculairement au plan avec des axes AB, C’D' des deux ellipsoïdes, contiennent deux ellipses qui sont les lignes d'intersection de ces ellipsoïdes. En général, deux ellipsoïdes qui ont même centre et un axe principal de même longueur, se coupent suivant des courbes planes. On s’est servi. du diamètre Ee pour déterminer le triangle EOG, dont le côté EG est la trace du plan sur lequel les sections des ellipsoïdes se projettent suivant des cercles; mais le second demi-diamètre «O ou t'O serait l’hypolhénuse d’un triangle eût rectangle en t, dont le côté Oi déterminerait un second plan, tel que toutes les sections des ellipsoïdes prailèles au plan mené par le diamètre «•' perpendiculairement au plan des deux axes AB, CD', s’y projetteraient aussi suivant des cercles.

De l'intersection de deux sur/aces de révolution qui ont même axe. Construction des points où une ligne quelconque plane ou à double courbure rencontre une surface de révolution dont on connaît la section méridienne.

ao j . Un plan quelconque mené par l’axe commun aux deux surfaces de révolution, contient les sections méridiennes de ces surfaces. Les points où ces sections se coupent, décrivent en tournant autour de l’axe commun, des cercles qui appartiennent é\ idemment aux deux surfaces, et sont leurs lignes

d’intersection.

Une ligne donnée hors d’une surface de révolution, décrit, en tournant autour de l’axe de cette surface, une seconde surface dont la section méridienne est déterminée. 11 est évident que lorsque les deux sections méridiennes se couperont, les points d’intersection détermineront des cercles qui rencontreront la ligne donnée, et les points de rencontre sont ceux où celte ligne coupe la surface de révolution proposée.

C’est sur cette considération qu’est fondée la méthode que nous appliquerons à la recherche des points qu’on détermine par les intersections de trois cônes droits, ou de trois surfaces annulaires ( Voy. liv. II, chap. I, des lieux géométriques ); elle sert aussi à trouver l'intersection d’une surface de révolution et de toute autre surface définie par la forme de la génératrice dans chaque position, et par la loi du mouvement de cette génératrice.

$ II. DE QUELQUES SURFACES Dl! SECOND DEGRÉ , DORT LA LIGNE D’iNTERSECTION EST UNE COURRE ÇLANF DU MÊME DEGRÉ.

.O ikx *

aoa. On appelle surface du second degré celle qui jouit de la propriété d’être coupée par un plan quelconque suivant une courbe du second degré, c’est-à-dire suivant une ellipse, une parabole ou une hyperbole (art. 8o). J’ai fait voir que les surfaces du second degré se divisaient en cinq espèces que j’ai nommées : ellipsoïde , hyperboloïde à une nappe, hyperboloïde à deux nappes , paraboloide elliptique, paraboloïde hyperbolique. Ces espèces comprennent, comme cas particulier, les cônes et les cylindres à bases circulaires, droits ou obliques, et l’hyperboloïde de révolution. On a considéré ces dernières surfaces dans les chapitres de ce Traité, relatifs aux plans tangens et aux intersections de surfaces par des plans.Maintenant nous allons examiner quelques cas particuliers dans lesquels deux surfaces du second degré se pénètrent suivant une ou deux courbes planes.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ng

On a déjà vu (art. 195) que deux ellipsoïdes de révolution se pénétraient suivant deux ellipses, lorsqu’ils avaient même centre, et lorsque des plans menés par ce centre perpendiculairement aux deux axes de révolution , les coupaient suivant des cercles égaux.

On conçoit facilement deux cylindres, l’an droit, qui a pour base un cercle, l’autre oblique, qui a pour base une section elliptique du premier cylindre; cette ellipse est évidemment la ligne d’intersection des deux cylindres ( fig. a , pl. 19, art. 1 78). D'autres exemples, que nous allons rapporter, se présentent fréquemment dans lés applications de la géométrie descriptive.

De lu pénétration de deux sphères.

ao3. Deux sphères de rayons quelconques qui se pénètrent, se coupent suivant un .cercle. En effet, chaque point de la courbe d’intersection est le sommet d’un triangle qui a pour base la distance des centres des deux sphères, et pour côtés les rayons de ces sphères : or ce sommet, en tournant autour de la droite des centres, passe successivement par tous les points de l’intersection des deux sphères-, donc cette intersection est un cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite des centres, et dont le rayon est la hauteur du triangle constant, formé par la droite des centres prise pour base, et par les rayons des deux sphères. t '

Un plan est une sphère d’un rayon inüni ; donc une sphère et un plan se coupent toujours suivant un cercle. On démontre cette proposition directement en supposant qu’on ait mené par le centre de la sphère, et par une perpendiculaire abaissée de ce centre sur le plan donné, une suite de plans qui coupent la sphère suivant un grand cercle, et Je plan donné suivant une droite ; en ne considérant de cette droite que la portion qui sert de corde à ce grand cercle, les deux extrémités de cette corde appartiennent à la ligne d’intersection de la sphère et du plan : or, dans tous les plans coupans, les cordes du grand oerde de la sphère situées dans le plan donné, sont de même longueur; donc ces cordes sont les diamètres du petit cercle d’intersection de la sphère et du plan. .'

Ainsi, lorsqu’un plan coupe une sphère, la section est un cercle qui a pour centre le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère sur ce plan. Réciproquement, la droite qui joint le centre d’une sphère et le centre d’un petit cercle de cette sphère, est perpendiculaire au plan de ce petit cercle. ,

Lorsque deux plans coupent une sphère suivant deux petits cercles, les centres de ces cercles et le centre de la sphère déterminent la position d’un

i îo GEOMETRIE DESCRIPTIVE.

troisième plan perpendiculaire aux deux premiers. Cette proposition est une conséquence de la précédente, puisque les droites menées par le centre de la sphère et par les centres des petits cercles de la sphère, sont perpendiculaires au plan de ces petits cercles.

De la pénétration d'une sphère et d’un c6ne oblique. (Fig. s, », pl. 18.)

io/|. Le sommet du cône oblique étant donné hors ou dans l’intérieur de * la sphère, et supposant qu’il a pour hase un petit cercle de cette sphère, la pénétration totale sera composée de deux cercles, dont l’un est par hypothèse la base du cône. Nous allons d’abord démontrer que par deux cercles quelconques d'une sphère on peut faire passer deux cônes obliques.

Qn’on imagine par le centre O de la sphère et par les centres E, F des deux cercles donnés, un plan qui coupe la sphère suivant un grand oercle ABCD (pl. 18 ,/ig. s), et les plans de> cercles donnés, suivant les droites AB, CD; • les cordes AH et CD du grand cercle ABCD étant les diamètres des cercles donnés, on joindra les extrémités de ces cordes par deux droites AD, BC, qui se rencontrent en G, et par deux autres droites AC, BD, qui se croisent au point G'. Les points G et G' seront les sommets de deux cônes obliques menés par deux cercles qui ont pour diamètres les droites AB, CD, et dont les plans sont perpendiculaires au plan des trois centres O, E, F. Pour démontrer cette proposition, admettons comme une propriété connue du cercle, qu’une corde et un diamètre étant perpendiculaires entre eux, la corde divise le diamètre en deux parties, teHes que la moitié de la corde est moyenne proportionnelle entre les deux parties du diamètre. Ayant mene la droite G1K. qui coupe les cordes AB et CD aux points 1 et K, et regardant cette droite comme la projection d’une arête du cône oblique dont le sommet est en G, il s’agit de faire voir que cette arête s’appuie à la fois sur les deux cercles qui ont pour diamètres les cordes AB et CD.

Supposons quelle passe par le point du cercle du diamètre CD, qui se projette en I sur le plan des trois centres E, O, F; la demi-corde de ce cercle, menée parce même point perpendiculairement au diamètre BD, est moyenne proportionnelle entre les deux parties a, DI de ce diamètre. Ayant mené par le point 1 la droite LIM parallèle à AB, les deux triangles D1L, MIC sont semblables ; car les angles BAD et DCG ou DCM, qui ont chacun pour mesure la demi-somme des arcs BC, CD sont égaux; mais 1 angle BAD est égal à l’angle MLD; donc les deux triangles D1L, MIC ont trois angles égaux. Leur similitude donne la proportion DI ; IL " IM : IC; d'où il suit que DI X IC =r IL x IM. Ainsi la demi-corde au point I est moyenne propor-

tionnelle non-seulement entre les droites DI et IC, mais encore entre les parties IL et IM de la droite LM ; donc elle est aussi la corde du cercle qui a pour diamètre la droite LM, et dont le plan est perpendiculaire à celui des trois centres E, O, F ; mais dans un cône comme dans une pyramide, toutes les sections parallèles sont semblables; donc le plan mené par AB perpendiculairement au plan des trois centres E, O, F, coupe le cône dont le sommet est en G, suivant le cercle du diamètre AB. On démontrerait de la même manière que la droite, qui a pour projection sur le plan des trois centres E, O, F la droite I'G'K', s'appuie sur les deux cercles des diamètres AB et CD j donc par deux cercles quelconques donnés sur une sphère-, on peut mener deux cônes obliques, dont les sommets sont sur le plan qui passe par le centre de la sphère et par les centres des cercles donnés. ’ '

ao5. Réciproquement étant donnés un cercle de la sphère, et nn point au dehors de cette sphère, le cône oblique qui a pour base le cercle et pour sommet le point, passe par un second cercle de la sphère dont le plan serait perpendiculaire à celui qu’on mènerait par le sommet du cône, le centre de la sphère et le centre du cercle donné. Ce plan coupe le cône suivant deux arêtes, et l’angle compris entre ces deux arêtes est ce qu’on nomme la section principale du cône oblique. Cette section jouit de la propriété que l’une des deux arêtes qui la forment, fait avec les plans des deux sections circulaires du cône, des angles qui en général diffèrent entre eux, et qui, dans tous les cas, sont égaux aux angles inverses de L’autre arête de la section principale avec les deux mêmes plans. Dans la fig. s, l’arête AG fait avec les plans des cercles AB, CD, des angles égaux a ceux que l’arête BG fait avec les mêmes plans CD, AB ; ainsi étant donné un cône oblique du second degré, çn voit d’après ce qui précède qu’il peut être engendré par un cercle de deux manières différentes, et qu’il n’y a aucun point par lequel on ne puisse mener deux cercles situés dans des plans perpendiculaires au plan de la section principale du cône, et inversement inclinés par rapport à chaque droite ou arête de cette section. v ‘ »

j 06. Les plans de deux cercles d'une sphère étant parallèles, le cône qui passe par ees deux cercles, d'oblique qu’il eôt été avant le parallélisme, devient un cône droit. Lorsque les deux cercles sont de même raj’on et dans des plans parallèles, le cône droit se transforme en un cylindre droit. Une sphère étant traversée par un cylindre à base quelconque, la courbe de pénétration est composée de deux branches égales et symétriquement placées par rapport au plan mené par \e centre tle la sphère perpendiculairement aux arêtes du cylindre* car il est évident que ce plan divise en deux

parties égales toutes les cordes de la sphère dirigées suivant les arêtes du

cylindre. -

207. La proposition qui vient d’être démontrée. (art. 204) est une conséquence d’une autre plus générale. En effet , l’intersection de deux surfaces quelconques du second degré qui se pénètrent, est en général composée de deux branches; en supposant que l'une de ces branches soit une courbe plane, l’autre branche est encore nécessairement plane. On démontre cette proposition par l'analyse, çt on en verra des applications dans la théorie des ombres (liv. II, chap. II).

I.’interscction d’une surface quelconque du second degré par un plan, est une courbe du second degré qui jouit de la propriété de ne pouvoir être coupée par une droite qu’en deux points. En admettant cette propriété, on voit que tout plan qui coupera une surface du second degré suivant une droite, passera par une autre droite de cette surface, de sorte que le système de ces deux droites sera la section totale de la surface par le plan. C’est par cette raison que l’hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique peuvent être engendrés par une droite de deux manières différentes. Le plan qui passe par une droite du premier système de génération contient nécessairement une seconde droite appartenant au second système (art. i3G- i43).

208. Il peut arriver que le cône oblique qui coupe une sphère, ait pour sommet un point de cette sphère ; alors l’un des cercles d’intersection de ces deux surfaces est réduit au point qui est le sommet du cône. Supposons que la droite AB (pl. 1 8, Jig. s) et le point O restant les mêmes, la droite DC • diminue de grandeur en restant parallèle à elle-même, clic se réduira au point II qu’on prend pour sommet du cône, et qui appartient à la circonférence ABCD : or dans cette hypothèse, les droites OH, OF se confondront; donc tout plan perpendiculaire au rayon de la sphère mené par le sommet du cône, coupera ce cône suivant un cercle; ce qui peut encore être démontré de la manière suivante.

Soit ACB ( pl . \9>,/ig. s’) la section principale du cône oblique, qui a soo sommet au point C de la surface de la sphère, et pour base le petit cercle du diamètre AB; le plan PQ perpendiculaire au rayon OC de la surface de la sphère, coupe le cône suivant un cercle du diamètre RS, car Içs angles des arêtes AC, BC avec le plan AB, sont évidemment égaux aux angles de ces mêmes arêtes BC, AC avec le plan PQ ou RS; donc (art ao5j AB et RS sont les traces des plans perpendiculaires à la section principale du cône, qui coupent ce cône suivant des cercles. C’est sur cette propriété du. cône qu’est fondée la construction des cartes géographiques, dites stèréographiques , que nous expliquerons liv. II, chap, III, de la perspective.

§ III. Dû CHOIX DIS PL A PiS DE PROJECTION \ DÉFINITION ET USAGE DE DIVERS MODES DE PROJECTIONS. (PI. 22.)

209. On a déjà reconnu l’importance du choix des plans de projection pour la solution des problèmes relatifs aux intersections de- surfaces par des plans, ou par d’autres surfaces. L’une des deux projections qui sont nécessaires pour déterminer la ligne d’intersection d’une surface par un plan, se réduit à une ligne droite, lorsque le plan de projection est perpendiculaire au plan coupant. Dans le cas où une surface de révolution est coupée par un plan ou par une autre surface, on choisit pour l’un des plans de projection un plan perpendiculaire à l’axe de révolution ; alors tous les cercles de la surface s’y projettent suivant d’autres' cercles. Lorsque les axes de deux surfaces de révolution se rencontrent, on prend le plan de ces axes pour le plan vertical par exemple, et le plan perpendiculaire à l'un des axes pour plan horizontal. Si l’on propose de trouver l’intersection de deux cônes (art. 179), il y a quelque avantage à mettre les sommets de ces cônes sur l’un des plans de projection. Lorsque deux cylindres se pénètrent, on simplifie les opérations qui donnent leur ligne d'intersection, en rapportant cette ligne à deux plans, le premier parallèle aux droites génératrices des cylindres, et le second perpendiculaire à l’une de ces génératrices; la fig. 1 , pl. 22, offre un exemple de ce choix de plans de projection. Deux cylindres droits horizontaux se coupent à angle droit; leurs axes se rencontrent, et la projection de leur ligne d'intersection se compose de deux branches d’une hyperbole.

Intersection de deux cylindres droits horizontaux.

2to. Soient EGF, IGK {/ig. 1 gpl. aa) les axes horizontaux de deux cylindres droits qui se pénètrent ; le plan de ces axes qu’on* prend pour plan horizontal de projection, coupe les deux cylindres, l’un suivant les parallèles AB, CD, l'autre suivant les parallèles AC, BD, qui forment avec les premiers le parallélogramme rectangle ABCD. Le plan vertical XY de projection est perpendiculaire à la génératrice AG ou BD du petit cylindre, et coupe ce cylindre suivant le cercle e/g, projection verticale de toutes les lignes de cette surface. Un autre plan vertical BD coupe le grand cylindre suivant un cercle du rayon DF, qu’on transporte sur le plan vertical XY, -en décrivant du point H’, avec le rayon H/=DF, le cercle fhm. On va voir le motif de cette transposition.

Un plan horizontal quelconque gm coupe les deux cylindres suivant des

ia4 GEOMETRIE DESCRIPTIVE.

droites horizontales qui se rencontrent en des points de leur ligne d’intersection. Les droites du petit cylindre se projetant sur le plan horizontal suivant les parallèles tpç', NN', les projections des droites du grand cylindre couperaient ces parallèles en quatre points M, M', /a, /a" de la projection horizontale de l’intersection des cylindres. La construction graphique de ces points s'obtient plus simplement, et avec des lignes moins longues, en faisant usage du cercle transposé en /ntt. Ayant élevé la verticale jf \ on prolonge l’horizontale /un jusqu’à sa rencontre avec la verticale ff en m', et avec le cercle du rayon H’/ en n. La partie rnn de L’horizontale se porte en NM, <t/A°, N’M’, //a'; ce qui détermine les quatre points M, M’, On

concevra la raison de cette construction, en regardant la droite NM comme la projection d’un triangle mixtiligne égal à Jm'n, et comme la trace horizontale d’un plan vertical qui coupe le petit cylindre suivant une droite égale en longueur au côté m'n du triangle, et le grand cylindre suivant un arc égal à l’arc fn, autre côté du même triangle.

an. On déterminerait la tangente au point (M,/n) de l’intersection des deux cylindres, comme dans le cas général (art. i^3); mais cette méthode des tangentes est en défaut pour les points A, B, C, D de l’intersection, puisque les plans tangens pour l’un quelconque de ces points, C par exemple, sont verticaux, et se coupent suivant une verticale; ce qui réduit la tangente au point C projection de cette verticale. Il faut pour ce point avoir recours au plan des deux normales (art. i65). Ix>s normales en C du petit et du grand cylindre coupent le plan horizontal, l’une en L, l’autre-en E; tirant la droite EL trace horizontale du plan des deux normales, la perpendiculaire CP à EL est la tangente au point C. Les courbes CRD, AIB sont les deux branches d’une hyperbole (*) qui a pour axe réel la droite 1K ; elles correspondent à la courbe d’entrée dans le grand cylindre, et à la courbe de sortie ; l’intersection totale se projette sur le plan vertical XY suivant le cercle efg.

{*) On démontre cette proposition per l’analyse, en prenant pour axes de coordonnées les droites rectangulaires EF, 1K, qui se coupent au point G origine de» coordonnées. L'équation du petit cylindre est x* a* =r /■•; celle du grand : y* -|- *' = R’. Éliminant on a pour l'équation de la projection suc le plan des xj :

équation de l'hyperbole équilalère.

ia5

Intersection d'un cylindre et d'une sphère.

a la. La ftg. a *pl. aa, représente l'intersection d’un cylindre et d’une sphère. Le plan horûontnl de projection passe par le centre de la sphère et par Taxe d’un cylindre droit à base circulaire; le plan vertical est perpendiculaire à cet axe : la projection verticale de la courbe d’intersection est un cerclé, et la projection horizontale une parabole.

Le plan horizontal de projection contient le centre O de la sphère, le grand cercle de cette sphère du rayon OD, l’axe GG' du cylindre et les deux arêtes AC, BD du cy lindre droit, qui a pour base le cercle efg. Le plan vertical OI) coupe la sphère -suivant un grand cercle qu'on transporte sur le plan du- petit cercle efg par un motif semblable à celui qu'on a exposé dans l’exemple précédent. On porte le rayon OD de f en II’, et du point H' comme centre, on décrit le grand cercle de la sphère, transposé en fnl sur le plan vertical XY. Un plan horizontal quelconque ni/. t coupe le cylindre suivant des droites qui se projettent sur le plan horizontal en NN et $<*'; ( horizontale mu coupe la verticale Jf' au point ni, le cercle fik au point «. Portant la distance ni n de la verticale ff' au cercle fnk, de 1) en J' snr le rayon OD, et décrivant du point O comme centre avec le rayon OI une circonférence qui coupe les droites NN’, aux points M, M’, /i, pi", ces quatre points appartiennent à la projection horizontale de la courbe d'intersection de la sphère et du cylindre. Cette projection se compose de deux branches CMD, AM'B, qui appartiennent à une parabole (*) dont le sommet est en S, sur la perpendiculaire OG qu’on abaisse du point O centre de la sphère, sur l’axe GG' du cylindre.

a 1 3. La tangente CP en Ç,se détermine comme dans l’exemple précédent, par la condition d’étre perpendiculaire à la tracé horizontale OL du plan des deux droites CL, CO, l’une normale au cylindre, et l’autre normale à la sphere ; elle rencontre la droite OG au point P, en sorte que la sous-tangente est C’P. Divisant C’P en deux parties égales au point S, ce point est le sommet de la parabole. ( Voyez la note ci-dessous.)

(*} On démontre cette proposition par l’analyse, en prenant le centre O de la sphère pour l’origine des coordonnées, la perpendiculaire OS sur l’axe CL du cylindre, pour l’axe des x, et la parallèle a la droite GL pour l’axe des y. L’équation delà sphère est : x* -f- y* = R,. \p. pelant o la distance OG, l’équation du cylindre est (x — <i)t -f = R et r sont les rayons de la sphère et de la base du cylindre. Éliminant r», on a pour l'équation de la projection de l’intersection du cylindre et de la sphère sur.le plan des xy : y' 4- aux — <1. = R> — n.

Cette équation appartient à une parabole dont le sommet S est à une distance OS du centre

égale à

R- -| q' — r' ta

ja6 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Des projections obliques. ^

ai4- Un mode de projection, quel qu’il soit, a pour objet de déterminer la position respective des points situés dans l’espace. La définition d’un mode de projection est complète, lorsqu’on donne la surface sur laquelle on projette, et la loi d’après laquelle on mène par clique point de l’espace la droite qui projette ce point.

Ix» mode de projection le plus simple, et le seul dont nous ayons fait usage jusqu’à présent, se nomme projection orthogonale. 11 consiste à projeter les points de l’espace sur un plan, par des droites perpendiculaires à' ce plan. Lorsque les lignes de projection sont constamment parallèles à une droite donnée, et obliques par rapport an plan de projection, ce mode de projection se nomme projection oblique. La projection perspective désigne le mode pour lequel les lignes de projection concourent vers un point fixe et déterminé.

ai 5. Cçs trois projections, orthogonale, oblique, perspective, se font sur des surfaces planes. La proposition suivante s’applique aux trois modes de projection.

« Lorsque deux droites se coupent dans l’espace et comprennent entre elles » un angle, le sommet de cet angle a pour projection sur un plan le point » d’intersection des projections des deux droites sur le même plan. »

La proposition est vraie pour deux lignes quelconques, planes ou à double courbure, qui se coupent ou se touchent. Si elles se touchent, la projection de leur point de contact est le point de contact des lignes qui en sont les projections.

Cette seconde proposition, Des droites parallèles ont pour projections des droites parallèles, est applicable aux deux modes de projections orthogonale et oblique, pour lesquels les lignes de projection sont parallèles; elle n’a pas lieu pour la projection perspective. #

On a fait voir (art. 7) que dans la projection orthogonale, les deux projections d’un point sont placées sur une ‘droite perpendiculaire à l’intersection commune des deux plans de projection, en supposant que ces deux plans se confondent en un seul, après avoir tourné autour de la droite suivant laquelle ils se coupent. Cette propofition n’est pas applicable aux projections oblique et perspective. La suivante (art. a 1) n’est encore vraie que pour la projection orthogonale : « Lorsqu’une droite est perpendiculaire à un plan P, la projec- » tion de la droite sur un plan quelconque P , est perpendiculaire à la droite » intersection des deux plans P et P'. » Les deux modes de projection oblique et perspective ont pour bases les deux propositions suivantes: »

I. « Toutes les lignes tracées sur un cylindre étant projetées sur un plan ou » toute autre surface, par des droites parallèles aux arêtes du cylindre , la » ligne d’intersection du cylindre et de la surface de projection, ainsi que » toutes les lignes du cylindre projetées sur cette surface, coïncident en tota- » lité ou en partie. »

IL « Toutes les lignes tracées' sur un cône étant projetées sur un plan ou » toute autre surface, par des lignes concourantes vers le sommet du cône, la » ligne d’intersection du cône et de la surface de projection, ainsi que toutes » les lignes du cône projetées, coïncident en totalité ou en partie. »

L’emploi des projections , oblique et perspective , conduit dans quelques cas particuliers à des solutions plus élégantes que celles qu’on obtiendrait par la méthode des projections orthogonales; en voici quelques exemples (*).

De la projection oblique appliquée à la recherche de l'intersection de deuxsurfaces , dont rune est un cylindre. ( PI. 22, fig. 3.)

ar6. Lorsqu’un cylindre et une autre surface quelconque définie se pénétrent, on trouve leur ligne d’intersection en coupant les deux surfaces par une suite de plans parallèles, et les points où les sections contenues dans un même plan se rencontrent,, appartiennent à la ligne suivant laquelle les deux surfaces se pénètrent. En projetant les sections sur un plan fixe, par «les droites parallèlcsà la génératrice du cylindre, la projection de la section du cylindre sera constante; celle de la section de la surface qui pénètre le cylindre sera variable pour chaque plan coupant; mais les parallèles aux arêtes du cylindre, menées par les points où ces projections se couperont, contiendront les points de la ligne d’intersection des deux surfaces; et comme ces points se trouveront aussi sur le plan coupant, ils seront déterminés. Supposons qu’un cylindre dont la génératrice est horizontale, soit pénétré par un autre cylindre incliné; nous allons construire leur ligne d’intersection, et la section du second cylindre par un plan perpendiculaire à sa génératrice.

Explication de la fig. 3, pl. 22.

2*7. Soit CD l’axe horizontal d’un cylindre à base circulaire; AB la-lrace horizontale d’un plan vertical qui coupe ce cylindre suivant un cercle du

(*) Celte idée a été développée dans un ouvrage nouvellement publié sous le titre de Géométrie perspectiir; l’auteur de cet ouvrage est M. Cousinery, élève de l'École polytechnique, ingénieur au corps royal des ponts et chaussées. In-4* de g 3 pages et 7 planches. Paris, 1828.

1 a8 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

rayon AC ou BC. Le cylindre horizontal est pénétré par un cylindre oblique dont la base circulaire f'gh est dans un plan vertical fh; le diamètre fh de cette base est distant du plan horizontal de projection de la hauteur verticale ff‘ ou hh. Les projections horizontales et orthogonales des arctes du cylindre oblique, qui passent par les points /', h , sont les droiles/F, /iH. Ces arêtes sont dans un plan incliné qui coupe le plan horizontal de projection suivant la droite FII. Un plan vertical /FF' tourne autour de sa trace horizontale / F' comme charnière, pour s'abattre sur le plan horizontal; c’est à ce premier plan qu’on rapporte les points de l’espace par des lignes obliques. On prend pour lignes de projection des horizontales parallèles à la génératrice du grand cylindre horizontal ; toutes les lignes de ce grand cylindre se projettent suivant la courbe FLF', qui résiüte de son intersection par le pian vertical de projection /"FF1. La hase f gh dece cylindre se projette sur le même plan /FF', suivant la droite/*’ perpendiculaire à /F'; en sorte que le diamètre horizontal fh a pour projection oblique le point/’ de la droite/», qu'on détermine en {hxsMxtff—ff.

L’hypothénuse Vf" du triangle rectangle Yff est la projection oblique du parallélogramme qui a pour côtés opposés les horizontales FH, fh. Portant e’g en fg, et menant la parallèle g'k à/"F, la projection oblique de l’intersection du demi-cylindre à base f'gh, est la portion F k de la courbe FLF'; cette intersection a de plus pour projection horizontale orthogonale, la courbe FK.H que nous allons construire. Les points F et II de cette courbe sont déterminés sur l’horizontale AA', par la rencontre de cette horizontale et des droites /F, AH. Pour avoir un point intermédiaire M sur la droite MN parallèle à Yf on considère cette droite MN comme la trace horizontale d’un plan vertical, qui coupe suivant N/« le plan du cercle f'gh'. Portant la verticale N m sur fg de /en rh, et menant la parallèle mini' A Vf ", qui rencontre la courbe FI en m", on abaissera de ce point m" la verticale rnf, et par le point /j. de la droite Ef, on mènera la parallèle juM à FII, qui coupera la droite NM au point M. Un autre plan coupant M N', parallèle au plan vertical MN, donnerait un autre point M’ de la courbe FMM IL

ai 8. La projection oblique de la section droite ou arc droit du petit cylindre à base f'gh, est sur le plan de projection /FF', une courbe pqr qu’il s’agit de ciHistruire. Le plan de cette section droite a pour trace sur le plan horizontal de projection, la droite PQ perpendiculaire au* parallèles Vf, HA, MIT. Un plan vertical quelconque M'N' coupe le cylindre et Je plan de l’arc droit suivant deux droites qui sont perpendiculaires entre elles dans l’espace, et dont les projections obliques sur le plan vertical/F’ se coupent aussi à angle droit : or la projection oblique de la droite du cylindre sur le plan vertical

DigitizeqW

/F’ est mm"; celle du point R est R’; donc si du point R' on abaisse la perpendiculaire RV sur mm", le pied ¥ de cette perpendiculaire appartient à la projection- oblique qr'p de l’arc droit.

La projection oblique du point Q est Q'; les projections obliques des deux arêtes dn cylindre contenues dans les plans verticaux f F , AH sc confondent en une seule droite d’où il suit que les perpendiculaires Q'q, Vp abaissées des points Q’ et P sur Fyv, déterminent les points p, q de la courbe pr’q.

C’est au moyen de l’arc droit du petit cylindre oblique, qu’on obtiendrait le développement de ce cylindre, et qu’on y rapporterait les lignes déterminées par les deux projections, l’une verticale oblique, et l’autre horizontale orthogonale. L’épure relative à la voûte qu’on nomme descente biaise rachetant un berceau , et que nous avons expliquée dans notre Cours de Stéréotomie à l’École polytechnique, se construit de deux manières; l’une par la projection orthogonale, et l’autre par la projection oblique. L’intérieur de cette voûte est formé de deux cylindres à bases circulaires, et on trouve toutes les lignes nécessaires pour le tracé de la voûte, par la méthode que nous venons d’exposer.

De la projection perspective. — Exemple fig. 4, pl. 22.

219. Un cône et une surface de révolution se pénètrent; on propose de construire leur ligne d’intersection ?

Les deux surfaces étant coupées par une suite de plans perpendiculaires à l’axe de révolution, on considère la section du cône faite par un plan quelconque de cette série comme la base du cône, et on projette sur ce plan les sections circulaires de la surface de révolution, par des lignes concourantes vers le sommet du cône. ï.es projections des sections circulaires sont évidemment d’autres cercles parmi lesquels on distingue ceux qui rencontrent la base du cône. Par le point où l’un de ces cercles coupe la base du cône, on mène une arcte du cône, qui rencontre la section circulaire de la surface de révolution dont ce cercle est la projection perspective, et le point de rencontre appartient à l’intersection de cette su^ace et du cône.

Explication de la fig. li, pl. 22.

220. Le plan horizontal de projection , perpendiculaire à l’axe de la surface de révolution, coupe le cône suivant la ligne BCD. Prenant la droite XY pour l’intersection des deux plans de projection horizontal et vertical, le sommet du cône est donné pour ses deux projections orthogonales A et a. On mène par l’axe de révolution (¥,/]¥') un plan méridien parallèle au plau

i3o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

vertical de projection, dont la trace g F/j' est parallèle à la droite XY. Ce plan méridien coupe la surface dç révolution suivant la ligne ff'gh, génératrice de la surface; cette génératrice est, par exemple, une ellipse qui tourne autour de son grand axe Jf .

Un plan horizontal quelconque, dont là trace sur le plan vertical de projection est gh, coupe l’ellipsoïde de révolution suivant un cercle du diamètre g/g dont la projection horizontale est un autre cercle g o h' du diamètre g h’ — gh% qui a pour centre le point F. Le plan de projection perspective étant celui de la base BCD du cône, on projette le cercle (gh, g'Wfj par des droites concourantes vers le sommet (A, a) du cône; la projection perspective de ce cercle est un autre cercle du diamètre GH = GTT, dont le centre K est l’intersection du plan horizontal de projection, et de la droite (AFK., aoK’) qui joint le sommet du cône et le centre du cercle à projeter. Le cercle GHMN coupe la base BCD du cône aux points M, N ; les droites menées de ces points M, N au sommet (A, a) du cône, rencontrent le cercle (goh, g’o'h ’) de la surface de révolution aux deux points (M’, m'), (N', ri) qui appartiennent à la ligne d’intersection du cône et de l’ellipsoïde de révolution.

Considérant d’autres plans parallèles agh, et perpendiculaires à l’axe de révolution, on trouverait tant d’autres points qu’on voudrait de l’intersection des deux surfaces données.

S’il s’agissait de trouver l’intersection d’un cylindre et d’une surface de révolution, on substituerait à la projection perspective la projection oblique, en prenant pour lignes de projection des droites parallèles aux arêtes du cylindre. On trouverait par les mêmes considérations, l’intersection d’un cône ou d’un cylindre par une' surface qui aurait pour génératrice une courbe plane de forme constante ou variable, dont le plan se mouvrait parallèlement à lui-même. On prendrait pour base du cône, la section de ce cône par un plan parallèle à celui de la courbe mobile. Dans le cas le plus général, où la surface serait engendrée par une ligne quelconque variable de forme et de position, on couperait cette surface et le cône par une suite de plans parallèles à un plan fixe pris arbitrairement, et la projection perspective de chaque couple de section déterminer^ des points de la ligne d’intersection du cône et de la surface.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i3i