EXEMPLES DE SURFACES QUI SE PÉNÈTRENT, ET DE TANGENTES AUX LIGNES

d’intersection.

Premier exemple. — Intersection d'un cène, et d'une sphère qui a pour centre le sommet du cône. (PI. 18.) •

166: Les deux nappes opposées d’un cône étant coupées par la sphère qui a pour centre le' sommet de ce cône, la ligne d’intersection est formée de deux branches séparées et symétriquement placées par rapport au centre de la sphère; il suffira de construire l’une de ces branches, par exemple celle qui est située entre le sommet du cône et le plan horizontal de projection : tout ce qu’on dira de cette branche inférieure s’appliquera également •

à la supérieure. » .

On conçoit par le sommet du cône une suite de plans verticaux ; chacun'^ de ces plans coupe le cône suivant des lignes droitqs, la sphère suivant ün grand cercle; les points communs au cercle et aux lignes droites appartiennent à l’intersection de la sphère et du cône.

(*) y oyez on «rtifle de M. Binet (M.— J.), dans la Correspondance Sur V École polytechnique, tome III, page 199.

JOO GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Soit BCDE(/>/. i) la base du cône donnée sur le plan horizontal (A, a');

le sommet du cône ou le centre d’une sphère du rayon al ou a'\. Un plan vertical quelconque CAE, mené par ce point (A, a'), coupe le cône suivant deux arêtes qui passent par les points C et E, et la sphère suivant un grand cercle. Faisant tourner ce plan autour de la verticale (A, aa') pour l’amener dans le plan vertical FAG parallèle au plan vertical de projection , les points C , E viennent en F et G, et les arêtes du cône qui passent par ces points, se projettent sur le plan vertical en aÿe t a g : or ces droites sont rencontrées par le cercle du diamètre A aux points f , g', distans de la verticale au' de /"<$ et g^l. Portant ces distances sur l'horizontale GAE de A en H et en J, ces points II et J appartiennent à la projection horizontale de la courbe d'intersection de la sphère et du cône. Les points correspendans h et i de la projection verticale de cette courbe se trouvent sur les perpendiculaires H/i, Ji à la trace XY des plans de projection , et sur les horizontales/7i|, g’i'4, par conséquent les points de rencontre h, i de ces droites appartiennent à la projection verticale de la courbe d’intersection.

1G7. Iæ tangente à cette courbe au point ( J, i ) s’obtient par l'intersection des plans tangens aux deux surfaces, menés par ce point. Le plan tangent au cône a pour trace (art. 59) sur le plan horizontal, la droite CP tangente à la base UCDE ; le plan tangent à la sphère considérée comme surface de révolution, rencontre le plan horizontal (art. G3) suivant la droite OP perpendiculaire au méridien vertical ACH; les deux traces OP, CP se coupent au point P de la tangente ; d'où il suit que les droites PJ , pi sont les projections horizontales et verticales de la tangente au point (J, i) de la courbe d’intersection des deux surfaces.

Pour trouver le poiut O de la trace horizontale OP du plan tangent à la sphère, on a mené la tangente go au grand cercle de la sphère, décrit du point a comme centre avec le rayon donné al; cette tangente rencontre la droite XY au point o, distant de la verticale au de oa. On a porté cette distance aa de A en O’ sur la droite AF, parallèle à XY ; l'arc de cercle décrit du point A comme centre avec AO’ pour rayon , coupe la droite AE au , point O.

1G8. Dans le cas particulier où la base du cône est une ellipse BCDE, on déterminera les arctes de ce cône situées dans les .plans tangens perpendiculaires au plan vertical de projection, en menant le diamètre BD de l’ellipse conjugué au diamètre qui est parallèle à la droite XY, intersection des plans de projection. Les tangentes Bô , D d coupent cette droite XY aux points b et d; les droites a'b, a'd sont les limites de la projection verticale du cône, et comme elles sont aussi les traces verticales des plans tangens au cône,

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. «oi

perpendiculaires au plan vertical de projection , elles touchent (art. gj) la courbe hikn aux points n, k. \

Pour déterminer les points de contact n, k, on décrit du point A comme centre avec les rayons AB, AD, les arcs BB', DD’ qui coupent la droite I’ÂG aux points B’, D', par lesquels on élèvo les perpendiculaires B 'b', D'd' à XY. Tirant les droites a’b', a'd' qui coupent le grand cercle de la sphère du diamètre t), aux points d, k', les horizontales dn, k'k rencontrent les limites db , a'd de la projection verticale du cône, aux points n et k. Les perpendiculaires //N, AK à XY rencontrent les droites AB, AD aux points N et K de la projection horizontale NKCH de la courbe d’intersection de la sphère et du cône. On construirait les tangentes N/x, K fï aux points N et K de cette projection, comme pour le point J.

1G9. Il y a encore sur la courbe d’intersection d’autres points remarquables, tels que ceux pour lesquels les tangentes à la courbe sont horizontales. Ces points se trouvent sur les arêtes du cône, qui passent par les pieds des normales qu’on peut abaisser du point A sur l’ellipse BCDE. Soit Ap l’une de ces normales, sur laquelle se trouve le point (M,m) de la courbe d’intersection de la sphère et du cône; la tangente en ce point est horizontale; d’où il suit que le point m de La courbe hikn est le plus élevé au-dessus du plan horizontal de projection. (L’horizontale kk‘, sécante de celte courbe, 11e parait tangente sur le dessin, que parce qu’elle se confond avec l’horizontale qui passerait par le point m.)

I-es tangentes aux points'situés dans les plans verticaux normaux à la base du cône, sont horizontales, parce que les plans tangens au cône et à la sphère, dont elles sont les intersections, sc coupent suivant des droites horizontales ou perpendiculaires aux plans verticaux, qui ont pour traces horizontales des droites telles que Ap normales à l’ellipse base du cône.

170. La courbe hikn, construite sur le plan vertical XY', est tangente au grand cercle l/gl, limite de la projection verticale de la sphère, et pour déterminer les points de contact y, d, on -mettra en projection verticale les points de rencontre a, £ de la droite FAG et de l’ellipse BCDE; ce qui donnera les points d, jB’, par lesquels on mènera les droites ad, a'H' qui coupent le grand cercle if gx aux points de contact y, / de ce grand cercle de la sphère et de la courbe hikn. Cette courbe a un point double si qui se trouve sur une droite ai, mene'c par la projection d du sommet du cône, et par le point •’ projection verticale du point ». Ce dernier point est l’intersection de la droite FAG parallèle à XY', et du diamètre BD de l’ellipse. En effet, ce diamètre (art. 168) coupe en deux parties égales l’ordonnée «»»' de l’ellipse, et le milieu c étant sur la droite FAG, il s’ensuit que les droites A»'ir,A*>V sont

égales. Considérant ces droites Comme les traces de deux plans verticaux qui appartiennent au système de plans qui coupent la sphère et le cône, les arêtes du cône contenues dans ces plans se projettent sur le plan vertical XY, suivant une droite unique aV, et seront rencontrés par la sphère en deux points situés sur l’horizontale (•<■»', «*) perpendiculaire au plan vertical de projection. L’intersection des deux droites connues •»'«•', a't détermine le point double « de la courbe hikmnryJ ».

Du développement d'un cône à base quelconque (pl. 18). ( Dernier exemple de déi'eloppeinent de surface.)

17 1. Nous avons vu (art. io5)que le développement d’un cône droit est un secteur de cercle qni a pour bas? un arc de même longueur que la base circulaire du cône, et pour rayon la distance d’un point de cette base au sommet du cône. En considérant un cône à base quelconque, plane ou à double courbure, le développement de la partie de ce cône comprise entre son- sommet et sa ligne d’intersection par une sphère qui a ce sommet pour ceptre, est aussi un secteur de cercle de même longueur que la courbe d’intersection de la sphère et du cône, et d’un rayon égal à celui de la sphère. Il faut donc , pour construire ce développement, rectifier la courbe dont on a les deux projections JNHK, inM ( fig . i,pl. t8 ). Considérant la première de ces courbes comme la section droite d’un cylindre vertical, on la divise en un assez grand nombre de parties, pour que chaque partie soit sensiblement droite.

Le plan vertical AMR/j coupe la base du cône aux points pet p', et contient le point (M, m) de l’intersection du cône et de la sphère, qui est le plus élevé au-dessus du plan horizontal; on prend le plan tangent au cône en ce point ( M , m ) pour le plan de développement , et on porte sur la droite R R' (fig. t.a ) les deux parties MJR, MHR (fig. 1 ) de la courbe, qui est la projection horizontale de l’intersection du cône et de la sphère. Cette courbe étant divisée à partir du point M (fig. 1 ) en un assez grand nombre de parties, pour que chaque partie puisse être considérée comme une droite, les points M, I, y, R se placent sur la droite R’R' (fig. t .a) respectivement en M’, J', y, R’, et les points M, K, II, R (fig. 1) se placent du côté opposé sur la même droite R'R’, en M', K’, H', R’. On élève par ces points des perpendiculaires qui représentent les distances de6 points de la courbe d’intersection du cône et de la sphère au plan horizontal; ces distances sont connues par la projection vertiçale de cette courbe.

Ainsi les ordonnées R'R’, yy, J’J', M'M', K'K.' (fig. 1 .«) ont pour lon-

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. «o3

gtieurs respectives, les perpendiculaires abaissées des points r , y, i , m , k ( fig . i) sur la droite XY. La courbe Ryj'M'K.' (fig. i.a)qui passe par les extrémités de ces ordonnées, fait connaître ce que devient l’une des parties (MJR, rnir',fig. i) de la courbe d’intersection de la sphère et du cône, sur le développement d’un cylindre vertical qui la contient; on trouvera de la même manière l’autre partie (MK R , mkr) de cette courbe.

La courbe R’M'R' (fig- t.a) a pour ordonnée maximum la droite M'M” qui correspond au point (M, m) (fig. i) de l'intersection des deux surfaces; l’ayant divisée en parties très-petites et sensiblement droites, on rapporte toutes ces parties sur un arc de cercle décrit du point S {fig- i -b) comme centre, avec un rayon SR" égal au rayon de la sphère qui pénètre le cône. On joint les points de division et le centre S par des droites qui représentent les arêtes du cône. Supposons que l’arc de cercle RYJ" soit de même longueur que la portion de courbe Ryj’ (fig. i .a), la droite SJ’C sera l’arête du cône qui a pour projection {fig. i) les droites AC, a'c, et le point J" (fig. i.b) représentera le point (J, i ) (fig- i) de la courbe d’intersection dn cône et de la sphère.

Construisant la longueur de l’arête du cône, qui a pour projection les droites AC, a'c(fig. i), et la rapportant (fig. i.l>) de S en C, le point.C appartiendra à la courbe p’CpE’p', qui est sur le développement du cône, la transformée de l’ellipse BCDE, base de ce- cône (art. gG). * •

La tangente CP (fig. t) de l’ellipse, et la tangente de la courbe d’intersection au point (J, «’), forment avec la portion d’arête du cône (CJ, ci), un triangle CJ'P (fig. ».ô), dont le côté CP est une tangente à la courbe p'CpE'p'; mais chaque tangente de la transformée de la courbe d’intersection, est une tangente de l’arc du rayon SR” (fig. i.ô); donc si l’on construit la longueur de la droite (JP, ip) (fig. i), et qu’on la porte de J' en P (fig. i .b) sur la perpendiculaire J'P à SV, l’hypothénuse CP du triangle rectangle CJ'P, sera la tangente de la courbe f'CpKf, transformée de l’ellipse base du cône.

Deuxième exemple d’intersection de surfaces. — Deux surfaces cylindriques se pénètrent, et on demande la courbe d’intersection? (PI. 19.) — Voyez la. dé- * ;

finition de ces surfaces, page 3o, art. 53.

17a. Chaque point de la ligne d’intersection de deux surfaces cylindriques est déterminé par la rencontre des deux droites qu’on peut mener par ce point sur les surfaces ; or tous ces couples de droites sont situés dans des plans parallèles aux droites génératrices des deux cylindres; donc en coupant les deux surfaces par des plans parallèles à ces génératrices, on construira chaque point de }a ligne d’intersection par la rencontre de deux

io4 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

droites; ce qui est ia solution la plus simple qu'on puisse trouver. La direction des plans coupans étant connue, il ne s’agit que de fixer les limites de ces plans; elles dépendent des bases ou des directrices des droites mobiles, génératrices des cylindres. En effet, supposons que ces bases soient des lignes données sur le plan horizontal de projection, telles que les ellipses ABCD, EFGH (Jig. I , pl. 19); les parallèles (IR, U), (IL, il) aux génératrices, menées par un point quelconque (I,i)dc l’espace, rencontrent le plan horizontal de projection aux poiuts K, L; d'ou il suit que les traces horizontales de tous les plans parallèles aux génératrices, seront des parallèles » la droite KL.

Menant les tangentes MNO, PQR aux ellipses ABCD, EFGH parallèles à la droite KL, elles seront les traces des plans coupans limites, c’est-à-dire que tous les points de la courbe d'intersection des deux cylindres seront renfermés entre ces plans. En effet, un plan quelconque parallèle aux génératrices des cylindres, dont la trace horizontale serait en dehors de l'aire comprise entre les deux parallèles MO, PR , ne rencontrerait qu’une seule base, ou n'en rencontrerait aucune. Dans les deux cas, ce plan ne renfermerait aucun point de la courbe d’intersection, puisqu’il ne contiendrait pas des droites appartenantes à l’une et à l’autre surface. Soit donc STUV parallèle à la droite KL, la trace d’un plan coupant qui rencontre les bases des deux cylindres aux points S, T, U, V ; on aura les projections des arêtes des cylindres contenues dans ce plan, en menant parles points S, T des parallèles à Kl, et par les points U, V des parallèles à LI; ces parallèles se couperont aux quatre points «, ,0, >, <T, qui appartiennent à la projection horizontale de l’intersection des deux cylindres. Abaissant les perpendiculaires SS', TT', UU’, VV’ sur XY intersection des plans de projection, les parallèles S'«V, T'0>' à la droite ki, et les parallèles U'flV, V’jy à la droite li, se coupent aux quatre points ai, 0', y, /',-qui appartiennent à la projection verticale de la courbe d’intersection; les droites a*', £3', yy, SS' sont perpendiculaires à XY, parce qu’elles joignent les projections des poiuts de cette courbe, situés dans l’un des plans ‘coupans.

Les projections horizontale et verticale de la ligne d’intersection des deux cylindres, se construisent indépendamment l’une de l’autre. Conservant les bases des deux cylindres, on pourrait faire varier les directions de leurs génératrices, de manière que la projection horizontale de l’intersection restant la même, la projection verticale changeât, et réciproquement.

173. La tangente au point tel que (/3, /B') de la courbe d’intersection, est à la fqis dans les plans qui sont tangens aux cylindres suivant Je» arêtes qui se rencontrent en ce point: or ces arêtes sont (T/6, Tfi ), (U.0, U’0"), et les

plans tangens suivant ces arêtes, ont pour traces horizontales les droites TZ, UZ tangentes aux bases des cylindres; donc le point Z où ces traces se coupent, appartient à la tangente. Tirant Zj8 du point Z au point donné /3, ’ abaissant la perpendiculaire ZZ' sur XY, et joignant les points Z , 8', on aura les projections Zfl, Z’|S’ de la tangente au point (8, /8’ ) de la courbe d’interseotion des deux cylindres.

17/1. On meuera d’autres plans coupans, par les points C, 1), G, H où les bases des cylindres sont touchées par les droites CO, DD', GG’, HH'. Les plans coupans limites MNO, PQR sont tangens au premier cylindre suivant des arêtes qui passent par les points M, P de la base ABCD, et sont sécans du secoud cylindre suivant les arêtes qui passent par les points N, O, Q, R dé la seconde base EFGH ; ces dernières arêtes sont des tangentes à la courbe d’intersection, puisqu’elles sont aussi les droites intersections des plans tangens au second cylindre menés par ces arêtes, et des plans tangens au premier menés par les points M, P de sa base. Mais les arêtes du second cylindre qui passent pasies points N, O, Q, R ont pour projections horizontales quatre parallèles à la, droite LI menées par ces points, et pour projections verticales quatre parallèles à la droite ü menées par les points N', O', Q', R', projections verticales des points N, O, Q , R ; d’où il suit que les quatre premières parallèles sont tangentes à la projection horizontale de la courbe d’intersection des deux cylindres, et les quatre autres sont tangentes à la projection verticale de cette courbe.

i 75. Les projections horizontales des deux cylindres ont pour limites les tangentes DD'v CC' menées à la base ABCD, parallèlement à Kl, et les tangentes GG , Hli: à la base EFGH, parallèles à LI : or ces tangentes sont aussi les traces de plans verticaux tangens aux cylindres, et ces traces sont ellesmêmes des tangentes à la projection horizontale de la courbe d’intersection ; donc les droites DD', CC’, GG’, HH’ sont tangentes à cette projection. Le même raisonnement s’applique aux limites des projections verticales des cylindres. Les tangentes aux bases, telles que AA', BB’, EE', FF’ perpendiculaires à XY, rencontrent cette droite aux points A', B’, E’, F’; menant par les points A', B' des droites parallèles à Ai, et par les points E’, F’ des droites parallèles à U, ces droites A’o, B b, EV, Vf sont des tangentes à la projection verticale de la courbe d’intersection.

176. Lorsque deux surfaces cylindriques dont les génératrices sont parallèles, se rencontrent, la pénétration a lieu suivant une ou plusieurs droites; ,dans le cas où les génératrices no sont pas parallèles, il peut arriver deux cas, ou que les bases des cylindres, c’est-à-dire leurs traces sur le plan horizontal, soient des courbes fermées ou infinies. Si elles sont fermées, la

courbe d’intersection est aussi fermée; si elles s’étendent à l’infini, de manière quelles soient rencontrées par tous les plans parallèles aux deux génératrices, la courbe d'iutersection s’étend aussi à l’infini.

177. En supposant que les bases des cylindres donnés soient les ellipses

ÀBCD, EFGII qui sont des courbes fermées,- la ligne d’intersection est aussi fermée; mais elle peut avoir ou une seule branche, ou deux branches séparées : c’est ce qu’on reconnaît à priori , par les traces des plans coupans limites sur les plans des bases. „ . »

Lorsque les deux traces sont tangentes ri l’une des deux bases seulement, et sécantes de l’autre, comme la Jig. 1 , pl. 19 l’indique, le cylindre correspondant à la première base pénètre le second cylindre, de manière qu'il y a sur celui-ci courbe d’entrée et courbe de sortie; mais si les traces des plans sécans limites ne sont pas tangentes à une seule des deux bases données, il n’y a pas pénétration totale, il y a seulement arrachement; la ligne d’intersection est dans ce cas d'une seule branche. On aurait cette branche unique ( pl . 19 ), en prenant les droites $4, <? 4' pour les limites des plans sécans; chacune de ces droites est tangente à une base, et sécante de l’autre. . . • ’ ,

1 78. 11 y a des cas où la pénétration de deux cylindres est une courbe plane. Soit, par exemple (Jig. a,pl. 19), un cylindre horizontal qui a pour base un cercle vertical du diamètre AB, et dont les arêtes passant par les extrémités A, B de ce diamètre, soient les horizontales ACE, BFD; en coupant ce premier cylindre par un plan vertical CD, et regardant la section comme la base d’un second cylindre dont les arêtes sont parallèles aux droites données CF, DE, il est évident que les deux cylindres se pénétreront, et que la ligne d’intersection sera composée de deux courbes planes, situées dans les plans verticaux CD, EF; ces deux courbes se coupent au point dont O est la projection horizontale ; ce point O est l’intersection de deux arêtes horizontales contenues dans le même plan tangent. L’intersection de ce plan et des plans verticaux CD, EF, déterminera les tangentes horizontales de la ligne d'intersection des deux cylindres.

Troisième exemple d' intersection des surfaces. — Pénétration de deux surfaces

coniques. (Pl. ao.)

1 79. Deux surfaces coniques, telles qu’on les a définies page 34, se pénètrent, et on propose de construire leur Ugne- d’intersection?

On prend pour le système de plans qui coupent à la fois les deux surfaces données, ceux qui passent par les sommets des deux cônes, ou plutôt par la

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droite qui joint ces sommets. Chaque point de la courbe d’intersection étant déterminé par la rencontre des deux droites des surfaces, le plan de ces droites contient évidemment la droite qui joint ces sommets, puisque toutes les droites de chaque cône passent par le sommet de ce cône. Réciproquement, un plan conduit par la droite qui joint les deux sommets et qui rencontre les deux bases, contient les droites des cônes, qui se coupent en un point de la ligne d’intersection demandée.

180. Soient ( pl. ao) (A, à), (B, b ) les sommets des cônes qui se pénètrent; DEFG, HIK.L les directrices des droites génératrices de ces cônes, données sur le plan borizontal de projection ; la droite (AB, ab) qui joint les sommets des cônes, coupe le plan borizontal au point C, par lequel on mène les tangentes CDK, CEL à la directrice DEFG base du premier cône. Ces tangentes sont les traces horizontales des plans coupans limites; le plan coupant dont la trace horizontale serait hors de l’angle DCE, ne rencontrerait pas les deux cônes, et par conséquent «te contiendrait pas de points de l’intersection demandée. Les traces limites CD, CE coupent la directrice I1IKL, base du second cône, aux points K, L, extrémités de l’arc KIL, base de la partie de ce cône, qui est pénétrée par le premier cône. Menant les arctes (BK, AK'), (BL, AL’ ) du second cône, et les arêtes (AD, aD’), (AE, aE') du premier, elles se coupent aux points (M, m ), (N,n) de la ligne d’intersection des deux cônes. Les projections horizontale et verticale de ces arêtes sont tangentes aux projections de la ligne d’intersection, parce que ces arêtes peuvent être considérées comme les droites intersections des plans tangens aux cônes, menés par les points (M, m), (N, n). . "

•iJBi. Un plan coupant dont la trace horizontale CRQP est dans l’angle DCE, coupe le premier cône suivant les arêtes (AQ, aQ ), (AR, <iR’), et le second cône suivant l’arête (BP, AP ) ; ces arêtes, situées dans le même plan , se rencontrent aux points (S, s), (T, t) de la ligne d’intersection. On déterminerait de la même manière.dkutres points de cette ligne.

On a déjà remarqué (art. 17a) qu’en prenant pour plan de projection le plan des bases des cylindres qui se pénétrent, les projections de la ligne d’intersection sur ce plan se construisaient à part, et sans avoir recours au second plan de projection, si ce n’est pour déterminer un plan parallèle aux droites génératrices des deux cylindres; la même remarque s’applique aux cônes. On ne se^iert dn second plan de projection que pour trouver le point d’intersection de la 'droite qui joint les sommets des deux cônes et du plan des bases de ces cônes. Cependant,*! l’on demandait (pl. ao) les points de la projection horizontale delà ligne d’intersection des deux cônes, qui sont sur la droite ABC, trace du plan vertical mené par les sommets des deux

io8 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

cônes, la projection verticale deviendrait nécessaire. Cette droite ABC, projection horizontale de la droite qui joint les deux sommets, peut être considérée comme la trace d'un plan coupant vertical , qui rencontre chacun des cônes suivant deux arêtes ; les projections verticales de ces arêtes se coupent en quatre points de la projection verticale de la ligne d’intersection des deux cônes. Deux de ces quatre points, marqués 3', 4’ (/>/. ao), sur le plan vertical de projection, déterminent sur la droite ABC les deux points 3, 4 de la courbe MNST, projection horizontale de la ligne d'intersection des deux cônes.

i8a. La tangente en un point quelconque (S, r)de l’intersection des deux cônes, se trouve dans les plans tangens aux cônes menés par ce point. Le plan tangent au premier cône passe par l'aréte qui rencontre le plan horizontal au point Q ; d'ou il suit que la tangente QV à la base DEFG est la trace horizontale de ce plan tangent. La trace du second plan tangent au même point (S, s) du second cône est la droite PV tangente au point P de la hase IL11K. : or les deux traces se coupent au point V ; donc ce point appartient à la tangente (VS, Vf). La droite VS est tangente à la projection horizontale MNST de la ligne d’intersection des deux cônes, et la droite \'s est tangente à la projection verticale mnst de cette ligne. Cette projection mnst a encore pour tangente la droite b\\ limite de la projection verticale du cône à base IKH, et les droites nF’, aG’, limites de la projection verticale du cône à base EFDG. Pour construire le point de contact sur l’une de ces tangentes, par exemple sur aF", qui correspond à l’arête (AF, aF’) du premier cône, on mènera par le point F la trace CF d'un plan coupant ; cette trace coupe la base du second cône au point/9. L’arête (B/0, b fl!) de ce cône rencontre l’arête (AF, aF’) du premier cône au point (a, «’); ce qui détermine le point de contact a! sur la droite a*’F’, tangente à la courbe mrul.

i83. La courbe (MNSTa, mnsta!) que nous venons de construire, n’est qu’une branche de la ligne d’intersection des deux cônes, car il est évident que le premier cône serait coupé en totalité par la portion du second cône, qui a pour base l’arc A de La base de ce cône ; ce qui formerait une seconde branche de la ligne d’intersection, que l’on doit tracer pour résoudre le problème complètement, mais qu’on a omise ( pi . ao) afin d’éviter la confusion des lignes de construction.

De la courbe d’intersection de deux cônes du second degrc.

1 84. On nomme cônes ou cylindres du second degré, ceux dont les bases sont des courbes planes du second degré, l’ellipse, la parabole, l’hyperbole (art. 80).

Deux cylindreâ à bases elliptiques ne peuvent se couper que suivant une courbe fermée, d’une seule branche ou à deux branches séparées ; la courbe ' . d’intersection ne s’étend à l’infini que lorsque les deux bases sont des hyperboles ou des paraboles. La condition nécessaire pour que deux cônes quelconques se pénétrent suivant une ligne à branches infinies , c’est qu’ils aient des arêtes parallèles. Chaque point de l'intersection étant donné par la rencontre de deux droites des cônes, il est évident que ce point 11e peut être situé à l’infini que lorsque les droites deviennent parallèles. En ne considérant que les cônes du second degré, on peut déterminer à priori le nombre de branches infinies de leur ligne d’intersection, et les asymptotes de cette ligne.

Des asymptotes de la ligne d’intersection de deux cônes du second degré.

185. -L’asymptote de la ligne d’intersection de deux cônes est la tangente

au point de cette ligne situé* à l’infini : or ce point est l’intersection des droites des cônes , qui sont parallèles ; d’où il suit que les plans tangens aux cônes menés par ces droites se coupent suivant les asymptotes de la ligne d’intersection. Pour déterminer les droites parallèles de deux cônes, on joint leurs sommets par une droite, et, supposant que le premier cône soit fixe, on fait mouvoir le second cône parallèlement à lui-même, de manière que son sommet parcoure la droite dirigée vers le sommet du premier cône. Lorsque les deux sommets sont réunis, on eoupe le cône fixe et le cône transporté par un même plan; les courbes qu’on obtient, présentent le* cas suivans : . . .

i° Elles peuvent se couper en quatre points; .

a" Se couper en deux points, et se toucher en un troisième ;

3° Se toucher en deux points;

4° Se couper en deux points ;

5° Se toucher en un seul point; • •

6° N’avoir aucun point commun.

Nous allons examiner ces six cas, et pour distinguer les cônes donnés, nous

uo GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

appellerons le premier A, le second B, et ce dernier, transporté parallèlement

à lui-même, B'; les deux cônes A et B' ont meme sommet.

186. Premier cas. Les sections des deux cônes A et B' par un meme plan, se coupent en quatre points.

Les cônes A et B', dans cette hypothèse, ont quatre arêtes communes qui passent par les points où leurs sections planes se coupent : or ces arêtes ont leurs parallèles sur le cône B; donc l’un des deux cônes A ou B, a quatre arêtes qui ont leurs parallèles sur l’autre cône. Les points k l'infini de leur ligne d’intersection sont situés sur ces arêtes ; donc les plans tangens menés par los quatre couples d’arêtes parallèles, se coupent suivant quatre droites, qui sont les asymptotes de la courbe d’intersection des deux cônes. Les asymptotes sont respectivement parallèles aux quatre droites de contact des cônes et des plans tangens aux cônes suivant ces droites.

Deuxième cas. Les sections planes des deux cônes A et B' se coupent en deux points, et se touchent en un troisième.

Dans cette hypothèse, les cônes A et B ont trois arétès parallèles; les plans tangens à ces cônes, suivant les deux premières arêtes, se coupent en deux droites qui sont asymptotes de la courbe d'intersection. Les plans tangens suivant la troisième arête sont parallèles, et ne se rencontrent pas.

Troisième cas. Les cônes A et B' se touchent suivant deux arêtes; ce qui indique que les cônes A et B ont deux arêtes parallèles, et que leurs plans tangens suivant ces arêtes sont parallèles entre eux; d’où il suit que la courbe d'intersection n’a pas d'asymptote.

Quatrième cas. Les cônes A, B' se coupent suivant deux arêtes; la courbe d’intersection des deux cônes A et B a deux asymptotes.

Cinquième cas. Les cônes A, B' se touchent suivant une arête ; la courbe d’intersection s’étend à l’infini et n’a pas d’asymptote.

Sixième cas. Les cônes A et B' n'ont aucune arête qui leur soit commnne. Les cônes A et B n’ont alors aucune arête pa.ralièle; toutes les branches de la courbe d’intersection sont fermées, et elles n’ont point d'asymptotes.

En résumé, la courbe d’intersection de deux cônes du second degré a deux ou quatre asymptotes; les branches de celte courbe, qui s’étendent à l'infini, sont ou hyperboliques avec asymptotes, ou paraboliques sans asymptotes.

1 87. Dans l'intersection de deux cônes du second degré , le nombre de branches fermées, de branches infinies hyperboliques ou paraboliques, dépend de la position respective des deux cônes; de quelque manière que les branches soient combinées entre elles, leurs projections ne peuvent être coupées par une ligne droite en plus de quatre points. Lorsque le sommet de

Wgitized b

l’un des cônes est sur la surface de l’autre, alors ce sommet est un des points de la courbe d’intersection; projetant ce point et la courbe sur un plan, la projection du point tient lieu d’une branche. Cet exemple fait voir en géométrie ce que dans la théorie des courbes on entend par point isolé.

Le sommet de l’un des cônes étant sur la surface de l'autre , et ces deux cônes ayant une arête commune, cette arête sera une des branches de la courbe d’intersection, et les branches qui complètent cette courbe ne pourront être coupées qu’en trois points par une ligne droite.

De l’intersection du cône et du cylindre dans le cas où les sections de ces surfaces par un plan sont des courbes du second degré fermées.

t88. Pour reconnaître à priori si la ligne qui résulte de l'intersection des deux surfaces, le cône et le cylindre du second degré, s’étend à l’infini, on mènera par le sommet du cône une parallèle à la génératrice du cylindre, et on construira le point d’intersection de cette parallèle avec la courbe du second degré, qui est la trace du cône sur l'un des plans de projection. Ou ce point se trouvera hors du contour de la conrbe, ou sur ce contour ; s’il est hors du contour, on conclura que le cylindre et le cône n’ont aucune arête parallèle, et que la courbe qui résulte de leur pénétration est nécessairement composée de branches fermées; s’il est sur le contour, toutes les arêtes du cylindre seront parallèles à une arête du cône, et le plan tangent au cône suivant cette arête, sera un plan asymptotique de la courbe d’intersection du cylindre et du cône.

Quatrième exemple d’intersection de surfaces; pénétration de deux surfaces de

révolution. (PI. ai.)

189- On suppose que deux surfaces de révolution se pénètrent, et on propose de construire leur ligne d'intersection dans le cas particulier où leurs axes se rencontrent ? {PI. ai ,fig. 1.)

Les deux axes des surfaces de révolution étant donnés, on prend pour l’un des plans de projection, l’horizontal par exemple, un plan perpendiculaire au premier axe, et pour plan vertical, un plan parallèle aux deux axes.

Nous avons considéré jusqu’à présent chaque point delà ligne d’intersection de deux surfaces, comme le point de rencontre de deux courbes de ces surfaces, contenues dans un même plan, et nous avons déterminé pour quelques cas particuliers le système de plans qui coupent les surfaces proposées suivant les lignes les plus faciles à construire. A ce système de plans coupans,

ita GEOMETRIE DESCRIPTIVE.

ou substitue quelquefois (art iG4) avec avantage d’autres surfaces coupantes ; les deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent, en offrent un exemple. On considère le point de rencontre de ces axes comme le centre d'une série de sphères qui coupent chacune des deux surfaces suivant des cercles. Les cercles qui ne se couperont pas, ne contiendront pas de points de la ligne d'intersection; mais il y aura une ou plusieurs sphères coupantes qui contiendront des cercles tan gens l'un à l’autre; les points de contact de ces cercles appartiendront à la ligne d’intersection, et à partir de ces sphères limites, des sphères intermédiaires de même centre et de divers rayons, couperont les surfaces de révolution suivant des cercles qui auront leurs centres sur les axes de ces surfaces, et dont les plans seront perpendiculaires à ces axes. Les deux cercles situés dans deux plans inclinés L'un par rapport à l’autre, ne peuvent se couper que sur la droite intersection de ces plans; lorsque cette droite coupe l’un des cercles, les points d’intersection appartiennent à la ligne d’intersection des deux surfaces.

Explication de la fig. i, pi. ai.

190. Soient (D, D'd), (DR, dr) les deux axes de révolution, dont les projec- . tions sur le plan vertical de projection parallèle à ces axes, font entre elles l’angle Ddr; le plan horizontal de projection est perpendiculaire au premier axe (D, D'd). Le plan méridien ADR, parallèle au plan vertical de projection, coupe les deux surfaces de révolution suivant les courbes abcc, e/g h, qui se rencontrent aux points», i. La sphère du centre (D,d) et du rayon </«, coupe les deux surfaces suivant des cercles des diamètres aj8, ay, qui se touobent au point (a, a) de la ligne d’intersection. Le premier cercle se projette sur le plan horizontal suivant un autre cercle de même diamètre a’#’, qui a pour centre le point D. Une autre sphère limite, du rayon d<T, coupe les deux surfaces , suivant deux cercles tangens des diamètres d|, qui se touchent au point (<t, #') de la ligne d'intersection.

Une sphère intermédiaire d’un rayon dq plus petit que dj', et plus grand que da, coupe les deux surfaces suivant deux cercles des diamètres ln,pq , dont les plans se coupent suivant une droite horizontale («1, M/a), perpendiculaire au plan vertical de projection. La projection horizontale M/a de cette droite rencontre le cercle du rayon DM, moitié de In, aux points M, /a de la projection horizontale M/utf de l’intersection des deux snrfaces. En faisant varier le rayon de la sphère coupante, dont le centre (D, d) est invariable, on trouverait tant d’autres points qu’on voudrait de la ligne d’intersection des deux surfaces (M/u a’/', <tnuS,/ig. i,pl. ai ).

De la tangente à la ligne d'intersection des deux surfaces de révolution.

191. La tangente en un point de la ligne d’intersection de deux surfaces de révolution est, comme dans les exemples précédens, la droite intersection de* plans tangens à ces surfaces menés par le point qui leur est commun. Cbaque plan tangent est en général déterminé par les tangentes à deux sections de la surface; mais dans le cas particulier de la surface de révolution, la tangente i la courbe méridienne en un point quelconque, détermine la droite normale à la surface qui passe par ce point, puisque cette droite est aussi normale à la courbe méridienne. Connaissant les projections de la normale à la surface, on construit les traces du plan tangent à la surface de révolution, en considérant que ces traces sont perpendiculaires aux projections de la normale.

19a. Soit (M, ni) le point commun à deux surfaces de révolution, par lequel il s'agit de mener des plans tangens à ces surfaces. Le plan tangent à la surface dont l’axe est vertical, se construit comme il a été dit (art. 63); le cercle horizontal du diamètre In, dont le plan passe par le point (M,m), coupe la me'ridienne abcc' au point l, par lequel on mène la tangente lo à cette méridienne. On prend la distance D'o du point o de la droite XY au point D’ de la projection de l’axe, qui est sur la même droite, et on la porte sur le méridien vertical DM de D en O; la perpendiculaire OV à DM est la trace horizontale du plan tangent à la première surface au point (M, m,fig. 1, pL ai).

Le cercle du diamètre pq, dont le plan est perpendiculaire à l’axe incliné dr, rencontre la méridienne efgh de la seconde surface au point p; la tangente pr de cette méridienne coupe l’axe dfr au point r, et par conséquent (art. 64) la.tangente de la méridienne au point (M , m) a pour projection verticale la droite mr, et la droite MR pour sa projection horizontale. La perpendiculaire pu à la tangente pr, rencontre l’axe dr au point de concours » de toutes les normales à la surface suivant le cercle du diamètre pq : or ce point de concours a pour projection horizontale le point o>' de la dreite DR; donc la normale au point (M, m) a pour projections les droites mu, Mm'. I,e plan perpendiculaire à cette normale mené par le même point (M, m), a pour trace horizontale la droite VT perpendiculaire à la projection horizontale Mm’ de la normale : or cette droite rencontre la trace OV du premier plan tangent au point V; donc la tangente demandée a pour projections les droites MV, mW

1 93. La trace horizontale YT du plan tangent à la seconde surface de ré-

n4 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

volution, est déterminée par trois conditions, dont deux seulement sont nécessaires. En effet, puisque le plan tangent est perpendiculaire à la normale (ma, M»), sa trace sur le plan vertical est perpendiculaire à la droite ma, et la parallèle à cette trace nicuée par le point (M, &i) a pour projection verticale la droite mt perpendiculaire à ma, et pour projection horizontale la droite MT parallèle à l’intersection XY des plans de projection : or cette parallèle rencontre le plan horizontal au point T ; donc la trace horizontale VT dti plan tangent passera par le point T; première condition. Puisque ce |>lan est perpendiculaire à la normale dont la projection horizontale est M», la droite VT est perpendiculaire à cette projection; deuxieme condition. Enfin, elle |iasse par le point S où la tangente (MR, mr ), située dans le plan tangent, rencontre le plan horizontal; cette troisième condition dispenserait de construire la droite (MT, mt), et le point T où elle coupe le plan horizontal.

194. De ce que les normales aux deux surfaces de révolution, menées par le point (M, 7/1) de leur ligne d’intersection, rencontrent les deux axes de révolution aux points m et x, il suit qne le plan conduit par ces normales coupe le plan des deux axes, qui est par hypothèse parallèle au plan vertical de projection suivant la droite «X : or la tangente à la ligne d'intersection au point (M, ttj) est perpendiculaire au plan des deux normales; donc la perpendiculaire um\' abaissée du point m sur la droite «x , est une tangente de la projection verticale ami de la ligne d’intersection des deux surfaces.

Menant par le point (D, 1) de la première normale (MD, ml) un plan horizontal qui coupe la seconde normale au point (6,8 ), la droite Dé' sera parallèle à la trace horizontale du plan des deux normales; d’où il suit que la projection horizontale MV de la tangente de la ligne d’intersection, doit être perpendiculaire à la droite connue Dé'. 11 suffira, pour satisfairo à cette condition, d’abaisser du point M la perpendiculaire MV sur la droite Dé’.

Tout ce qu’on vient de dire sur la tangente à la ligne d'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent, serait encore vrai, dans le cas où les axes ne se rencontreraient pas.

1 95. Dans le cas général où les axes des deux surfaces de révolution ne se rencontreraient pas, chaque point de la ligne de pénétration de ces surface* serait l’intersection d’un cercle appartenant à la première surface, et de la section de la seconde surface par le plàn de ce cercle. Il serait donc convenable de couper les deux surfaces par un système de plans perpendiculaires à l'axe de l’une d’elles, afin de n’avoir à construire par points, que des courbes de l’autre surface. On a considéré un cas particulier pour lequel les axes de - V •’

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. n5

♦•évolution ne se rencontrant pas, et néanmoins on est parvenu à trouver chaque point de la ligne d'intersection par la rencontre de deux cercles qui sont les projections des sections des surfaces par un même plan. Cette solution particulière est de M. Chapuy, ancien élève à l'Ecole polytechnique ( f'oj-ez la Correspondance sur l'École polytechnique, tome 11, janvier 1 8 1 j ) ; elle est fondée sur les trois propositions suivantes: i* Deux surfaces du second degré, quelle que soit leur position respective, sont coupées par des plans parallèles suivant des lignes semblables et semblablement placées; a" la projection orthogonale d’une ellipse sur un plan passant par son petit axe, est un cercle d’un rayon égal à ce petit axe, lorsque le grand axe se projette suivant une droite égale en longueur au petit axe; 3° l’intersection de deux ellipsoïdes de révolution, qui ont même centre, et dont les sections circulaires passant par ce centre sont de même rayon, se compose de deux ellipses dont les plans sont perpendiculaires à celui qui passe par les axes de révolution des deux ellipsoïdes.

4° On peut couper les deux ellipsoïdes de révolution par deux couples de plans perpendiculaires à celui des deux axes de ces ellipsoïdes, tels que la section contenue dans l’un des plans du premier couple, par exemple, se projette sur l’autre plan du second couple suivant un cercle.

Intersection de deux ellipsoïdes de révolution dont les axes ne se rencontrent pas.

196. Soient (/ig. 1, pl ■ ai) deux ellipsoïdes de révolution qui se pénètrent, le premier a pour axe la droite AD, et pour section méridienne l’ellipse ATIB; cette ellipse a pour grand axe la droite AD, perpendiculaire an demi petit axe OH. Qn prend pour premier plan de projection celui qui passe par Taxe AB, et qui est parallèle au second axe; on donne la distance de ce second axe au premier," mesurée sur une droite qui leur serait perpendicul'.ire.

Tout plan perpendiculaire au premier plan de projection, mené pa: le centre O du premier ellipsoïde AB, coupe cet ellipsoïde suivant une ellinse, dont le grand axe est un diamètre dé l’ellipse AEB, et le demi petit axe est égal- à OH, demi petit axe de l’ellipsoïde.

Il en serait de même d'un autre plan perpendiculaire r.u pian de p "éjection, qui passerait par le centre O' du second ellipsoïde. La section serait une ellipse qui aurait pour petit axe une droite égale au petit axe H'A' de l’ellipsoïde, et pour grand axe un diamètre de l’ellipse CDH7T, qui est la section méridienne de ce second ellipsoïde.

197. Soit OE la trace d’un plan quelconque perpendiculaire au premier

v 1 6 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

plan de projection, qui passe par le centre O du premier ellipsoïde ; la section faite par ce plan sur l'ellipsoïde sera une ellipse (E), qui a pour demi grand axe OE, et pour demi petit axe OH. Construisant sur OÉ comme hypothénus<\ avec un côté EG égal à OH, le triangle rectangle EGO, EG sera la trace d'un :plan perpendiculaire au premier plan de projection , et en le prenant pour le second plan de projection, l’ellipse (E) s’y projettera suivant un cercle, puique la projection du grand axe de cette ellipse sera égale .au petit axe.

On fera nn raisonnement semblable anr le triangle E'O’G’, rectangle en G'. Si le côté E’G’ est égal au petit axe O’H', l’ellipse (E’), section du second ellipsoïde par le plan O'E’, se projettera sur le plan E G’ suivant un cercle, les lignes de projection étant parallèles au côté Ü'G', perpendiculaire à E’G’; mais il faut que les plans des deux ellipses (H;, (E’) soient parallèles, et, pour déterminer leur direction, on a recours à l’artifice suivant.

198. On imagine un troisième ellipsoïde de révolution, semblable au second, et dont le petit axe est égal à celui du premier ellipsoïde. Ce troisième ellipsoïde a même centre O que le premier; son grand axe CD', parallèle à l'axe CD du second ellipsoïde, est à cet axe CD dans le rapport des deux petits axes OH, O’H*. On porte sur OA, perpendiculaire à CD’, le petit axe OA = OH; et pour avoir la longueur OC' du demi grand axe, on fait la proportion :