CHAPITRE PREMIER

Des lieuse géométriques et de leur usage pour résoudre diverses questions.

i. La Géométrie élémentaire offre plusieurs exemples de lieux géométriques. Lorsqu’on demande un point situé à des distances connues de deux droites données sur un plan , on trouve ce point par l’intersection de deux droites, dont chacune est un lieu géométrique du point demandé. I.a parallèle à une droite donnée, menée à la distance de cette droite au point inconnu, contient évidemment ce point , et par cette raison en est le lieu ; une autre parallèle à la seconde droite donnée, est encore le lieu déterminé du point demandé; d'où il- suit que ce point est à l’intersection des deux parallèles. Connaissant les distances d'un point à deux points fixes et donnés, ce point a pour lieux géométriques deux circonférences, décrites des points fixes comme centres, avec des rayons égaux aux distances données. Ces circonférences se conpent en deux points, dont chacun satisfait à la condition d'être aux distances connues des points donnés. Dans un triangle dont un côté et l’angle opposé à ce côté sont constans, le sommet de cet angle feui prendre diverses positions, et le lieu géométrique de ce sommet est un arc de cercle, qu’on nomme l’arc capable de l'angle opposé au côté donné du triangle.

i3j CÉOMÉTRÏE DESCRIPTIVE.

Enfin la solution de cette question si intéressante pour les commenrans, /aire passer un cercle par trois points, est fondée sur cette considération, que le centre du cercle demandé est l'intersection de trois perpendiculaires, élevées sur les milieux des trois droites qui joignent deux à deux les trois points donnés. Chacune de ces perpendiculaires est un lieu géométrique du centre.

En général, on appelle lieux géométriques d’un point, les lignes ou les surfaces qui contiennent ce point, et lieux géométriques d’une ligne, les surfaces assujéties à la condition de passer par cette ligne. Lorsque les lieux géométriques d’un point sont des lignes, deux de ces lignes déterminent le point; lorsque le point a pour lieux géométriques des surlaces, trois de ces surfaces sont nécessaires pour le déterminer. Les exemples suivans feront voir de quelle manière on doit procéder pour résoudre les problèmes de géométrie 1i trois dimensions, par la considération des lieux géométriques.

PROBLÈME Ier. (PI. »3.)

Construire le point dont on connaît les distances à trois points donnés? .< - (PL »3, fig. iJ) * ■

a. Solution.. Tous les points également distans d’un point donné, appartiennent à la surface d'une sphère qui a ce point pour centre. Considérant les trois points donnés comme les centres de trois sphères qui ont pour rayons les distances connues" de ces trois points au point inconnu, chaque sphère sera le lieu géométrique de ce dernier point. Deux sphères se coupent (art. ao3, livre Ier) suivant un cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite qui joint les deux centres; d’où il suit que les trois sphères se couperont deux à deux suivant trois cercles. Les plans de ces trois cercles passant par une droite perpendiculaire au plan des centres des trois sphères, cette droite coupe chacun des trois cercles aux deux mêmes points, qui satisfont l’un et l’autre à la condition d’être à des distances connues des trois points donnés.

’ Explication de la ftg. I, pl. a3.

’ 3. Soient A, B, C les trois points donnés ; D, D’, D' les distances connues d’un quatrième point aux trois premiers ; on prend pour plan horizontal de projection le* plan des trois points donnés, et pour plan vertical un plan XY perpendiculaire à la droite BC, qui joint deux des points donnés B et C. Des points A, B, C comme centres, avec des rayons égaux aux distances connues

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i33

D, D’, D", on décrit trois cercles qui se coupent deux à deux suivant les trois cordes EF, GH, IK, lesquelles se coupent au même point M. Ces cordes sont aussi les traces horizontales des plans verticaux qui contiennent les cercles d’intersection des sphères; d’où il suit que ces plans ^e coupent suivant la droite verticale (M, mm') : or cette droite coupe en deux points le cercle du diamètre IK., intersection des sphères qui ont pour centres les points B et C; donc les points (M, ni), (M, ni ) seront aux distances données des trois points A, B, C.

Pour construire les projections verticales//», /«'des deux points qui satisfont aux conditions du problème, on décrit du point c de la droite XV, qui est sur le prolongement de la droite BC, la circonférence du diamètre nf=IK ; cette circonférence est rencontrée par la perpendiculaire Mm à XY, aux points m et m.

pbobt.kmb II.

Déterminer le centre et le rayon d’une sphère qui passe par quatre points donnés? (PI. a3, fig. a.)

4- Solution. On joint les quatre points donnés deux à deux par six droites, et on conçoit six plans perpendiculaires à ces droites, élevés par leurs milieux. Chacun de ces plans aura tous ses points k égale distance des deux points de la droite à laquelle il est perpendiculaire ; il sera donc un lieu géométrique du centre de la sphère demandée, puisque ce centre doit être à égale distance des quatre points donnes. Trois des six plans qui déterminent par leurs intersections le centre de la sphère, sont perpendiculaires à trois des six droites qui joignent les quatre points donnés; mais il faut remarquer que ces trois droites ne peuvent pas être prises arbitrairement. Lorsqu’elles sont dans le même plan, ou autrement, lorsqu’elles comprennent une lace de la pyramide triangulaire formée par les six droites, les trois plans perpendiculaires aux trois côtés d’une face passent par la même droite ; cette droite contient le point, mais sa position sur cette droite reste indéterminée. Elle sera au contraire déterminée, si les trois droites appartiennent à deux ou trois faces de la pyramide; alors le plan perpendiculaire à l’une des droites, coupera nécessairement la ligne d’intersection des plans perpendiculaires aux deux autres droites, et le point d’intersection sera le centre de la sphère demandée. La droite qui joint ce centre et un quelconque des quatre points donnés, est évidemment le rayon de la sphère.

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Explication de la fig. a , pl. a3.

5. On prend pour plan horizontal de projection trois des quatre points donnés, et pour plan vertical de projection, un plan parallèle à l’une des droites menées du quatrième point donné aux trois autres. Soient A , B, C trois points donnés sur le plan horizontal; le quatrième point (D, d) est projeté en d sur un plan vertical XY, parallèle à la droite BD. En joignant les trois points A, B, C par trois droites, et prenant leurs milieux E, F, G, les trois plans perpendiculaires à ces droites menés par les points E, F, G, se coupent suivant une verticale M, qui est un lieu géométrique du centre de la sphère demandée.

Le plan mené par le milieu (K., X) de la droite (BD, bd ), perpendiculairement à cette droite, étant perpendiculaire au plan vertical de projection, la trace verticale ldi du premier plan sur le second, est perpendiculaire à la droite bd. De plus, celte trace passe par le milieu X- de la droite bd; sa position est donc déterminée. La projection verticale du centre de la sphère se trouve sur la droite hh, puisque ce centre est dans un plan perpendiculaire au plan vertical, qui a pour trace cette droite hh ; mais le centre de la sphère est aussi sur la verticale M, dont la projection verticale est mm; donc le point m intersection des deux droites hh, mm! est la projection verticale du centre de la sphère. Le rayon de cette sphère sera égal à la droite (MB, mb) qui joint le centre (M , m) et un point (B, b) donné. Portant MB en m'b' sur XY, l'hypothénuse mb’ du triangle rectangle mm'h sera la longueur du rayon de la sphère. Des points M et m comme centres, avec le rayon MB' = mb', on décrit deux cercles, qui sont les projections des deux grands cercles de la sphère, l’un horizontal et l’autre vertical, et sont aussi les limites des projections de cette sphère.