PROBLEME III

Trouver le centre et le rayon d'une sphère inscrite à une pyramide triangulaire?

(Pl. a3,fig.3.)

6. Solution. La sphère inscrite à une pyramide triangulaire est tangente aux quatre plans qui comprennent celte pyramide : or le centre d'une sphère tangente à deux plans, a pour lieu géométrique un troisième plan qui divise en deux parties égales l'angle formé par les deux premiers; car ce troisième plan contient tous les points à égales distances des deux autres, donc si l’on

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divise en deux parties égales chacun des six angles dièdres intérieurs de la pyramide triangulaire, on aura six plans dont trois détermineront le centre de la sphère, pourvu que ces trois plans ne passent pas par l'un des quatre sommets de la pyramide triangulaire donnée.

Considérant une face quelconque de la pyramide, et les trois angles dièdres adjacens au plan de cette face, les trois plans qui divisent ces angles en deux parties égales forment une seconde pyramide dont le sommet est le centre de la sphère inscrite à la première pyramide. Si les plans des trois angles dièdres divisés en parties égales, passaient par un même point, sommet commun de ces angles, dans ce cas les plans de division passeraient par une même droite, ne formeraient pas une nouvelle pyramide, et la pôsition du centre de la sphère sur la droite intersection des trois plans, resterait indéterminée.

Explication de la/tg. 3, pl.-iZ.

7. O11 prend pour plan horizontal de projection celui du triangle ABC, base de la pyramide donnée, et pour l’intersection des deux plans de projection, une droite quelconque XY. Soit (D, d) le sommet de la pyramide; les trois faces adjacentes à la base AI!C font avec le plan de celte base des angles qui se mesurent dans les plans verticaux DE, DF, DG respectivement perpendiculaires aux côtés AB, BC, AC du triangle ABC. Portant ces droites DE, DF, DG en De', D f, D'g, et menant les droites de', df, dg , les trois angles dièdres adjacens à la base ABC, seront égaux aux angles de D’, df'tii , dgD'-, divisant chacun de ceux-ci en parties égales par les droites ce ,ff, g'g", on aura les trois angles dièdres d'une nouvelle pyramide qui a même base ABC que la pyramide donnée, et dont le sommet («, u ) est le centre de la sphère demandée. Pour construire ce sommet, on coupe les trois plans qui comprennent la seconde pyrqmide par un plan horizontal quelconque, dont la trace sur le plan vertical de projection est la droite^. Cette droite coupe les lignes g'g' en trois points e’,f, g', dont les distances à la droite

D'd sont connues. Portant ces distances e d ,J'd' , g' d' sur les droites DE, DF, DG de D en t, (f, y, et menant par ces derniers points des droites *B', <jC’, y A' respectivement parallèles aux côtés AB, BC, CA, du triangle base des deux pyramides, ces droites se couperont en trois points A', B’, C', qui déterminent le triangle A'B’C', projection horizontale d’une section horizontale de la seconde pyramide. Joignant les sommets des angles égaux des deux triangles semblables ABC, A'B'C' par les droites AA‘, BB’, CC', ces droites seront les projections horizontales des trois arêtes de la seconde pyramide, qui se cou- «

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peut au point u projection horizontale du centre de la sphère inscrite à la première pyramide. L’une des trois arêtes de la seconde étant projetée sur le plan vertical, en cc par exemple, l’intersection de cette droite cc' et de la perpendiculaire mri à XY, détermine la projection verticale du centre de la sphère. Quant au point c, on l’obtient en menant la perpendiculaire C'c' àXY, qui coupe l'horizontale xy en c.

Connaissant le centre («, ri) de la sphère, le rayon de cette sphère sera égal à la perpendiculaire abaissée du centre sur l’une des quatre faces de la pyramide donnée, par exemple, sur la base horizontale ABC. Cette perpendiculaire est une verticale égale à rio rayon de la sphère. Les cercles décrits des points u, ri comme centres avec ce rayon u'o, sont les limites des projections horizontale et verticale de la sphère inscrite à la pyramide donnée. Des quatre points de contact de la sphère et des faces de la pyramide, on connaît celui («, o) qui est sur le plan horizontal de projection; pour obtenir les trois autres, on remarquera qu’ils sont les pieds des perpendiculaires abaissées du centre (», ri) sur les trois faces de la pyramide dont les plans ont pour traces horizontales les droites AB, BC, CD. Abaissant du point » les perpendiculaires uH, 6>I, «J sur les côtés AC, AB, BC, ces droites contiendront les projections horizontales K, M, N des trois points de contact. Pour construire les projections verticales A, m, n (A par exemple), on conçoit le plan vertical «H ramené en «H' parallèle à la -trace XY des deux plans de projection. Ce plan vertical coupe la face de la pyramide adjacente au côté AC de la base, suivant une droite h A' parallèle à cd. Abaissant du point u’ la perpendiculaire h A' sur d/i, et portant la distance Al du point A' a la verticale o»’, de 6» en K, le point K, projection horizontale de l’un des points de contact, sera déterminé. La perpendiculaire KX à XY et l’horizontale A I se coupent au point A projection verticale du même point de contact. On construira de la même maniéré les deux autres points de contact (M, m), (N, ri).

Les perpendiculaires abaissées du centre de la sphère sur les faces de la pyramide donnée, sont égales comme rayons de la même sphère; ainsi la droite ri A' — rio, et la droite h A qu’on a menée parallèlement à ^VXest tangente au cercle décrit du point ri comme centre, avec le rayon rio.

PROBLÈME IV. DE LA PYRAMIDE TRIANGULAIRE. (PI. 3/j.)

En ne considérant dans une pyramide triangulaire que six angles, savoir, les angles des trois arêtes qui ont pour sommet commun le sommet de la pyramide, et les angle s- dièdres formés par les trois plans des arêtes, on propose, trois dcysix angles étant donnés, de trouver les trois autres?-

8. Solution. On distingue les angles formés par les arêtes, des angles dièdres, en nommant les preni ïers.yâeej de la pyramide, et les seconds, angles de la pyramide. Les combinaisons trois à trois des six angles d’uile pyramide, abstraction faite de la base, sont au nombre de six, savoir :

i° Trois faces; ; .• . . .

a° Deux faces et un angle compris entre ces deux faces;

3° Deux faces et un angle opposé à l’une de ces faces;

4° Une face et deux angles adjaceus à cette face;

S1 Une face et deux angles, dont un seulement est adjacent à la face; ’